浙教版初中数学七年级下册知识点(整理)及典型例题

第一章 三角形的初步认识

1.1认识三角形

①由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。“三角形” 用符号“△”表示，顶点是ABC的三角形记做“△ABC”读作“三角形ABC”。

由两点之间线段最短，可以得到如下性质：三角形任何两边的和大于第三边。

②三角形三个内角的和等于180°。

  由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角。

  三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。

1.2三角形的平分线和中线

在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角形的平分线。

在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

1.3三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。

1.4全等三角形

能够重合的两个图形称为全等图形。

能够重合的两个三角形称为全等三角形。

两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。

“全等”可用符号“≌”来表示。

全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。

1.5三角形全等的条件

①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。

当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。

②有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。

  垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

③有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。

  有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。

  角平分线上的一点到角两边的距离相等。

1.6作三角形

在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。

题目：

1、下列图形中，不具有稳定性的是（   ）.

2、将一副三角形按如图2—7的方式叠放，那么∠α＝             。

3．以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（     ）

A．1个          B．2个           C．3个           D．4个

4.如图，∠1=750，∠A=∠BCA,∠CBD=∠CDB,∠DCE=∠DEC, ∠EDF=∠EFD.则∠A 的度数为……………（  ）   

   A. 150          B. 200    

C .250                  D. 300

 5．（7分）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．

（1）如图①，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP + PC与AB + AC的大小，并说明理由．

第二章 图形的变换

2.1轴对称图形

如果把一个图形沿着一条直线折起来，直线两侧的部分能够重合那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。

轴对称图形的性质：对称轴垂直平分两个对称点之间的线段。

2.2轴对称变换

由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换，也叫反射变换，简称反射。经变换所得的新图形叫做原图形的像。

轴对称变换的性质：轴对称变换不改变原图形的形状和大小。

2.3平移变换

由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原图形上所有的点都沿一个方向运动，且运动相等的距离，这样的图形改变叫做图形的平移变换，简称平移。

平移变换的性质：平移变换不改变图形的形状、大小和方向。

连结对应点的线段平行（或在同一直线上）而且相等。

2.4旋转变换

由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原图形上所有的点都绕一个固定的点，按同一个方向，转同一个角度，这样的图形改变叫做图形的旋转变换，简称旋转。这个固定的点叫做旋转中心。

旋转变换的性质：旋转变换不改变图形的形状和大小。

                对应点到旋转中心的距离相等。对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。

2.5相似变换

由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可以改变），这样的图形改变叫做图形的相似变换。图形的放大和缩小都是相似变换，原图形和经过相似变换后的像，我们称它们为相似图形。

相似变换的性质：图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小;图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数。

2.6图形变换的简单应用

利用图形变换可以将基本图形巧妙地组合起来，就能形成美丽的图案。

图形变换的思想还可以用来帮助进行有关图形的计算。

第三章 事件的可能性

3.1认识事件的可能性

在数学中，我们把在一定条件下必然会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下必然不会发生的时间叫做不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。

列表或画树状图是人们用来确定事件发生的所有不同可能结果的常用方法。它可以帮助我们分析问题，而且可以避免重复和遗漏，既直观又条理分明。

3.2可能性的大小

事件发生的可能性大小往往是由事件发生的条件来决定的。

3.3可能性和概率

在数学中，我们把事件发生的可能性大小也称为事件发生的概率。一般用P表示。事件A发生的概率也记为P(A)。

P(A)=事件A发生的可能结果总数÷所有事件可能发生的结果总数

一般地，必然事件发生的可能性大小为100﹪，即P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0。而不确定事件发生的概率介于0与1之间，即0﹤P（不确定事件）﹤1。

题目：

1、笼子里关着一只小动物，笼子的主任决定把它放归大自然，小动物要先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E），才能出去，问小动物走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？

2、有的同学认为：抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后，朝上一面只可能有一下三种情况：①全是正面；②一正一反；③全是反面，因此这三个事件发生的可能性是相等的。你同意这种说法吗？若不同意，你认为哪一个事件发生的可能性最大？为什么？

3、一个袋中装有4个红球、2个黄球、2个白球、1个黑球，它们除颜色外都相同。任意摸出一个球，摸到哪种颜色球的可能性最大？摸到哪种颜色球的可能性最小？摸到哪两种颜色球的可能性相等？

第四章 二元一次方程组

4.1二元一次方程

含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。

使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

4.2二元一次方程组

由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。

同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。

4.3解二元一次方程组

①消元就是把二元一次方程组化为一元一次方程。消元的方法是代入，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。

用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是：

1.将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示；

2．用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求出一个未知数的值；

3.把这个未知数的值代入代数式，求另一个未知数的值；

4．写出方程组的解。

②对于二元一次方程组，当两个方程组的同一个未知数的系数相同或是互为相反数时，可以通过把两个方程的两边进行相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解。

通过将两个方程的两边进行相加或相减，消去其中一个未知数转化为一元一次方程。这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。

用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：

1.将其中一个未知数的系数转化为相同（或互为相反数）；

2.通过相加（或相减）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；

3.解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；

3.将求得得未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值；

4．写出方程组的解。

4.4二元一次方程组的应用

当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程。

一般地，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为：

理解问题（审题，搞清已知和未知，分析数量关系）

制定计划（考虑如何根据等量关系设元，列出方程组）

执行计划（列出方程组并求解，得到答案）

回    顾（检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意）

题目：

1．方程组的解是（  ）

    A．

    10．已知方程ax+by=10的两个解为，则a、b的值为（  ）

    A．

2．如果是方程mx+ny=15的两个解，求m，n的值．

3．已知方程组有正整数解（a为整数），求a的值．

第五章 整式的乘除

5.1同底数幂的乘法

①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，指数相加。

②幂的乘法法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

③积的乘法法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

5.2单项式的乘法

单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

5.3多项式的乘法

多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

5.4乘法公式

①平方差公式：

即  两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。

②两数和的完全平方公式：

  即  两数和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两数积的2倍。

  两数差的完全平方公式：

  即  两数差的平方，等于这两个数的平方差，减去这两数积的2倍。

  上述两个公式统称完全平方公式。

5.5整式的化简

整式的化简应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序。能运用乘法公式的则运用乘法公式。

5.6同底数幂的除法

①同底数幂相除的法则是：

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

②任何不等于零的数的零次幂都等于1.

任何不等于零的数的-P（P是正整数）次幂，等于这个数的P次幂的倒数。

正整数指数幂的各种运算法则对整数指数幂都适用。

5.7整式的除法

单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式笠含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

题目：

1．（本题6分）已知，求n的值.

2.（本题6分）已知a＝2－555，b＝3－444，c＝6－222，请用“>”把它们按从大到小的顺序连接起来，并说明理由.

3．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为，宽为的矩形，需要类卡片______张，类卡片_______张，类卡片______张．

第六章 因式分解

6.1因式分解

一般地，把一个多项式化为几个整式的积得形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式。因式分解和整式乘法具有互逆的关系。

6.2提取公因式法

一般地，一个多项式中每一项都含有相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

应提取的多项式各项的公因式应是各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。

提取公因式法的一般步骤是：

1.确定应提取的公因式；

2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；

3.把多项式写成这两个因式的积得形式。

一般地，提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式。

一般地，添括号的法则如下:括号前面是“+”，括到括号里得各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。

6.3用乘法公式分解因式

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方。

6.4因式分解的简单应用

题目：

1、 利用因式分解说明：能被120整除.

2.（2007·临安）已知、、是的三边，且满足，判断的形状. 阅读下面的解题过程：

   解：由  得，   ①

即，                ②

∴，                                  ③

∴是直角三角形.                            ④

试问：以上解题过程是否正确？        . 若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）       ；错误原因是                               ；本题的正确结论应该是                                          .

第七章 分式

7.1分式

①表示两个数相除，且除式中含有字母，像这样的代数式就叫做分式。

分式中字母的取值不能使分母为零。当分母的值为零时，分式就没有意义。

②分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。

分式的基本性质是进行分式化简的运算和依据。

把分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

7.2分式的乘除

分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积做积的分母；

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 

7.3分式的加减

①一般地，同分母分式的加减有以下法则：同分母的分式相加减，分母不变。

②把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分。进过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减。

通分时一般取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高次幂的积为公分母。

7.4分式方程

①只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

当分式方程含有若干个分式时，通常可用各个分式的公分母同乘方程两边进行去分母。

必须注意的是，解分式方程一定要验根，把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母，看分母的值是否为零。使分母为零的根叫做增根。增根应该舍去。

②列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题，在方法、步骤上基本一致，但解分式方程时必须验根。

利用分式方程还可以把已知公式变形。

题目：

1．下列各式中，分式的个数有（  ）

x+y,    ,  ,—4xy  , 

A．1个       B．2个         C．3个       D．4个

2．下列各式正确的是（    ）

    A．     B．     C．      D． 

3．已知，求的值．

 课后作业 

1、以下语句： ①任何数都有平方根  ②任何数都有立方根  ③一个数有两个平方根 ④一个数有一个立方根。正确的有（         ）A、1句          B、2句       C、3句     D、4句

2、长方形的周长为10，它的长是a，那么它的宽是（         ）

A、10－a         B、10－2a         C、5－a        D、5－2a

3 方程    的解是，则关于的方程的解为              (       )  A. 0                       B. 1                    C.               D. 3

4. 一个画家有14个边长为1的正方体，他在地面上把它们摆成如右图的形状，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为     (       )

A.          B.        C.    D. 

二、填空题

1.  －27的立方根是 _____,（-9）2的平方根是        ,的算术平方根是       

2. 数轴上M点表示－4，N点表示－3，则这两点中，_________点离原点较近.

3. 写出一个一元一次方程,使得该方程满足________________使它的解为且一次项的系数为2。