高考平面向量试题汇编.doc

一 平面向量的概念及基本运算

【考点阐述】

向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．

【考试要求】

（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．

（2）掌握向量的加法和减法．

（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．

（4）了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．

【201X年湖北卷理5文8】．已知△ABC和点M满足++=0．若存在实数m使得+=m成立，则m=B

A．2         B．3         C．4         D．5

【解析】由++=0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则==·（+）=（+），所以有+=m，故m=3，选B．

【201X年全国Ⅱ卷理8文10】．△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB．若=a，=b，| a |=1，| b |=1，则=B

A．a +b    B．a +b      C．a +b     D．a +b

【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.

【解析】因为CD平分∠ACB，由角平分线定理得=2，所以D为AB的三等分点，且==（―），所以=+=+=a +b．

【201X年陕西卷理11文12】．已知向量a=（2，―1），b=（―1，m），c=（―1，2），若（a+b）∥c，则m=       ．

【答案】―1

【解析】∵a+b =（1，m―1），c =（―1，2），∴由（a+b）∥c 

得1×2―（―1）×（m―1）=0，所以m=―1．

【201X年高考上海市理科13】．如图所示，直线x=2与双曲线Г：―y2=1的渐近线交于E1，E2两点，记=e1，=e2，任取双曲线上的点P，若=a e1+b e2（a，b∈R），则a、b满足的一个等式是         ．4ab=1

【答案】4ab=1

【201X年高考上海卷文科13】．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为（，0），e1=（2，1），e2=（2，―1）分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若=a e1+b e2（a，b∈R），则a、b满足的一个等式是  4ab 1         ．

解析：因为e1=（2，1），e2=（2，―1）是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又c=，所以a=2，b=1，双曲线方程为，=a e1+b e2=（2a+2b，a―b），，化简得4ab 1．

二 平面向量的数量积

【考试要求】

掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．

【201X年江西卷文13】．已知向量a，b满足|b|=2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是      ．

【答案】1  

【解析】考查向量的投影定义，b在a上的投影等于b的模乘以两向量夹角的余弦值

【湖南卷理4】．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则·等于D

A．―16        B．―8         C．8    D．16

解析一：因为∠C=90°，所以·=0，·=（+）·=2+·=16．

解析二：在上的投影为||，所以·=||2=16．

【201X年北京卷理6】．a、b为非零向量。“a⊥b”是“函数f（x）=（xa+b）·（xb―a）为一次函数”的B

A．充分而不必要条件      B．必要不充分条件

  C．充分必要条件        D．既不充分也不必要条件

解析：f（x）=（xa+b）·（xb―a）=（a·b）x2+（|b|2―|a|2）x― a·b，如a⊥b，则有a·b=0，如果同时有|a|=| b |，则函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f（x）为一次函数，则a·b=0，因此可得a⊥b，故该条件必要。

【201X年北京卷文4】．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f（x）=（xa+b）·（xb―a）是A

 A．一次函数且是奇函数     B．一次函数但不是奇函数

  C．二次函数且是偶函数     D．二次函数但不是偶函数

解析：f（x）=（xa+b）·（xb―a）=（a·b）x2+（|b|2―|a|2）x― a·b，由a⊥b，则a·b=0，f（x）=（|b|2―|a|2）x，故f（x）是一次函数且是奇函数．

【201X年江西卷理13】．已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2， a与b的夹角为60°，则|a―b|=     ．

【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，

以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图

a=，b =，a―b=―=，

由余弦定理得：|a―b|=．

【201X年重庆卷理2】．已知向量a，b满足a·b=0，|a|=1，|b|=2，则|2a―b|= B

A．0       B．     C． 4       D．8

解析：|2a―b|=.

【201X年浙江卷文13】．已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a⊥（a―2b），则|2a+b|的值是    ．

解析：，由题意可知a·（a―2b）=0，结合|a|=1，|b|=2，解得a·b=，所以|2 a+b |2=4a2+4a·b + b 2=8+2=10，开方可知答案为，

【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。

【201X年浙江卷理16】．已知两平面向量a，b均为非零向量，且a≠b，| b |=1，a与b―a的夹角为120°，则| a |的取值范围是_______．（0，]

【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题．

【解析】如图所示，在△ABC中，∠ABC=60°，AC=1，设∠ACB=θ，由正弦定理得：

     ，

| a |=|AB|=sinφ≤，故| a |∈（0，]．

【201X年湖南卷文6】．若非零向量a，b满足|a|=|b|，（2a+b）·b =0，则a与b的夹角为C

A．30°       B． 60°       C．120°      D． 150°

【解析】（2a+b）·b =2a·b+b·b=0，所以a·b=―|b| 2，cos﹤a，b﹥=―，﹤a，b﹥=120°．

【201X年辽宁卷理8文8】．平面上O，A，B三点不共线，设=a，=b，则△OAB的面积等于C

A．         B．       

C．        D．

解析： 

【201X年四川卷理5文6】．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2=16，|+|=|―|，则||=C

A．8        B．4       C． 2       D．1

解析：由2＝16，得|BC|＝4 ，|+|=|―|=||＝4，而|+|=2||，故||=2．

【201X年天津卷文9理（填空）15】．如图，在△ABC中，AD⊥AB，=，||=1，则·=D

A．   B．   C．   D．

【解析】·=||·||cos∠DAC=||cos∠DAC=||sin∠BAC=||sin∠B

=||sin∠B=．

【命题意图】本题主要考查平面向量、解三角形等基础知识,考查化归与转化的数学思想,有点难度.

【201X年全国Ⅰ卷理11文11】．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为D

 A．     B．    C．    D．

【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.

【解析1】如图所示：设PA=PB=x，∠APO=α，则∠APB=2α，PO=，，

===，令，则，即，由x2是实数，所以

，，解得或.故.此时.

【解析2】法一：  设，

法二：换元：，

或建系：园的方程为，设，

【201X年山东卷理12文12】．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=mq―np，下面说法错误的是B

A．若a与b共线，则a⊙b=0                 B．a⊙b=b⊙a   

C．对任意的λ∈R，有（λa）⊙b=λ（a⊙b）   D．（a⊙b）2+（a·b）2=|a|2·|b|2   

【解析】若a与b共线，则有a⊙b=mq―np，故A正确；因为b⊙a =pn―qm，而

a⊙b=mq―np，所以有a⊙b≠b⊙a，故选项B错误，故选B。

【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。

【201X年重庆卷文3】．若向量a=(3，m)，b=(2，―1)， a·b=0，则实数m的值为D

A．      B．       C． 2        D． 6

【解析】a·b=6―m=0，所以m =6．

【201X年安徽卷理3文3】．设向量a=（1，0），b=（，），则下列结论中正确的是C

A．|a|=| b |    B．a·b=      C．a―b与b垂直        D．a∥b

解析：a―b=（，―），（a―b）·b=0，所以a―b与b垂直．

【201X年福建卷文8】．若向量a=（x，3）（x∈R），则“x = 4”是“| a |=5”的A

A．充分而不必要条件        B．必要而不充分条件     

C．充要条件              D．既不充分也不必要条件

【解析】由x=4得a=（4，3），所以| a |=5；反之，由| a |=5可得。

【命题意图】本题考查平面向量、常用逻辑用语等基础知识。

【201X年广东卷文5】．若向量a=（1，1），b=（2，5），c=(3，x)满足条件 (8a－b)·c =30，则x=

A．6         B．5         C．4      D．3

解析：8a－b =（6，3），(8a－b)·c =6×3+3x=30，故x=4．

【201X年全国Ⅰ新课标卷文2】．a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于C

A．       B．      C．       D．

解析：由已知得b=（2a+b）―2a=（―5，12），所以．

【201X年高考福建卷理科7】．若点O和点F（―2，0）分别是双曲线―y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为B

A．    B．     C．      D．

【解析】因为F（―2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为―y2=1，设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，·取得最小值，故·的取值范围是，选B。

【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。

【201X年高考福建卷文科11】．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为C

   A．2         B．3        C．6       D．8

【解析】由题意，F（-1，0），设点P（x0，y0），则有,解得，

因为，，所以·=

==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当x0=2时，·取得最大值，选C。

【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。

【201X年江苏卷15】．在平面直角坐标系xOy中，点A(―1，―2)，B(2，3)，C(―2，―1) ．

（Ⅰ）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（Ⅱ）设实数t满足（―t）·=0，求t的值．

[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力．

（1）（方法一）由题设知，则

所以

故所求的两条对角线的长分别为、。

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）

 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；

（2）由题设知：=(－2,－1)，。

由（―t）·=0，得：，

从而所以。

或者：，

【201X年上海市春季高考22】．

【201X年高考福建卷文科18】． 设平顶向量＝ （ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m， n {1,2,3,4}.

 （I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果；

 （II）记“使得（-）成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率。

【201X年高考湖北卷文科20】．已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。

（Ⅰ）求曲线C的方程

（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。