2010年高考试题——数学理(安徽卷)

2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数   学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分钟，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：

如果事件与互斥，那么

                   如果与是两个任意事件，，那么

如果事件与相互，那么              

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、是虚数单位， 

A、    B、    C、    D、

1.B

【解析】，选B.

【规律总结】为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数的代数运算，结合得结论.

2、若集合，则

A、  B、  C、  D、

2.A

5、双曲线方程为，则它的右焦点坐标为

A、    B、    C、    D、

5.C

【解析】双曲线的，，，所以右焦点为.

【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为或，从而得出错误结论.

6、设，二次函数的图象可能是

6.D

【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合.

【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.

7、设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为

A、1    B、2    C、3    D、4

7.B

【解析】化曲线的参数方程为普通方程：，圆心到直线的距离，直线和圆相交，过圆心和平行的直线和圆的2个交点符合要求，又，在直线的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.

【方法总结】解决这类问题首先把曲线的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线上到直线距离为，然后再判断知，进而得出结论.

8、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为

A、280    B、292    C、360    D、372

8.C

【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.

【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

9、动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是

A、    B、    C、    D、和

9.D

【解析】画出图形，设动点A与轴正方向夹角为，则时，每秒钟旋转，在上，在上，动点的纵坐标关于都是单调递增的。

【方法技巧】由动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在变化时，点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.

10、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是

A、        B、

C、        D、

10.D

【分析】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。

【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

13.4

【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是

，易见目标函数在取最大值8，

所以，所以，在时是等号成立。所以的最小值为4.

【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得，要想求的最小值，显然要利用基本不等式.

14、如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值________。

14.12

【解析】程序运行如下:,输出12。

【规律总结】这类问题，通常由开始一步一步运行，根据判断条件，要么几步后就会输出结果，要么就会出现规律，如周期性，等差或等比数列型.

15、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。

①；   ②；   ③事件与事件相互；

④是两两互斥的事件；  

⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关

15.②④

【解析】易见是两两互斥的事件，而

。

【方法总结】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键.本题在是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化，可知事件B的概率是确定的.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。

16、（本小题满分12分）

    设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且

。

    (Ⅰ)求角的值；

(Ⅱ)若，求（其中）。

17、（本小题满分12分）

    设为实数，函数。

    (Ⅰ)求的单调区间与极值；

(Ⅱ)求证：当且时，。

18、（本小题满分12分）

    如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点。

    (Ⅰ)求证：∥平面；

(Ⅱ)求证：平面；

(Ⅲ)求二面角的大小。

19、（本小题满分13分）

已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点

在轴上，离心率。

    (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程；

(Ⅲ)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？

若存在，请找出；若不存在，说明理由。

20、（本小题满分12分）

    设数列中的每一项都不为0。

    证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有

。

21、（本小题满分13分）

    品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。

    现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令

，

则是对两次排序的偏离程度的一种描述。

    (Ⅰ)写出的可能值集合；

(Ⅱ)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列；

(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，

(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互）；

(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。

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