北师大版七年级数学下册-全册-知识点与典型例题-配套练习

第一章  整式

考点分析：本章的内容以计算为主，故大部分的分值落在计算题，属于基础题，同学们要必拿哦！占15—20分左右

一、整式的有关概念        

1、单项式: 数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。单独一个数或字母也是单项式。

2、单项式的系数: 单项式中的数字因数。

3、单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和。 

4、多项式： 几个单项式的和叫多项式。       

5、多项式的项及次数：组成多项式中的单项式叫多项式的项，多项式中次数最高项的次数   

    叫多项式的次数。

6、整式：单项式与多项式统称整式。（分母含有字母的代数式不是整式）

练习一：

（1）指出下列单项式的系数与指数各是多少。

（2）指出下列多项式的次数及项。

二、整式的运算

（一）整式的加减法：基本步骤：去括号，合并同类项。

（二）整式的乘法

1、同底数的幂相乘

法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

数学符号表示：

练习二：判断下列各式是否正确。

2、幂的乘方

法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

数学符号表示：

练习三：判断下列各式是否正确。

3、积的乘方

法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（即等于积中各因式乘方的积。）

符号表示：

练习四：计算下列各式。

4、同底数的幂相除

法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减。

数学符号表示：

特别地：

练习五：（1）判断正误

（2）计算

（3）用分数或者小数表示下列各数

5、单项式乘以单项式

法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母则连同它的指数不变，作为积的一个因式。

练习六：计算下列各式。

6、单项式乘以多项式

法则：单项式乘以多项式，就是根据分配律用单项式的去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

7、多项式乘以多项式

法则：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

练习七：（1）计算下列各式。

（2）计算下图中阴影部分的面积

8、平方差公式

法则：两数的各乘以这两数的差，等于这两数的平方差。

数学符号表示：

9、完全平方公式

法则：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）这两数积的2倍。

数学符号表示：

练习八：（1）判断下列式子是否正确，并改正

（2）计算下列式。

（二）整式的除法

1、单项式除以单项式

法则：单项式除以单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相除后，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2、多项式除以单项式

法则：多项式除以单项式，就是多项式的每一项去除单项式，再把所得的商相加。

练习九：计算下列各题。

整式的运算练习题

1、整式、整式的加减

1.在下列代数式：中，单项式有【   】

（A）3个    （B）4个   （C）5个   （D）6个

2.单项式的次数是【    】

（A）8次    （B）3次   （C）4次  （D）5次

3.在下列代数式：中，多项式有【   】

（A）2个    （B）3个   （C）4个   （D）5个

4.下列多项式次数为3的是【    】

（A）－5x2＋6x－1    （B）πx2＋x－1   （C）a2b＋ab＋b2   （D）x2y2－2xy－1

5.下列说法中正确的是【  】

（A）代数式一定是单项式    （B）单项式一定是代数式  

（C）单项式x的次数是0     （D）单项式－π2x2y2的次数是6。

6.下列语句正确的是【  】

（A）x2＋1是二次单项式    （B）－m2的次数是2，系数是1   

（C）是二次单项式      （D）是三次单项式

7. 化简2a2－3ab＋2b2－（2a2＋ab－3b2）          2x－（5a－7x－2a）

8.减去－2x后，等于4x2－3x－5的代数式是什么？

9.一个多项式加上3x2y－3xy2得x3－3x2y，这个多项式是多少？

2、同底数幂的乘法

1. =________,=______.

2. =_________________.

3. =___________.

4. 若,则x=________.

5. 若,则m=________;若,则a=__________; 

若,则y=______;若,则x=_______.

 6. 若,则=________.        

7. 下面计算正确的是(    )

  A．；  B．；  C．；  D．

8. 81×27可记为(    )

  A.;  B.;  C.;  D.

10. 计算等于(   )

  A.;     B.-2;       C.;       D.

3、幂的乘方与积的乘方

1. 计算 

2. =_________  ， 若,则=_______,

3.若a为有理数,则的值为

 有理数 正数 零或负数 正数或零

4.若,则a与b的关系是

 异号 同号 都不为零 关系不确定

5.计算的结果是（ ）

 4、同底数幂的除法

1.计算=_______, =______.

2.水的质量0.000204kg,用科学记数法表示为__________.

3.若有意义,则x_________.

4.计算  

5.若5x-3y-2=0,则=_________.

6.如果,则=________.

7.下列运算结果正确的是

 ①2x3-x2=②x3·(x5)2=x13 ③(-x)6÷(-x)3=x3  ④(0.1)-2×10-1=10

 ①② ②④ ②③ ②③④

8.已知a≠0,下列等式不正确的是

 0=2+)0=│a│-1)0

5、整式的乘法

 1．计算  ab·（－４ab）         （－２.５×１０）×（２×１０）

x（－５x－２y＋１）       （a＋１）（a－）

2.将一个长为x，宽为y的长方形的长增加１，宽减少１，得到的新长方形的面积是　　　　　　.

6、整式的除法

1.   2b2c÷_________=2a2bc.

(7x3-6x2+3x)÷

3.____________________·.

5.__________÷.

6.如果x2+x-6除以(x-2)(x+a)的商为1,那么a=________.

7、 平方差公式

1.利用公式计算         (x+6)(6-x)                    

 ×397

2.下列式中能用平方差公式计算的有

 ①(x-y)(x+y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)(100-1)

  A.1个 个 个 个

3.下列式中,运算正确的是

 ①, ②, ③, 

④.

 ①② ②③ ②④ ③④

4.乘法等式中的字母a、b表示

 只能是数 只能是单项式 只能是多项式 单项式、多项式都可以

8、完全平方公式

计算（1）               （2）      （3）   

 （4）        （5）      

（6）      （7）4992                （8）9982

9.综合练习

　（9）若x＋mx＋４是一个完全平方公式，则m的值为（　　　

第二章平行线与相交线

考点分析：本章的内容考题涉及到填空选择，说理题会有一道！但不难，会结合第五章的内容考核；分值10—15分

一、知识网络图：

二、知识梳理：

（一）角的大小关系：余角、补角、对顶角的定义和性质：

1．余角的定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．

2．补角的定义：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角．

3．对顶角的定义：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．

4．互为余角的有关性质：

① ∠1＋∠ 2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．

②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○ ，∠1+∠ 3= 90○，则∠ 2= ∠ 3．

5．互为补角的有关性质：

①若∠A +∠B=180○则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180○．

②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋ ∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C．

6．对顶角的性质：对顶角相等．

（二）两直线平行的判别和性质：

1．同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行． 

2． “三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”．

3．平行线的判别：

（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．

（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么．这两条直线互相平行．

（3）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

（4）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等．那么这两条直线平行。

（5）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

备注：其中（3）、（4）、（5）这三种方法都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角．

4．平行线的性质：

（1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。

5．两个几何中最基本的尺规作图：作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角。

尺规作线段和角

1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。

2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。

做法：

例 作一条线段等于已知线段

例 作一个角等于已知角

三．基础练习

1、观察右图并填空：

(1) ∠1 与          是同位角; 

(2) ∠5 与          是同旁内角; 

(3) ∠1 与          是内错角; 

2、当图中各角满足下列条件时,你能指出哪两条直线平行?

(1) ∠1 = ∠4; 

(2) ∠2 = ∠4; 

(3) ∠1 + ∠3 = 180 ; 

3.如图：∠ 1=100°∠2=80°，

∠3=105° 则∠4=_______

4. 两条直线被第三条直线所截，则（ ）

A 同位角相等 同旁内角互补

C 内错角相等 以上都不对

5.如图, 若∠3=∠4，则      ∥      ；

若AB∥CD,  则∠     =∠       。 

三、典型例题分析： 

【例1】已知：∠A= 30○，则∠A的补角是________度．

   解：150○ 点拨：此题考查了互为补角的性质．

【例2】如图l，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分

∠AOE，∠ 1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（  ）

A．∠2 =45○                  B．∠1=∠3

C．∠AOD与∠1互为补角     D．∠1的余角等于75○30′

解：D   点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．

【例3】如图2，直线a ∥b，则∠A CB＝________   

解：78○   点拨：过点 C作CD平行于a，因为a∥b，所以CD∥b．则∠A C D＝2 8○，∠DCB=5 0○．所以∠ACB＝78○．

【例4】如图3，AB∥CD，直线EF分别交A B、CD于点E、F，EG平分

∠B EF，交CD于点G，∠1=5 0○   求，∠2的度数．

解：65○   点拨：由AB∥CD，得∠ BEF＝180○－∠1=130○ ，∠ BEG=∠2．又因为EG平分∠BEF，所以∠2=∠BEG=∠BEF=65°（根据平行线的性质） 

【例5】一学员在广场上练习驾驶汽车，若其两次拐弯后仍沿原方向前进，则两次拐弯的角度可能是（  ）

  A．第一次向左拐30○，第二次向右拐 30○   B．第一次向右拐30○，第二次向左拐130○

  C．第一次向右拐50○，第二次向右拐130○  D．第一次向左拐50○．第二次向左拐130○

  解：A  点拨：本题创设了一个真实的问题。要使经过两次拐弯后．汽车行驶的方向与原来的方向相同．就得保证原来，现在的行驶方向是两条平行线且方向一致．本题旨在考查平行线的判定与空间观念。解题时可根据选项中两次拐弯的角度画出汽车行驶的方向，再判定其是否相同，应选A．

【例6】如图4，已知B D⊥AC，EF⊥AC，D、F为垂足，G是AB上一点，且∠l=∠2．求证：∠AGD=∠ABC．

  证明：因为BD⊥AC，EF⊥AC．所以BD∥EF．所以∠3=∠1．因为∠1=∠2，所以∠2=∠3．所以 GD∥BC．所以∠AGD=∠ABC．

  点拨：审题时，根据分析，只看相关线段组成的图形而不考虑其他部分，这样就 

能避免图形的其他部分干扰思路．

第二章平行线、相交线练习题

一、填空

 1、一个角的余角是30º，则这个角的大小是      .

2、一个角与它的补角之差是20º，则这个角的大小是        .

3、如图①，如果∠     = ∠     ，那么根据                     

可得AD∥BC（写出一个正确的就可以）.

4、如图②，∠1 = 82º，∠2 = 98º，∠3 = 80º，则∠4 =        度.

5、如图③，直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，

∠FOD = 28º，则∠BOE =       度，∠AOG =       度.

6、时钟指向3时30分时，这时时针与分针所成的锐角是      .

7、如图④，AB∥CD，∠BAE = 120º，∠DCE = 30º，则∠AEC =      度.

8、把一张长方形纸条按图⑤中，那样折叠后，若得到∠AOB′= 70º，则∠B′OG =     .

9、如图⑥中∠DAB和∠B是直线DE和BC被直线      所截而成的，称它们为       角.

10、如图⑦，正方形ABCD边长为8，M在DC上，且DM = 2，N是AC上一动点，则DN + MN的最小值为           .

二．选择题11、下列正确说法的个数是（   ）

同位角相等对顶角相等等角的补角相等  两直线平行，同旁内角相等 

A .  1，     B.   2，     C.   3，     D.   4

13、下列图中∠1和∠2是同位角的是（   ）

A.  ⑴、⑵、⑶，  B.  ⑵、⑶、⑷，  C.  ⑶、⑷、⑸，   D.  ⑴、⑵、⑸

14、下列说法正确的是（   ）A.两点之间，直线最短；   B.过一点有一条直线平行于已知直线；         

C.和已知直线垂直的直线有且只有一条；  D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.

15、一束光线垂直照射在水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（   ）A.  45º，  B.   60º， C.   75º， D.   80º

16、如图⑨，DH∥EG∥EF，且DC∥EF，那么图中和∠1相等的角的个数是（   ）

A.   2   B.  4     C.   5     D.   6

二、解答题：17、按要求作图（不写作法，但要保留作图痕迹）

已知点P、Q分别在∠AOB的边OA，OB上（如图  ）.

作直线PQ，过点P作OB的垂线，过点Q作OA的平行线.

18、已知线段AB，延长AB到C，使BC∶AB=1∶3，D为AC中点，

若DC = 2cm，求AB的长.  

19、如图，已知AB∥CD，∠1 = ∠2．求证.：∠E＝∠F