1. 在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅
＝_____________
2. 已
知
0,31=⋅==，点C 在AOB ∠内，A O C
∠30o =.设(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则m
n
等于
3. 在△ABC 中，若4=∙=∙，则边AB 的长等于
4. 已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++
则的取值范围是
___________
A
B
C
G
P
G ’
P ’ A
B
C
P
Q
5. 已知O 为ABC ∆所在平面内一点，满足22OA BC += 22
OB CA += 22
OC AB + ，则点O 是ABC ∆的 心
6. 设点O 是△ABC 的外心，AB ＝c ，AC ＝b ，()1122
=+-c b 则→BC ·→AO 的取值范围
7. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，
33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于____
8. 已知向量α ,β ,γ 满足||1α= ,||||αββ-= ,()()0αγβγ-⋅-= .若对每一确定的β ,||γ
的最大值和最小值分
别为,m n ,则对任意β
,m n -的最小值是
.,
A B
C
D
A
B
C
O
α
β
B
9. 已知向量a ，b ，c 满足 | a | = 1，|a - b | = | b |，(a - c ) (b - c ) = 0 ，若对每一个确定的b ，|c | 的最大值和最小值分别为m ，n ，则对于任意的向量b ，m + n 的最小值为_________ ．
10. 设21,e e 是夹角为0
60的两个单位向量，已知21,e ON e OM ==，ON y OM x OP +=，若P M N ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，则实数y x -取值的集合为_____________
11. 如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点D A ,分别在x 轴，y 轴上正半轴上滑动，则OC OB ⋅的最大值为________2
12. 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0
120。如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈,，则y x +的最大值是_ __ __ __ _
【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA 和OB ，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若
y x +=，其中x 、y ∈R ，则22)1(y x +-的最大值为 _ _
13. 在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点P 在CD BC 与上运动（包括端点），则∙的取值范围是
14. 在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅
的取值范围是
15. 已知||4,||6,,OA OB OC xOA yOB ===+ 且21x y +=，AOB ∠是钝角，若()||f t OA tOB =-
的最
小值为||OC 的最小值是
16. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设
向量AC DE AP λμ=+ ，则λμ+的最小值为 12
17. 已知P 为边长为1的等边ABC ∆所在平面内一点，且满足2+=，则⋅=________
18. 已知向量M={ a | a =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}， N={a |a =(-2,2)+ λ(4,5) λ∈R }，则M ⋂N=________
19. 等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒
，AB ，AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点，点M N 、分
别为AB 边和AC 边上的点，且M N 、关于直线AD 对称，当12PM PN ⋅=- 时，
AM
MB
=______
P
A
21. 已知A ，B ，C 是平面上不共线上三点，动点P 满足⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
++-+-=→→→→
OC OB OA OP )21()1()
1(3
1λλλ)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ∆的______________
22. 已知点O 为ABC ∆24==,则=∙ 6
23. 设D 是ABC ∆边BC 延长线上一点，记)1(λλ-+= ，若关于x 的方程
01sin )1(sin 22=++-x x λ在)2,0[π上恰有两解，则实数λ的取值范围是____
24. O 是锐角∆ABC 所在平面内的一定点,动点P
满足:OP OA =+
2
AB
AB Sin ABC
λ⎛ +
∠⎝
2
AC
AC
Sin ACB ⎫⎪⎪
⎪
∠⎭ ,()0,λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的______心
C
A
D
E
B
25. 已知O 为坐标原点，(),OP x y = ，(),0OA a = ，()0,OB a = ，()3,4OC =
，记PA 、PB 、PC
中的最大值为M ，当a 取遍一切实数时，M 的取值范围是_____
26. 已知ABC ∆中，I 为内心，2,3,4,AC BC AB AI xAB yAC ====+
且，则x y +的值为 _________ .
27. 设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小 为__________
28. 平面内两个非零向量βα,
1=，且α与αβ-的夹角为0135
的取值范围是_________
29. 在ABC ∆中，2,1=
=AC AB ，O 为ABC ∆外接圆的圆心，则=⋅____
30. △ABC 内接于以O 为圆心的圆，且3450OA OB OC +-=
．则C ∠= ．
31. 在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝7，AC =3，以A 为圆心，r =2为半径作一个圆，设PQ 为圆A 的任意一条直径，记T ＝→
→
∙CQ BP ,则T 的最大值为 ．
32. 如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥
，BC = BD ，1AD =
，则AC AD ⋅
=____________
33. 已知点O 为△ABC 内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0→，则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于_______________
34.已知 A.B.C 是△ABC 的三个顶点，ABC CA BC CB AB AC AB AB ∆⋅+⋅+⋅=则,2
为
_________________三角形.
A B
C
P
A
B C
O
D
E
35.平面上的向量,满足42
2
=+，且0=⋅,若向量PB PA PC 3
231+=
的最大值为___________
36.已知在平面直角坐标系中，),,(),3,2(),1,0(),2
1
,1(),0,0(y x P Q N M O 动点满足0OQ OP ON OP OM OP ⋅≤⋅≤≤⋅≤则.10,1的最大值为
37、在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH
的中点，若AM AB BC λμ=+
，则λμ+= .
38. 如图，在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，2AB EF ==，3CA CB ==，
若7AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC
的夹角的余弦值等于 _．
39. 如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若2A
B A E A
C A F ⋅+⋅=
，则EF
与BC
的夹角等于 ；
C
40. 如图，已知Rt BCD △的一条直角边BC 与等腰Rt ABC △的斜边BC 重合，若2AB =，30CBD ∠=
，AD mAB nAC =+
，则m n - ＝ .
41.在ABC ∆中，若I 是其内一点，满足0=⋅+⋅+⋅IC c IB b IA a ，求证：I 为内心
42. 已知向量,,满足条件：0OA OB OC ++= ，且O A O B O C ==
=2，点P 是∆ABC 内一动点，则=⋅+⋅+⋅CP CA BP BC AP AB .
43. 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若
B nO A mO
C O
+=，则n m +的取值范围是
44.如图，n m +=，点P
n m ,满足的条件是___________
45. 在△ABC 中，π
6
A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与
B 、
C 不重合），且22||||AB A
D BD DC =+⋅ ，则B ∠等于
46. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，,2==BC AC D 是ABC ∆内切圆圆心，设P 是⊙D 外的三角形ABC 区域内的动点，若μλ+=，则点),(μλ所在区域的面积为
高考精选高难度压轴填空题----平面向量专题试题 及答案
1. 在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅
＝_____________
【答案】2
7- 解析：
2
7
)(21)()()()(-
=+⋅-=⋅-=+⋅-=⋅
2.
0,31=⋅=
=OB OA ，点C 在AOB ∠内，AOC ∠30o =.
设(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则m
n
等于
【答案】3
[解析]：法一：建立坐标系，设),(y x C 则由(,)OC mOA nOB m n R =+∈
得
⎩⎨⎧==⇒+=n
y m x n m y x 3)3,0()0,1(),(而030=∠AOC 故n m x y 330tan 0
==
法二：(,)OC mOA nOB m n R =+∈
两边同乘或得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⋅⇒=⋅=⇒=⋅n n m
m 332
1
323
两式相除得3=n m 3. 在△ABC 中，若4=∙=∙，则边AB 的长等于 22
A
B
C
P
Q
解析：4=∙=∙88)(2
=⇒=+⇒
4. 已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++
则的取值范围是
___________)1,3
2
(
解析：
=+=
+=''3
2
GP AG λ )()(31
n m t +++(其中1,10=+< 2(3132∈+=+t μλ 5. 已知O 为ABC ∆所在平面内一点，满足22OA BC += 22 OB CA += 22 OC AB + ，则点O 是ABC ∆的 心 垂心 解析： 22OA BC += 22 OB CA += 0))(())((=-++-+⇒CA BC CA BC OB OA OB OA 02=⋅⇒OC BA ，可知AB OC ⊥，其余同理 6. 设点O 是△ABC 的外心，AB ＝c ，AC ＝b ，()1122 =+-c b 则→BC ·→AO 的取值范围 ⎪⎭ ⎫⎢⎣⎡2,41- A B C G P G ’ P ’ 解析： ()1122=+-c b 222b b c -=⇒200<<⇒>b )(2 1 22cos cos )(22c b R c cR R b bR cR bR AO AB AC AO BC -=⋅-⋅=-=⋅-=⋅βα ∈--=-=41)21(22b b b ⎪⎭ ⎫ ⎢⎣⎡2,41- 7. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于_____3 2 解析：（2007全国联赛类似38.39题）因为2=⋅+⋅AF AC AE AB ， 所以2)()(=+⋅++⋅， 即22 =⋅+⋅+⋅+。因为12 =AB ， 11 33236 133133-=⨯⨯-+⨯ ⨯=⋅，-=， 所以21)(1=--⋅+AB AC BF ，即2=⋅BC BF 。设EF 与BC 的夹 角为θ，则有2cos ||||=⋅⋅θBC BF ，即3cos θ=2，所以3 2cos = θ 8. 已知向量α ,β ,γ 满足||1α= ,||||αββ-= ,()()0αγβγ-⋅-= .若对每一确定的β ,||γ 的最大值和最小值分 别为,m n ,则对任意β ,m n -的最小值是 2 1 解析：数形结合. =AB ,=AC ,-=BC ,,=AD BD CD BD CD ⊥⇒-=-=,，点D 在以BC 为直径的圆上运动，m n -就是BC ，而 2 1 121,≥⇒≥⇒==BC BC AB BC AC （C B A ,,共线时取等号）和9题相同. A B C D A B C O α β B 9. 已知向量a ，b ，c 满足 | a | = 1，|a - b | = | b |，(a - c ) (b - c ) = 0 ，若对每一个确定的b ，|c | 的最大值和最小值分别为m ，n ，则对于任意的向量b ，m + n 的最小值为_________ ．2 3 解析：本题和8完全相同。数形结合，具体参见8 10. 设21,e e 是夹角为0 60的两个单位向量，已知21,e ON e OM ==，ON y OM x OP +=，若P M N ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，则实数y x -取值的集合为_____________{1} 解析：画图解即可 11. 如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点D A ,分别在x 轴，y 轴上正半轴上滑动，则OC OB ⋅的最大值为________2 12sin ))((+=++θ 12. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为0 120。如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈,，则y x +的最大值是___2 解析： 13)(2222222 =-+=-+=⋅++=xy y x xy y x xy y x 2 2)2 ( 3131)(y x xy y x +⋅+≤+=+ 【研究】如果要得到y x ,满足的准确条件，则建系，)2 3 , 21(),0,1(-==则 )23,21(y y x - =，则满足11)2 3()21(22 2=-+⇒=+-2xy y x y y x ，且0,2121≥-≥-y y x 【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若 OB y OA x OC +=，其中x 、y ∈R ，则22)1(y x +-的最大值为 2 解析：建系，利用坐标法是可以得到y x ,最准确的满足条件，如)1,0(),0,1(== ),(y x =，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，故满足)0,0(122≥≥=+y x y x 13. 在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点P 在CD BC 与 上运动（包括端点），则DM AP ∙的取值范围是 ]1,2 1 [- 解析：分两种情形，结合图形分析。（1）当P 在BC 上时，+=，则 ]1,2 1 [211∈-=⋅+⋅=⋅BP DM DM DM ；同理，当P 在 CD 上时， ]2 1 ,21[2121-∈+-=⋅DM DM AP 14. 在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅ 的取值范围是 [)716， 解析：PM PN ⋅ ab b a ab c b a ab ab -=-+=-+⋅ ==322 36 2cos 22222θ，因10=+b a ，故25)2 (2 =+≤b a ab ，PM PN ⋅ 732≥-=ab ，或者用消元的方法 25)5()10(2 +--=-=a a a ab 25≤，当5==b a 时取等号，故PM PN ⋅
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