线性代数习题及解答

说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||||表示向量的长度， T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设行列式=2，则=（      ）

A．-6    B．-3

C．3    D．6

2．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（      ）

A．E+A-1    B．E-A

C．E+A    D．E-A-1

3．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（      ）

A．可逆，且其逆为    B．不可逆

C．可逆，且其逆为    D．可逆，且其逆为

4．设1， 2，…， k是n维列向量，则1， 2，…， k线性无关的充分必要条件是

（      ）

A．向量组1， 2，…， k中任意两个向量线性无关

B．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l11+l22+…+lkk≠0

C．向量组1， 2，…， k中存在一个向量不能由其余向量线性表示

D．向量组1， 2，…， k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

5．已知向量则=（      ）

A．（0，-2，-1，1）T    B．（-2，0，-1，1）T

C．（1，-1，-2，0）T    D．（2，-6，-5，-1）T

6．实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是（      ）

A．1    B．2

C．3    D．4

7．设是非齐次线性方程组Ax=b的解，是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是

（      ）

A． +是Ax=0的解    B． +是Ax=b的解

C． -是Ax=b的解    D． -是Ax=0的解

8．设三阶方阵A的特征值分别为，则A-1的特征值为（      ）

A．    B． 

C．    D．2,4,3

9．设矩阵A=，则与矩阵A相似的矩阵是（      ）

A．    B． 

C．    D． 

10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（      ）

A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵    B．正定矩阵的行列式一定小于零

C．正定矩阵的行列式一定大于零    D．正定矩阵的差一定是正定矩阵

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det (A)=-1，det (B)=2，且A，B为同阶方阵，则det ((AB)3)=__________．

12．设3阶矩阵A=，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=__________．

13．设方阵A满足Ak=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A-1=__________．

14．实向量空间Rn的维数是__________．

15．设A是m×n矩阵，r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________．

16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________．

17．设是齐次线性方程组Ax=0的解，而是非齐次线性方程组Ax=b的解，则=__________．

18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．

19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．

20．二次型的正惯性指数是__________．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．计算行列式．

22．设矩阵A=，且矩阵B满足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩阵B．

23．设向量组求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．

24．设三阶矩阵A=，求矩阵A的特征值和特征向量．

25．求下列齐次线性方程组的通解．

26．求矩阵A=的秩．

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．设三阶矩阵A=的行列式不等于0，证明：

线性无关．

线性代数习题二

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A的行列式为2，则(   )

A.-1    B. 

C.    D.1

2.设则方程的根的个数为（   ）

A.0    B.1

C.2    D.3

3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若则必有（   ）

A.    B.    

C.    D.    

4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（   ）

A.    B. 

C.    D. 

5.设其中则矩阵A的秩为（   ）

A.0    B.1

C.2    D.3

6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（   ）

A.0    B.2

C.3    D.4

7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（   ）

A.-10    B.-4

C.3    D.10

8.已知线性方程组无解，则数a=(   )

A.    B.0

C.    D.1

9.设3阶方阵A的特征多项式为则(   )

A.-18    B.-6

C.6    D.18

10.若3阶实对称矩阵是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（   ）

A.-1，-2，-3    B.-1，-2，3

C.-1，2，3    D.1，2，3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.设行列式其第3行各元素的代数余子式之和为__________.

12.设则__________.

13.设A是4×3矩阵且则__________.

14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.

15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.

16.设方程组有非零解，且数则__________.

17.设4元线性方程组的三个解α1，α2，α3，已知则方程组的通解是__________.

18.设3阶方阵A的秩为2，且则A的全部特征值为__________.

19.设矩阵有一个特征值对应的特征向量为则数a=__________.

20.设实二次型已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.设矩阵其中均为3维列向量，且求

22.解矩阵方程

23.设向量组α1=（1，1，1，3）T，α2=（-1，-3，5，1）T，α3=（3，2，-1，p+2）T，α4=（3，2，-1，p+2）T问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.

24.设3元线性方程组,

（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？

（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.

25.已知2阶方阵A的特征值为及方阵

（1）求B的特征值；

（2）求B的行列式.

26.用配方法化二次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换.

四、证明题(本题6分)

27.设A是3阶反对称矩阵，证明

习题一答案

习题二答案

线性代数习题三

说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩.

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT|=(     )

A.-8          B.-2          C.2       D.8

2.设矩阵A=,B=(1,1),则AB=(     )

A.0        B.(1,-1)         C.    D. 

3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是(     )

A.AB-BA       B.AB+BA           C.AB            D.BA

4.设矩阵A的伴随矩阵A*=,则A-1= (     )

A.    B.     C.         D. 

5.下列矩阵中不是初等矩阵的是(     )

A.       B.     C.        D. 

6.设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有(     )

A.A+B可逆       B.AB可逆     C.A-B可逆       D.AB+BA可逆

7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 (     )

A. α1, α2,β线性无关                       B. β不能由α1, α2线性表示

C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一     D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一

8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为(     )

A.0         B.1           C.2    D.3

9.设齐次线性方程组有非零解,则为(     )

A.-1           B.0         C.1         D.2

10.设二次型f(x)=xTAx正定,则下列结论中正确的是(     )

A.对任意n维列向量x,xTAx都大于零       B.f的标准形的系数都大于或等于零

C.A的特征值都大于零                    D.A的所有子式都大于零

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.行列式的值为_________.

12.已知A=,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.

13.设矩阵A=,P=,则AP3=_________.

14.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=_________.

15.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.

16.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解,且则该线性方程组的通解是_________.

17.已知P是3阶正交矩,向量_________.

18.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_________.

19.与矩阵A=相似的对角矩阵为_________.

20.设矩阵A=,若二次型f=xTAx正定,则实数k的取值范围是_________.

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

21.求行列式D=

22.设矩阵A=求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.

23.若向量组的秩为2,求k的值.

24.设矩阵

(1)求A-1;

(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出.

25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求

(1)矩阵A的行列式及A的秩.

(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.

26.求二次型f(x1,x2,x3)=- 4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换所得的标准形.

四、证明题(本题6分)

27.设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特征值只能是.

线性代数习题三答案