高中数学函数的周期性与常考题(附经典例题与解析)

【知识点分析】：

函数的周期性

设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数f(x)的一个周期．(D为定义域)

 1. 型

 的周期为T。定义：对x取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T叫函数的周期。

【相似题练习】

1．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（　　）

A．336 B．337 C．338 D．339

1．已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是　   　．

1．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x）+2，若函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（2014）＝（　　）

A．﹣2+2 B．2+2 C．2 D．

【知识点分析】：

  2. 型

 的周期为。证明：。

特别得： f（x-a）＝f（x+a）型， 的周期为2a。

【相似题练习】

2．已知偶函数y＝f（x）满足条件f（x+1）＝f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝3x+，则f（5）的值等于　   　．

1．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当时，，则f（2019）＝（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2

【知识点分析】：

  3. 型

 的周期为2a。证明：

【相似题练习】

1．已知定义在R上的函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为　   　．

1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）＝﹣f（x﹣1），若f（﹣1）＞1，f（5）＝a2﹣2a﹣4，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣1，3） B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）

C．（﹣3，1） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）

1．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）＝2f（3），y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f（4）＝4，则f（2012）＝（　　）

A．0 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣16

1．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称图形，且满足，f（﹣1）＝1，f（0）＝﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（　　）

A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2

【知识点分析】：

4. 型

 的周期为2a。

证明：。

【相似题练习】

1．若偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）＝﹣，且x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝2x，则f（101.5）＝　   　．

1．已知偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣loga（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是　   　．

【知识点分析】：

 5. 型

 的周期为。

证明：。

【相似题练习】

1．设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）＝13，若f（1）＝2，则f（2015）＝（　　）

A． B． C．13 D．

1．已知函数y＝f（x）满足f（x+1）＝和f（2﹣x）＝f（x+1），且当x∈[，]时，f（x）＝2x+2，则f（2018）＝（　　）

A．0 B．2 C．4 D．5

【知识点分析】：

  6. 型

 的周期为4a。

 证明：

 ，

∴。

【相似题练习】

1．定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）＝x2﹣1，则f（2010）＝　   　．

【知识点分析】：

  7. 两线对称型

 函数关于直线、对称，则的周期为。证明：

。

正弦函数关于直线、对称，则的周期为。

【相似题练习】

1．若y＝f（2x）的图象关于直线x＝和x＝（b＞a）对称，则f（x）的一个周期为（　　）

A． B．2（b﹣a） C． D．4（b﹣a）

1．偶函数f（x）对于任意实数x，都有f（2+x）＝f（2﹣x）成立，并且当﹣2≤x≤0时，f（x）＝2﹣x，则＝（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

【知识点分析】：

  8. 一线一点对称型

 函数关于直线及点（b，0）对称，则的周期为。证明：

，所以。

余弦函数关于直线及点（）对称，则的周期为。

【相似题练习】

1．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）为奇函数，函数f（x+3）关于直线x＝1对称，则函数f（x）的最小正周期为（　　）

A．4 B．8 C．12 D．16

1．已知函数（x）的图象关于原点对称，且满足f（x+1）+f（3﹣x）＝0，当x∈（2，4）时，f（x）＝﹣log（x﹣1）+m，若＝f（﹣1），则实数m的值是（　　）

A． B． C． D．

【知识点分析】：

  9. 两点对称型

 函数关于点（a，0）、（b，0）对称，则的周期为。证明：。

正弦函数关于点（0，0）、对称，则的周期为。

1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且图象关于点（，0）成中心对称．

（1）证明：y＝f（x）为周期函数，并指出其周期；

（2）若f（﹣1）＝﹣2，求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值．

【知识点分析】：

其他：根据定义求

【相似题练习】

1．已知函数f（x）对定义域内任意x，y，有且f（1）＝1，则f（2011）＝　   　．

1．函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足对任意x∈R，有f（4+x）＝f（4﹣x），f（x+1）＝f（x﹣1），则f（x）是（　　）

A．奇函数但非偶函数 B．偶函数但非奇函数

C．奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

1．已知定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当时，，则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数为　   　个．

课后作业：

1．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝﹣f（x+1），且当1≤x＜2时，f（x）＝9x﹣9，则＝（　　）

A．0 B．﹣6 C．18 D．﹣18

1．已知奇函数f（x）（x∈R）满足f（x+4）＝f（x﹣2），且当x∈[﹣3，0）时，，则f（2018）＝（　　）

A． B． C． D．

1．已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x+4）＝﹣f（x），如果当x∈[﹣4，0）时，f（x）＝3﹣x，则f（985）＝（　　）

A．27 B．﹣27 C．9 D．﹣9

1．已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x﹣4）＝﹣f（x），如果当x∈[﹣4，0）时，，则f（266）＝　   　．

1．f（x）是定义在R上的奇函数，满足，当x∈（0，1）时，f（x）＝2x﹣2，则＝　   　．

1．若定义在实数集R上的f（x）满足：x∈（﹣3，﹣1）时，f（x+1）＝ex，对任意x∈R，都有成立．f（2019）等于（　　）

A．e2 B．e﹣2 C．e D．1

1．定义在R上的偶函数f（x），对任意的实数x都有f（x+4）＝﹣f（x）+2，且f（﹣3）＝3，则f（2015）＝（　　）

A．﹣1 B．3 C．2015 D．﹣4028

1．若偶函数y＝f（x）（x∈R）满足条件：f（﹣x）＝f（1+x），则函数f（x）的一个周期为　   　．

参与解析：

1．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（　　）

A．336 B．337 C．338 D．339

【解答】解：∵f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，

∴f（1）＝1，f（2）＝2，f（3）＝f（﹣3）＝﹣1，

f（4）＝f（﹣2）＝0，f（5）＝f（﹣1）＝﹣1，f（6）＝f（0）＝0，

∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝1，∵f（x+6）＝f（x），∴f（x）的周期为6，

∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝336+f（1）+f（2）+f（3）＝338．故选：C．

1．已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是　（0，]∪（5，+∞）　．

【解答】解：根据题意，函数g（x）＝f（x）﹣loga|x|的零点个数，

即函数y＝f（x）与y＝loga|x|的交点的个数；f（x+2）＝f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，

又由当﹣1＜x≤1时，f（x）＝x3，据此可以做出f（x）的图象，

y＝loga|x|是偶函数，当x＞0时，y＝logax，则当x＜0时，y＝loga（﹣x），做出y＝loga|x|的图象，

结合图象分析可得：要使函数y＝f（x）与y＝loga|x|至少有6个交点，

则 loga5＜1 或 loga5≥﹣1，解得 a＞5，或 0＜a≤．所以a的取值范围是（0，]∪（5，+∞）．

故答案为：（0，]∪（5，+∞）．

1．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x）+2，若函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（2014）＝（　　）

A．﹣2+2 B．2+2 C．2 D．

【解答】解：∵f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x）+2，

∴f（2）＝﹣f（﹣2）+2，

又：∵y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，向左平移1个单位，得y＝f（x）图象关于y轴对称，

∴f（﹣x）＝f（x），∴f（x+4）+f（x）＝2，2f（2）＝2，解得f（2）＝，

∴f（6）+f（2）＝2，解得f（6）＝，从而得到f（2+4n）＝f（2）＝，

∴f（2014）＝f（2+503×4）＝．故选：D．

2．已知偶函数y＝f（x）满足条件f（x+1）＝f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝3x+，则f（5）的值等于　1　．

【解答】解：由f（x+1）＝f（x﹣1），得f（x+2）＝f（x），所以f（x）是以2为周期的周期函数，

又f（x）为偶函数，

∴＝f（﹣log35）＝f（log35）＝＝＝，故答案为：1．

1．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当时，，则f（2019）＝（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2

【解答】解：∵当是时，，∴f（x）＝f（x+1），∴当时，f（x）的周期T＝1，

又当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；

∴f（2019）＝f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣[（﹣1）3﹣1]＝2．故选：D．

1．已知定义在R上的函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为　6043　．

【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），

故函数f（x）是T＝4的周期函数，又∵函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），

∴函数f（x）的对称中心为（0，0），即函数f（x）为奇函数，∵当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，

x∈（1，2]时，f（x）=-f（x-2）∴在一个周期[﹣2，2）上的图象如下图所示：

由图可得在一个周期[﹣2，2）上函数有6个零点，故每个周期[4k﹣2，4k+2），k∈Z上函数都有6个零点，

[﹣2014，2014）上共有[2014﹣（﹣2014）]÷4＝1007个周期，

故[﹣2014，2014）共有6×1007＝6042个零点，由f（2014）＝0，

故f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为6043，故答案为：6043

1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）＝﹣f（x﹣1），若f（﹣1）＞1，f（5）＝a2﹣2a﹣4，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣1，3） B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）

C．（﹣3，1） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）

【解答】解：由f（x+1）＝﹣f（x﹣1），可得f（x+2）＝﹣f（x），

则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，则f（5）＝f（1）＝a2﹣2a﹣4，

又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣1）＞1，∴f（1）＜﹣1．∴a2﹣2a﹣4＜﹣1，解得﹣1＜a＜3．

∴实数a的取值范围是（﹣1，3）．故选：A．

1．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）＝2f（3），y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f（4）＝4，则f（2012）＝（　　）

A．0 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣16

【解答】解：因为函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，所以函数y＝f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y＝f（x）是奇函数，

令x＝﹣3得，f（﹣3+6）+f（﹣3）＝2f（3），即f（3）﹣f（3）＝2f（3），解得f（3）＝0．

所以f（x+6）+f（x）＝2f（3）＝0，即f（x+6）＝﹣f（x），所以f（x+12）＝f（x），即函数的周期是12．

所以f（2012）＝f（12×168﹣4）＝f（﹣4）＝﹣f（4）＝﹣4．故选：B．

1．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称图形，且满足，f（﹣1）＝1，f（0）＝﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（　　）

A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2

【解答】解：由题意可得＝﹣[﹣f（x+3）]＝f（x+3），∴函数f（x）的周期为3，

又∵函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称，

∴f（x）＝﹣f（﹣﹣x），结合可得f（﹣﹣x）＝f（x+），

令t＝x+，则f（﹣t）＝f（t），即函数f（x）为偶函数，∴f（1）＝f（﹣1）＝1，

∴f（1）+f（2）+f（3）＝f（1）+f（﹣1）+f（0）＝0，

∴f（1）+f（2）+…+f（2015）＝671×0+f（2014）+f（2015）＝f（1）+f（2）＝2故选：B．

1．若偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）＝﹣，且x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝2x，则f（101.5）＝　　．

【解答】解：根据题意，f（x）满足f（x+3）＝﹣，则f（x+6）＝＝f（x），即函数f（x）是周期为6的周期函数，则f（101.5）＝f（﹣0.5+17×6）＝f（﹣0.5），

又由f（x）为偶函数，则f（﹣0.5）＝f（0.5），

又由f（0.5）＝f（﹣2.5+3）＝﹣＝﹣＝，则f（101.5）＝；故答案为：

1．已知偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣loga（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是　[5，+∞）　．

【解答】解：函数f（x）满足f（x+1）＝﹣，故有f（x+2）＝f（x），故f（x）是周期为2的周期函数．

再由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，可得当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，

故当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2，当x∈[1，3]时，f（x）＝（x﹣2）2．

由于函数g（x）＝f（x）﹣loga（x+2）有4个零点，故函数y＝f（x）的图象与y＝loga（x+2）有4个交点，

所以可得1≥loga（3+2），∴实数a的取值范围是[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．

1．设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）＝13，若f（1）＝2，则f（2015）＝（　　）

A． B． C．13 D．

【解答】解：由函数的关系式可得：f（x）f（x+2）＝13，f（x+2）f（x+4）＝13，

据此有：f（x）＝f（x+4），即函数f（x）是周期为4的函数，

据此可得：f（2015）＝f（504×4﹣1）＝f（﹣1），

关系式f（x）f（x+2）＝13 中，令x＝﹣1可得：f（﹣1）f（1）＝2f（﹣1）＝13，∴．故选：B．

1．已知函数y＝f（x）满足f（x+1）＝和f（2﹣x）＝f（x+1），且当x∈[，]时，f（x）＝2x+2，则f（2018）＝（　　）

A．0 B．2 C．4 D．5

【解答】解：∵f（x+1）＝和f（2﹣x）＝f（x+1），

∴f（x+2）＝，即f（x+4）＝＝f（x），即f（x）的最小正周期是4，

f（2018）＝f（4×504+2）＝f（2），∵f（2﹣x）＝f（x+1），

∴当x＝1时，f（2﹣1）＝f（1+1），即f（2）＝f（1），∵当x∈[，]时，f（x）＝2x+2

∴f（1）＝2+2＝4，即f（2018）＝f（2）＝f（1）＝4，故选：C．

1．定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）＝x2﹣1，则f（2010）＝　3　．

【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足：

∴＝＝f（x）故函数的周期是4∴f（2010）＝f（2）

又x∈（0，4）时，f（x）＝x2﹣1，∴f（2010）＝f（2）＝22﹣1＝3故答案为31．

1．若y＝f（2x）的图象关于直线x＝和x＝（b＞a）对称，则f（x）的一个周期为（　　）

A． B．2（b﹣a） C． D．4（b﹣a）

【解答】解：设f（2x）＝sin2x图象关于直线和，

则f（x）＝sinx关于x＝a和x＝b对称，则2（b﹣a）是f（x）的一个周期．故选：B．

1．偶函数f（x）对于任意实数x，都有f（2+x）＝f（2﹣x）成立，并且当﹣2≤x≤0时，f（x）＝2﹣x，则＝（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

【解答】解：对任意实数x都有f（4+x）＝f[2+（2+x）]＝f[2﹣（2+x）]＝f（﹣x），

由于f（x）为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）．所以f（4+x）＝f（x）．

所以函数f（x）是以4为周期的周期函数．所以．

故选：C．

1．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）为奇函数，函数f（x+3）关于直线x＝1对称，则函数f（x）的最小正周期为（　　）

A．4 B．8 C．12 D．16

【解答】解：∵f（x）满足f（2﹣x）为奇函数，∴f（2+x）＝﹣f（2﹣x），即f（4+x）＝﹣f（﹣x）①，

∵函数f（x+3）关于直线x＝1对称，∴将函数f（x+3）的图象向右平移3个单位得到y＝f（x）的图象，

则函数f（x）的图象关于直线x＝4对称，∴f（4+x）＝f（4﹣x）②，

由①②得：f（4﹣x）＝﹣f（﹣x），即f（x+4）＝﹣f（x），

∴f（x+8）＝﹣f（x+4）即f（x+8）＝f（x），故函数f（x）的最小正周期为8．故选：B．

1．已知函数（x）的图象关于原点对称，且满足f（x+1）+f（3﹣x）＝0，当x∈（2，4）时，f（x）＝﹣log（x﹣1）+m，若＝f（﹣1），则实数m的值是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+1）+f（3﹣x）＝0，又由f（x）为奇函数，

则f（x+1）＝﹣f（3﹣x）＝f（x﹣3），即f（x+4）＝f（x），

故函数f（x）的周期为4，则f（2021）＝f（1+2020）＝f（1），

当x∈（2，4）时，，则f（3）＝m+1，

即f（2021）＝f（1）＝﹣f（3）＝﹣m﹣1，

又由f（x）为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝m+1，

若，则有＝m+1，解可得：m＝﹣；故选：C．

1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且图象关于点（，0）成中心对称．

（1）证明：y＝f（x）为周期函数，并指出其周期；

（2）若f（﹣1）＝﹣2，求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值．

【解答】证明：（1）∵函数f（x）图象关于点（，0）成中心对称，

∴f（x）+f（3﹣x）＝0，∴f（x+3）+f（﹣x）＝0，∴f（x+3）＝﹣f（﹣x），又f（x）为奇函数，

f（﹣x）＝﹣f（﹣x），∴f（x+3）＝f（x），∴y＝f（x）为周期函数，其周期T＝3．

（2）∵f（﹣1）＝﹣2，f（x）为奇函数，∴f（1）＝2，又f（0）＝0，

∴f（2）＝f（2﹣3）＝f（﹣1）＝﹣2，f（3）＝f（0）＝0，f（1）+f（2）+f（3）＝0，

f（4）+f（5）+f（6）＝0，…∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）

＝670[f（1）+f（2）+f（3）]+f（2011）]＝f（2011）＝f（670×3+1）＝f（1）＝2．

1．已知函数f（x）对定义域内任意x，y，有且f（1）＝1，则f（2011）＝　﹣1　．

【解答】解：∵函数f（x）对定义域内任意x，y，有，

∴令x＝y＝0，得f（0）＝，解得f（0）＝0．令y＝﹣x，得f（0）＝＝0，

∴f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）是奇函数．∵，∴f（x+1）＝，

∴f（x+2）＝＝＝﹣，∴f（x+4）＝﹣＝f（x），

∴f（x）是以4为周期的周期函数，∵f（1）＝1，∴f（2011）＝f（503×4﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1．

故答案为：﹣1．

1．函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足对任意x∈R，有f（4+x）＝f（4﹣x），f（x+1）＝f（x﹣1），则f（x）是（　　）

A．奇函数但非偶函数 B．偶函数但非奇函数

C．奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

【解答】解：∵f（4+x）＝f（4﹣x），∴函数f（x）的对称轴为x＝4，又f（x+1）＝f（x﹣1），

∴f（x+2）＝f（x），∴函数f（x）的周期为T＝2，∴x＝0也为函数f（x）的对称轴，

∴f（x）为偶函数，又∵f（x）在R上不是常数函数，故f（x）不恒为0，

∴f（x）为偶函数但不是奇函数．故选：B．

1．已知定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当时，，则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数为　9　个．

【解答】解：∵当x∈（0，）时，f（x）＝sinπx，令f（x）＝0，则sinπx＝0，解得x＝1．

又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴在区间∈[﹣，]上，

f（﹣1）＝f（1）＝f（）＝f（﹣）＝0，f（0）＝0，∵函数f（x）是周期为3的周期函数，

则方程f（x）＝0在区间[0，6]上的解有0，1，，2，3，4，，5，6．共9个．故答案为：9．

作业答案：

1．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝﹣f（x+1），且当1≤x＜2时，f（x）＝9x﹣9，则＝（　　）

A．0 B．﹣6 C．18 D．﹣18

【解答】解：由f（x）＝﹣f（x+1），

则f（x+2）＝f（（x+1）+1）＝﹣f（x+1）＝﹣（﹣f（x））＝f（x），所以周期为2．

则

故选：C．

1．已知奇函数f（x）（x∈R）满足f（x+4）＝f（x﹣2），且当x∈[﹣3，0）时，，则f（2018）＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵奇函数f（x）（x∈R）满足f（x+4）＝f（x﹣2），

∴f（x+6）＝f（x），

∵当x∈[﹣3，0）时，，

∴f（2018）＝f（336×6+2）＝f（2）＝﹣f（﹣2）

＝﹣{}

＝．

故选：D．

1．已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x+4）＝﹣f（x），如果当x∈[﹣4，0）时，f（x）＝3﹣x，则f（985）＝（　　）

A．27 B．﹣27 C．9 D．﹣9

【解答】解：∵y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x+4）＝﹣f（x），

∴f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），

∵当x∈[﹣4，0）时，f（x）＝3﹣x，

∴f（985）＝f（123×8+1）＝f（1）＝﹣f（﹣3）＝﹣33＝﹣27．

故选：B．

1．已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x﹣4）＝﹣f（x），如果当x∈[﹣4，0）时，，则f（266）＝　﹣2　．

【解答】解：∵y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x+4）＝﹣f（x），

∴f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），

∵当x∈[﹣4，0）时，f（x）＝（）﹣x，

∴f（266）＝f（33×8+2）＝f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣（）2＝﹣2．

故答案为：﹣2．

1．f（x）是定义在R上的奇函数，满足，当x∈（0，1）时，f（x）＝2x﹣2，则＝　　．

【解答】解：根据题意，f（x）满足，则有f（x+2）＝＝f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，

又由f（x）为定义在R上的奇函数，

则＝f（﹣log26）＝﹣f（log26）＝﹣f（log26﹣2）＝﹣f（log2），

当x∈（0，1）时，f（x）＝2x﹣2，则f（log2）＝﹣2＝﹣，

故＝；

故答案为：

1．若定义在实数集R上的f（x）满足：x∈（﹣3，﹣1）时，f（x+1）＝ex，对任意x∈R，都有成立．f（2019）等于（　　）

A．e2 B．e﹣2 C．e D．1

【解答】解：根据题意，对任意x∈R，都有成立，则有f（x+4）＝＝f（x），

即函数f（x）是周期为4的周期函数，

则f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1），

x∈（﹣3，﹣1）时，f（x+1）＝ex，当x＝﹣2时，有f（﹣1）＝e﹣2，

则f（2019）＝e﹣2，

故选：B．

1．定义在R上的偶函数f（x），对任意的实数x都有f（x+4）＝﹣f（x）+2，且f（﹣3）＝3，则f（2015）＝（　　）

A．﹣1 B．3 C．2015 D．﹣4028

【解答】解：∵对任意的实数x都有f（x+4）＝﹣f（x）+2，

令x＝﹣1，则f（3）＝﹣f（﹣1）+2＝3，

∴f（﹣1）＝﹣1，

又由f（x+8）＝f[（x+4）+4]＝﹣f（x+4）+2＝﹣[﹣f（x）+2]+2＝f（x），

故函数f（x）是周期为8的周期函数，

故f（2015）＝f（﹣1）＝﹣1，

故选：A．

1．若偶函数y＝f（x）（x∈R）满足条件：f（﹣x）＝f（1+x），则函数f（x）的一个周期为　1　．

【解答】解：∵偶函数y＝f（x）（x∈R）满足条件：f（﹣x）＝f（1+x），

∴f（﹣x）＝f（x）＝f（1+x），

∴函数f（x）的一个周期为1．

故答案为：1．

备用题：

1．定义在R上的函数f（x），对任意x均有f （x）＝f（x+2）+f （x﹣2）且f（2013）＝2013，则f（2025）＝　   　．

2．如果函数y＝f（x）满足f（ax）＝f（ax﹣）（a＞0），则y＝f（ax）的一个正周期为（　　）

A． B． C． D．

1．已知定义在R上的函数f（x）的周期为4，当x∈[﹣2，2）时，，则f（﹣log36）+f（log354）＝（　　）

A． B． C． D．

3．设f（x）的定义域为R，且f（x+）＝f（x）．若x∈[﹣，π]时，f（x）＝，则f（﹣）+f（）等于（　　）

A． B．0 C． D．1

1．设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意x1，x2∈[0，]，都有f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），且f（1）＝a＞0．

（1）求f（）及f（）；

（2）证明f（x）是周期函数．

备用题答案：

1．定义在R上的函数f（x），对任意x均有f （x）＝f（x+2）+f （x﹣2）且f（2013）＝2013，则f（2025）＝　2013　．

【解答】解：∵定义在R上的函数f（x），对任意x均有f （x）＝f（x+2）+f （x﹣2），①

∴f（x+2）＝f（x+4）+f（x），②

由①②，可得f（x﹣2）＝﹣f（x+4），即f（x）＝﹣f（x+6），

∴f（x+12）＝f（x），

∴函数f（x）为周期函数，周期为T＝12，

∵f（2013）＝2013，

∴f（2025）＝f（2025﹣12）＝f（2013）＝2013．

故答案为：2013．

2．如果函数y＝f（x）满足f（ax）＝f（ax﹣）（a＞0），则y＝f（ax）的一个正周期为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：函数y＝f（x）满足f（ax）＝f（ax﹣）＝f[a（x﹣）]（a＞0），则y＝f（ax）的一个正周期为，

故选：A．

1．已知定义在R上的函数f（x）的周期为4，当x∈[﹣2，2）时，，则f（﹣log36）+f（log354）＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：因为函数f（x）的周期为4，当x∈[﹣2，2）时，，

∴f（﹣log36）＝f（log3）＝﹣log3﹣4＝2+log36；

f（log354）＝f（3+log32）＝f（log32﹣1）＝f（log3）＝﹣log3﹣4＝﹣log32+1﹣4＝﹣log32﹣3；

∴f（﹣log36）+f（log354）＝2+log36+﹣log32﹣3＝；

故选：A．

3．设f（x）的定义域为R，且f（x+）＝f（x）．若x∈[﹣，π]时，f（x）＝，则f（﹣）+f（）等于（　　）

A． B．0 C． D．1

【解答】解：因为f（x+）＝f（x）；

∴f（x）的周期为．

∴f（﹣）＝f（﹣3π﹣）＝f（﹣）＝f（﹣+）＝f（）＝sin＝；

f（）＝f（﹣3π）＝f（﹣）＝cos（﹣）＝cos＝．

∴f（﹣）+f（）＝+＝．

故选：A．

1．设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意x1，x2∈[0，]，都有f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），且f（1）＝a＞0．

（1）求f（）及f（）；

（2）证明f（x）是周期函数．

【解答】解；（1）∵f（1）＝f（+）＝f（）•f（）＝f2（）＝a，

∴f（）＝±

又∵f（）＝f（+）＝f2（）＞0，

∴f（）＝同理可得f（）＝

（2）∵f（x）是偶函数，

∴f（﹣x）＝f（x）

又∵f（x）关于x＝1对称，

∴f（x）＝f（2﹣x）

∴f（x）＝f（﹣x）＝f[2﹣（﹣x）]＝f（2+x）  （x∈R）

这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．