高考数学函数的定义域和值域测试

 (时间：90分钟  满分：100分)

题型示例

已知函数f(x)=loga(x+1)的定义域和值域都是［0,1］，则a的值等于           (    )

A.        B.        C.        D.2

分析  由题可知函数f(x)恒过(0,0),由于其定义域和值域都是［0,1］,故可判断a>1,且函数f(x)过(1,1)，即1=loga(1+1) a=2,故选D.

答案  D

点评  仔细审题、数形结合是解答本题的关键.

一、选择题(8×3′＝24′)

1．函数y=的定义域是                                        (    )

A.［1,+∞     B.(,+∞)     C.［,1］     D.(，1)

2．已知函数f(x)=的定义域为A，函数y=f［f(x)］的定义域为B,则          (    )

A.A∪B=B        B.AB        C.A=B        D.A∩B=B

3．值域是(0,+∞)的函数是                                                 (    )

A.y=x2-x+1      B.y=()1-x      C.y=+1      D.y=|log2x2|

4．定义域为R的函数y=f(x)的值域为［a,b］，则函数y=f(x+a)的值域为           (    )

A.［2a,a+b］     B.［a,b］     C.［0,b-a］     D.［-a,a+b］

5．函数y=-1(-1≤x<0)的反函数是                                        (    )

A.y=           B.y=-

C.y=        D.y=-

6．若函数y=x2-3x-4的定义域为［0,m］，值域为［-,-4］，则m的取值范围是   (    )

A.(0,      B.［,4］      C.［,3］      D.［,+∞

7．函数y=|x-3|-|x+1|的值域是                                               (    )

A.［0,4］      B.［-4,0］      C.［-4,4］      D.(-4,4)

8．函数y=的值域为                                              (    )

A.［-,］     B.［-,0］     C.［0,］     D.(0,］

二、填空题 (5×3′＝15′)

9．设f(2x-1)=2x-1，则f(x)的定义域为        .

10．函数y=的定义域为(-∞,+∞),则实数a的取值范围是        .

11．函数y= (x≥0)的值域是        .

12．函数f(x)=x2+x+的定义域是［n,n+1］(n∈N*)，则函数f(x)的值域有     个整数.

13．函数y=|x-3|+的值域是        .

三、解答题(9′＋3×10′＋12′＋10′＝61′)

14．求函数y=的值域.

15．已知f(x)的定义域是［］,g(x)=f(x)+，试求y=g(x)的值域.

16．已知函数f(x)=log3的定义域为 (-∞,+∞),值域为［0,2］，求m、n的值.

17．如图所示，A、B、P为平面上的三个点，M为线段AB的中点，

已知|AB|=4，|PA|+|PB|=6，求|MP|的最大、最小值.

18．已知函数f(x)的定义域是［a,b］，且a+b>0，求下列各函数的定义域.

(1)f(x2);

(2)g(x)=f(x)-f(-x);

(3)h(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0).

19．设f(x)=x2-2ax+2,当x∈［-1,+∞］时,f(x)≥a恒成立，求a的取值范围.

参

1．D  若使函数有意义，则必有(3x-2)≥0,即0<3x-2≤12．D  y=f［f(x)］的定义域由确定.

3．B  逐一验证.

4．B  ∵x∈R,x+a∈R,∴函数y=f(x+a)的值域与函数y=f(x)的值域相同且都为［a,b］.

故选B.

5．D  由y=得x2-1=log3y,∵-1≤x<0

∴x=-,x、y互换得y=-

∵-1≤x<0,∴-1故原函数的反函数为:y=-.

6．C  作图判断.

7．C  作图或根据不等式||a|-|b||≤|a-b|确定.

8．C  先变形为acosx+bsinx=c的形式，由a2+b2≥c2确定.

9．(-1,+∞)  由u=2x-1的值域确定.

10．［0,］  由ax2+4ax+3≠0恒成立确定，注意a=0的情况.

11．(-,3)  反解出x=f(y)，由x≥0求y的范围.

12．2n+2  f(x)=(x+)2+.由此可知，f(x)在［-,+∞］上为单调递增函数，故在［n,n+1］上f(x)与x存在一一对应关系.f(n+1)=(n2+3n+2)+,比f(n+1)小的整数中最大的是n2+3n+2,比f(n)小的整数中最大的是n2+n,f(x)的值域中的整数为n2+n+1,n2+n+2,…,n2+3n+2,故函数f(x)在［n,n+1］上的值域中整数的个数为(n2+3n+2)-(n2+n)=2n+2.

13．［4,+∞  y=|x-3|+|x+1|视为数轴上的点与-1,3两点距离之和的最小、最大值.由图可看出，最小值为4,不存在最大值.

14．解  令U=x2+2x-2=(x+1)2-3(U≠0),则y=.由二次函数的最小值为-3知U≥-3,U≠0,

当-3≤U<0,≤;

当U>0时, >0,故函数的值域为{y|y≤}∪{y|y>0}={y|y≤}或y>0}.

点评  本题利用换元法，结合二次函数的最值;对值域的求法要求较高，在练习过程中要仔细体会.

15．解  令=t，则≤1-2f(x)≤，即≤t≤.

则y=g(x)=F(t)= +t=- (t-1)2+1,函数y=F(t)在［］上为增函数，故

F()≤y≤F(),F()=,F()=，故y=g(x)的值域为［,］.

16．解  令u=，其定义域为(-∞,+∞)，值域由题设知为［1,9］,

由u=得(u-m)x2-8x+(u-n)=0.

因为x∈R,且设u-m≠0,则Δ=(-8)2-4(u-m)(u-n)≥0.

即u2-(m+n)u+(mn-16)≤0,又1≤u≤9.

故(u-1)(u-9)≤0，即u2-10u+9≤0

∴，解得m=n=5.

若u-m=0,即u=m=5时，x=0满足要求.故m=n=5.

17．解  因为||PA|-|PB||≤|AB|(P、A、B三点共线时取“=”号)，设|PA|=x,则|x-(6-x)|≤4，

即1≤x≤5.

由平面几何知识知(2|MP|)2+|AB|2=2(|PA|2+|PB|2)，即

|MP|2=［x2+(6-x)2］-4=x2-6x+14=(x-3)2+5  (1≤x≤5).

当x=3时,|MP|min＝；当x=1或5时，|MP|max=3.

18．解  (1)依题意，由知b>0且b>|a|.

则a≤x2≤b，得当a≤0时，f(x2)的定义域为［］；

当a>0时，f(x2)的定义域为.

(2)由*

∵a>-b,b>-a，当a>0时，不等式*解集为，此时函数g(x)不存在.

当a=0时，不等式*解集为{0},此时函数g(x)的定义域为{0}.

当a<0时，不等式*的解集为［a,-a］，此时函数g(x)的定义域为［a,-a］.

(3)由

因为m>0,所以a-m又a-m即019．解  f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,f(x)图象的对称轴为x=a.为使f(x)≥a在［-1,+∞上恒成立，只需f(x)在［-1, +∞上的最小值比a大或等于a即可.

(1)a≤-1时,f(-1)最小,解,解得-3≤a≤-1.

(2)a≥-1时,f(a)最小，解,解得-1≤a≤1.综上得:-3≤a≤1.