浅谈初中数学分类讨论思想

                      巴中七中——邓先勇

在我的理解分类即使“类分”，也就是说按类别进行划分。在我们的生活中经常遇到，比如整理东西是我们会按类别存放，再比如我们各科的教材等等。可以说分类在我们生活学习当中随处可见。初中的数学学习中很多时候会用到“分类”的思想，它贯穿整个初中的数学学习过程。但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师在教学中结合教材，创设情景，予于强化，需要区分种种情况进行讨论的问题，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识。

分类的本质

    初中数学分类思想是一个重要的数学学习手段，所以什么地方该分类，怎么分类就成了分类思想的重点。那么要掌握这些首先就应该搞清楚分类的本质是什么。

在初中数学中分类的本质就是对某一个量不确定时，那么就需要把它可能出现的每一种情况都要考虑进去，这就出现了分类；如在初中一年级学习负数的时候，老师提问“-a一定是负数吗？”因为a的值不确定，所以它要分a>0，a=0，a<0三种情况考虑。这就需要老师的引导，让学生体会分类的思想。

分类的原则

    （1）分类中的每一部分是相互的；

    （2）一次分类按一个标准；

    （3）分类讨论应逐级有序进行．

（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.

分类在初中数学学习中的具体体现

    掌握用分类讨论思想解题的关键，在于搞清楚哪些情况下会引起分类讨论。下面就引起分类讨论的一些常见情况作一归纳：

一、给出图形或图形中的某些点、线段、角的位置不确定。

给出图形中的线段的位置不确定.

例题:

    1、等腰三角形的两边分别为5、6，则此三角形的周长为（          ）

    2、如果直角梯形的一条底边长为7厘米，两腰的长分别为8厘米和10厘米，那么这个梯形的面积是（                ）平方厘米。

    3、半径为5的圆内有两条平行弦分别长6cm和8cm,则两弦之间距离为  （             ）

    4、已知两圆相交，它们的半径分别为10和17，公共弦长为6，那么这两圆的圆心距为（             ）

    5、一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米,当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．

   6. 在△ABC中，AB=2   ，AC=2，BC边上的高为   ，求BC的长及∠B的度数

给出图形中的点的位置不确定.

例题:

   1.已知数轴上有一点P，它到原点的距离为5，则点P所对应的数（          ）

   2.已知在x轴上有一点P，它到原点的距离为5，则点P的坐标为（             ）

   3.已知y=3x+b与y轴的交点到原点的距离是5，则此一次函数解析式（           ）

   给出图形中的角的位置不确定.

例题：

   1.已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标是（2，0），点C在函数y= 2x+1  图像上，且△ABC是直角三角形，求点C的坐标。

   2. 若点A（-2，0）和点B(4,0)在X轴上，点C在y轴上，使△ABC的面积等于  9，求点C的坐标。

   3．A,B是⊙o上两点，且∠AOB=70°,C是⊙o上不与A,B重合的任一点，则∠ACB=________.

二．给出的条件或结论中的某些数量关系不确定。

例题:

    1.矩形的一个角的平分线分矩形一条边为1厘米和3厘米两部分，这个矩形的面积为（    ）平方厘米。

    2.如果等腰三角形腰上的高等于腰的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于（      ）度。

    3.一个三角形的三边长分别为3，4，5，另一个与它相似的三角形中有一边长为6，则这个三角形的周长为（          )

4.5个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是4，唯一众数是5，求 这组数据之和为（      )

三.给出的条件或结果中含有字母系数.

例题：

1．已知关于x的方程有实数根，则k为（     ）。

 当k=0时，则原方程变为,则，则方程有实数根。

当k≠0时，解得

所以k的取值范围为

2.解不等式 (k-1)x＞k2-1

解：当k-1＞0 即k＞1时，则x＞ k+1

当k-1=0  即k=1时，原不等式为0·x＞0，不等式无解

当k-1＜0 即k＜1时，则 x< k+1

综上所述：当k＞1时，x＞k +1；当k=1时，不等式无解；

当k＜1时  x四,实际问题中有多种选择方案

例题:

1．甲、乙两人分别从相距30km的A、B两地同时相向而行，经过3h后相距3km，再经过2h，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度。

（1）当3h后甲、乙两人未相遇时，设甲的速度为每小时xkm，乙的速度为每小时ykm，则3x+3y=30-3，30-5x=2(30-5y)解得：x=4，y=5 

（2）当3h后甲、乙两人已相遇时，设甲的速度为每小时xkm，乙的速度为每小时ykm，则3x+3y=30+3  ，30-5x=2(30-5y) 解得x= ，y=。

答：甲的速度为4Km/h，乙的速度为5Km/h 或甲的速度为Km/h，乙的速度为Km/h。

2．某旅行杜拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：

(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗?为什么？

(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?

【解析】考查了方程和不等式的问题，涉及了分类讨论问题。

解：（1）设两校人数之和为a.

若a＞200，则a=18 000÷75=240.

若100＜a≤200，则，不合题意.

所以这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240人，超过200人.……3分

（2）设甲学校报名参加旅游的学生有x人，乙学校报名参加旅游的学生有y人，则

①当100＜x≤200时，得解得

②当x＞200时，得

解得

此解不合题意，舍去.

∴甲学校报名参加旅游的学生有160人，乙学校报名参加旅游的学生有80人.

四．与图形运动的变化有关

例题：

1．正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动．当DM的长为多少时，△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似．

解：∵正方形ABCD边长是2 ∴BE=CE=1，∠B=∠D=90° ∴在Rt△ABE中， 

第一种情况：当△ABE∽△MDN时，AE：MN=AB：DM，即：1=2：DM，∴DM= 2； 

第二种情况：当△ABE∽△NDM时，AE：MN=BE：DM，即 √5：1=1：DM，∴DM=． 所以DM= 2或．

2． 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠C=900 ,BC=16,DC=12AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。

设运动的时间为（秒）。

（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 

解：

（1）过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。∴PM=DC=12

∵QB＝=6-t，∴S=×12×(16-t)=96-t

（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t。以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：

①若PQ=BQ。在Rt△PMQ中，，由P得，解得t=；

②若BP=BQ。在Rt△PMB中，。由得：即。

由于Δ=-704<0 ∴无解， ∴PB≠BQ

③若PB=PQ。由，得

整理，得。解得（不合题意，舍去）

综合上面的讨论可知：当t=秒 或 t=秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。

当然，上面归纳的这几种分类根据不是相互的，有时这几种分类根据常常要交叉使用，尤其对一些较复杂的讨论题更是如此。

总之， 数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。教师在制订教学目的、采用教学方法时，都应有意识地突出分类讨论思想，并在具体教学过程中努力体现。根据初中学生的特点，教学中要遵照循序渐近、逐步深化的原则并采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学。在教学中，我们要多研究、多实践、多探索，让学生更好的掌握好初中数学中的分类讨论思想。