数学归纳法 (有答案)

2015高考会这样考　1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力．

复习备考要这样做　1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤．

一、知识梳理

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n＝k (k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫作数学归纳法．

[难点正本　疑点清源]

1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．

2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．

小试牛刀

1．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k)＋________.

答案　π

解析　易得f(k＋1)＝f(k)＋π.

2．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋1)”，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________．

答案　2k

解析　n＝k时，左边＝1＋＋…＋，当n＝k＋1时，

左边＝1＋＋＋…＋＋…＋.

所以左边应增加的项的项数为2k.

3．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边需计算的项是                                                (　　)

A．1                              B．1＋a

C．1＋a＋a2                      D．1＋a＋a2＋a3

答案　C

解析　观察等式左边的特征易知选C.

4．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　)

A．n＝k＋1时等式成立

B．n＝k＋2时等式成立

C．n＝2k＋2时等式成立

D．n＝2(k＋2)时等式成立

答案　B

解析　因为假设n＝k(k≥2且k为偶数)，故下一个偶数为k＋2，故选B.

5．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则                                (　　)

A．f(n)有n项，当n＝2时，f(2)＝＋

B．f(n)有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

C．f(n)有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋

D．f(n)有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

答案　D

解析　从n到n2共有n2－n＋1个数，

所以f(n)有n2－n＋1项.

二、典型例题

题型一　用数学归纳法证明等式

例1　已知n∈N*，证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.

思维启迪：等式的左边有2n项，右边有n项，左边的分母是从1到2n的连续正整数，末项与n有关，右边的分母是从n＋1到n＋n的连续正整数，首、末项都与n有关．

证明　①当n＝1时，左边＝1－＝，

右边＝，等式成立；

②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即

1－＋－＋…＋－

＝＋＋…＋，

那么当n＝k＋1时，

左边＝1－＋－＋…＋－＋－

＝＋－

＝＋＋…＋＋＋

＝＋＋…＋＋ ＝右边，

所以当n＝k＋1时等式也成立．

综合①②知对一切n∈N*，等式都成立．

探究提高　用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证n＝n0时命题的真假(必不可少)．“假设n＝k (k∈N*，且k≥n0)时命题正确”并写出命题形式分析“n＝k＋1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．

【变式1】　用数学归纳法证明：

对任意的n∈N*，＋＋…＋＝.

证明　(1)当n＝1时，左边＝＝，

右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即

＋＋…＋＝，

则当n＝k＋1时，

＋＋…＋＋

＝＋＝

＝＝＝，

所以当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．

题型二　用数学归纳法证明不等式

例2　用数学归纳法证明：

1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n (n∈N*)．

思维启迪：利用假设后，要注意不等式的放大和缩小．

证明　(1)当n＝1时，左边＝1＋，右边＝＋1，

∴≤1＋≤，即命题成立．

(2)假设当n＝k (k∈N*)时命题成立，即

1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，

则当n＝k＋1时，

1＋＋＋…＋＋＋＋…＋

>1＋＋2k·＝1＋.

又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋

<＋k＋2k·＝＋(k＋1)，

即n＝k＋1时，命题成立．

由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．

探究提高　(1)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．

(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有①放缩法；②利用基本不等式法；③作差比较法等．

【变式2】　用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式·…·>均成立．

证明　(1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.

∵左边>右边，∴不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即·…·>.

则当n＝k＋1时，

·…·

>·＝

＝>

＝＝.

∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．

题型三　用数学归纳法证明整除性问题

例3　用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n为正整数．

思维启迪：当n＝k＋1时，把42(k＋1)＋1＋3k＋3配凑成42k＋1＋3k＋2的形式是解题的关键．

证明　(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．

(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，

则当n＝k＋1时，

方法一　42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3

＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)，

∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除．

∴42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除．

方法二　因为[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)

＝(42k＋1·42＋3k＋2·3)－3(42k＋1＋3k＋2)

＝42k＋1·13，

∵42k＋1·13能被13整除，

∴[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)能被13整除，因而42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除，

∴当n＝k＋1时命题也成立，

由(1)(2)知，当n∈N＋时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．

探究提高　用数学归纳法证明整除问题，P(k)⇒P(k＋1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P(k＋1)进行分拆、配凑成P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被p整除且P(k＋1)－P(k)能被p整除⇒P(k＋1)能被p整除．”

【变式3】　已知n为正整数，a∈Z，用数学归纳法证明：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．

证明　(1)当n＝1时，an＋1＋(a＋1)2n－1＝a2＋a＋1，能被a2＋a＋1整除．

(2)假设n＝k(k∈N＋)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，那么当n＝k＋1时，

ak＋2＋(a＋1)2k＋1

＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a＋1)2

＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]－ak＋1(a2＋a＋1)能被a2＋a＋1整除．

即当n＝k＋1时命题也成立．

根据(1)(2)可知，对于任意n∈N＋，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．

题型四  归纳、猜想、证明

【例4】在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝.

(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．

审题视角　(1)数列{an}的各项均为正数，且Sn＝，所以可根据解方程求出a1，a2，a3；(2)观察a1，a2，a3猜想出{an}的通项公式an，然后再证明．

规范解答

解　(1)S1＝a1＝得a＝1.

∵an>0，∴a1＝1，[1分]

由S2＝a1＋a2＝，

得a＋2a2－1＝0，∴a2＝－1.[2分]

又由S3＝a1＋a2＋a3＝

得a＋2a3－1＝0，∴a3＝－.[3分]

(2)猜想an＝－ (n∈N*)[5分]

证明：①当n＝1时，a1＝1＝－，猜想成立．[6分]

②假设当n＝k (k∈N*)时猜想成立，

即ak＝－，

则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk

＝－，

即ak＋1＝－

＝－，

∴a＋2ak＋1－1＝0，∴ak＋1＝－.

即n＝k＋1时猜想成立．[11分]

由①②知，an＝－ (n∈N*)．[12分]

温馨提醒　(1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．

(2)本题易错原因是，第(1)问求a1，a2，a3的值时，易计算错误或归纳不出an的一般表达式．第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解决问题的突破口.

方法与技巧

1．在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n＝k到n＝k＋1时，式子中项数的变化，应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．

2．对于证明等式问题，在证n＝k＋1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减   少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法．

3．归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写．

失误与防范

1．数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题．

2．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．

3．注意n＝k＋1时命题的正确性．

4．在进行n＝k＋1命题证明时，一定要用n＝k时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．

课堂练习

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为                                                                (　　)

A．1                              B．1＋2

C．1＋2＋22                      D．1＋2＋22＋23

答案　D

解析　左边的指数从0开始，依次加1，直到n＋2，所以当n＝1时，应加到23，故

选D.

2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取                                                            (　　)

A．2              B．3              C．5              D．6

答案　C

解析　令n0分别取2,3,5,6，依次验证即得．

3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上                                                            (　　)

A．k2＋1                            B．(k＋1)2

C.                    D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2

答案　D

解析　当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2.

当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，

故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故应选D.

4．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为                                                    (　　)

A．2k＋1                          B．2(2k＋1)

C.                          D.

答案　B

解析　n＝k＋1时，左端为

(k＋2)(k＋3)·…·[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)

＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)[2(2k＋1)]，

∴应乘2(2k＋1)．

二、填空题(每小题5分，共15分)

5．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步验证为________．

答案　当n＝1时，左边＝4≥右边，不等式成立

解析　由n∈N＋可知初始值为1.

6．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．

答案　f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2

解析　∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，

∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；

∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.

7．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．

答案　2k＋1

解析　因为n为正奇数，所以与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1.

三、解答题(共22分)

8．(10分)若n为大于1的自然数，求证：

＋＋…＋>.

证明　(1)当n＝2时，＋＝>.

(2)假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，

即＋＋…＋>，

那么当n＝k＋1时，

＋＋…＋

＝＋＋…＋＋＋＋－

＝＋＋－

>＋＋－＝＋－

＝＋>.

这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)可知，原不等式对任意大于1的自然数都成立．

9．(12分)已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．

(1)求过点P1，P2的直线l的方程；

(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．

(1)解　由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.

∴b2＝＝.a2＝a1·b2＝.

∴点P2的坐标为，

∴直线l的方程为2x＋y＝1.

(2)证明　①当n＝1时，

2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时，

2ak＋bk＝1成立，则当n＝k＋1时，

2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝(2ak＋1)

＝＝＝1，

∴当n＝k＋1时，命题也成立．

由①②知，对于n∈N*，都有2an＋bn＝1，

即点Pn在直线l上．

课后练习

一、选择题(每小题5分，共15分)

1．对于不等式(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法                            (　　)

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

答案　D

解析　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．

2．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋< (n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边                                                (　　)

A．增加了一项

B．增加了两项、

C．增加了B中两项但减少了一项

D．以上各种情况均不对

答案　C

解析　∵n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，

左边＝＋＋…＋＋＋，

∴增加了两项、，少了一项.

3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋> (n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　)

A．7              B．8              C．9              D．10

答案　B

解析　左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.

二、填空题(每小题5分，共15分)

4．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．

答案　(5,7)

解析　本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；

4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；

5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；

…；

一个整数n所拥有数对为(n－1)对．

设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴＝60，

∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，

12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，

∴第60个数对为(5,7)．

5．用数学归纳法证明…> (k>1)，则当n＝k＋1时，左端应乘上____________________________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是__________．

答案　…　2k－1

解析　因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是，最后一个是，根据等差数列通项公式可求得共有＋1＝2k－2k－1＝2k－1项．

6．在数列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是________．

答案　an＝

解析　当n＝2时，a1＋a2＝6a2，即a2＝a1＝；

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝15a3，

即a3＝(a1＋a2)＝；

当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4，

即a4＝(a1＋a2＋a3)＝.

∴a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝，

故猜想an＝.

三、解答题

7．(13分)已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈时，f(x)≥.

(1)求a的值；

(2)设0(1)解　由题意，知

f(x)＝ax－x2＝－2＋.

又f(x)max≤，所以f＝≤.

所以a2≤1.

又当x∈时，f(x)≥，

所以即解得a≥1.

又因为a2≤1，所以a＝1.

(2)证明　用数学归纳法证明：

①当n＝1时，0因为当x∈时，0所以0故n＝2时，原不等式也成立．

②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式0因为f(x)＝ax－x2的对称轴为直线x＝，所以当x∈时，f(x)为增函数．

所以由0于是，0所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．

根据①②，知对任何n∈N*，不等式an<成立．