1997年高考数学题

数学（理工农医类）

第Ⅰ卷（选择题共65分）

注意事项:

　　1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

　　2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再

选涂其它答案,不能答在试题卷上.

　　3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.

一.选择题:本大题共15小题;第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分.在每小题给

出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1)设集合M=｛x│0≤x<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3<0｝,集合M∩N=

　  (A)｛x│0≤x<1｝　　　　　　　　　(B)｛x│0≤x<2｝

　  (C)｛x│0≤x≤1｝　　　　　　　　　(D)｛x│0≤x≤2｝

(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a=

　  (A)-3　　　　　(B)-6　　　　　　　(C)-3/2　　　　　　(D)2/3

　　(A)　　　　　(B)　　　　　 (C)　　　　　(D)

(4)已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面都相等,且AB=AC=,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角

　  的大小是

　  (A)arocos(/3)  　(B)arccos(1/3) 　(C)π/2　　　    (D)2π/3　

(5)函数y=sin[(π/3)-2x]+cos2x的最小正周期是

　  (A)π/2　　　　　　(B)π　　　　　　 (C)2π　　　　 (D)4π

(6)满足arccos(1-x)≥arccosx的x的取值范围是

　  (A)[-1,-1/2] 　　　(B)[-1/2,0]　　 　(C)[0,1/2]　　　(D)[1/2,1]

(7)将y=2x的图象

　(A)先向左平行移动1个单位　　　　　　　　(B)先向右平行移动1个单位

　(C)先向上平行移动1个单位　　　　　　　　(D)先向下平行移动1个单位

     再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象.

(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是

    (A)20π　　　　　(B)25π　　　　(C)50π　　　　　(D)200π

(10)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为

　(A)2　　　　　　　　(B)6　　　　　　　(C)-1/4　　　　　(D)6

(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是

　(A)2π/3　　　　　(B)2π 　　　　(C)7π/6 　　　　(D)7π/3

(13)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重

      合.设a>b>0,给出下列不等式:

　  ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);　　　　　　　②f(b)-f(-a)　  ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);　　　　　　　④f(a)-f(-b)　　其中成立的是

　(A)①与④　　　　　　(B)②与③　　　　(C)①与③ 　　　　　(D)②与④

　(A){x|0＜x＜2} 　　　　　　　　　　　　(B){x|0＜x＜2.5}

　(C){x|0＜x＜} 　　　　　　　　　　　(D){x|0＜x＜3} 

(15)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有

　(A)150种　　　　　　　(B)147种 　　　　(C)144种　　　　　　(D)141种

　　　　　　　　　　　　　　　　　第Ⅱ卷    (非选择题共85分)

注意事项:

　　1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.

　　2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.

(19)已知m、l是直线,α、β是平面,给出下列命题:

      ①若l垂直于α内的两条相交直线,则l⊥α;

      ②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线;

      ③若mα, l β,且l⊥m,则α⊥β;

      ④若l β,且l⊥α,则α⊥β;

      ⑤若mα, l β,且α∥β,则m∥l.

     其中正确的命题的序号是___________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)

三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(20)(本小题满分10分)

      应的点分别为P,Q.证明△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点).

(21)(本小题满分11分)

      已知数列｛an｝,｛bn｝都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中p>q,且p≠1,q≠1.

      设cn=an+bn,sn为数列｛cn｝的前n项和.求

(22)(本小题满分12分)

      甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的

      运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,

      比例系数为b;固定部分为a元.

　　(Ⅰ)全程运输成本把y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;

　　(Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

(23)(本小题满分12分)

       如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.

      (Ⅰ)证明AD⊥D1F;

      (Ⅱ)求AE与D1F所成的角;

      (Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1;

(24)(本小题满分12分)

      设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足

     (Ⅰ)当x∈(0,x1)时,证明x    .

(25)(本小题满分12分)

     设足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的

     所有圆中,求圆心到直线ι:x-2y=0的距离最小的圆的方程.

1997年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准

说明:

　　一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法

与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

　　二.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,

可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解

答有较严重的错误,就不再给分.

　　三.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

　　四.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.

　第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分,满分65分.

    (1)B      (2)B     (3)A        (4)C       (5)B

    (6)D      (7)D     (8)C        (9)B       (10)B

   (11)A    (12)D    (13)C       (14)C     (15)D

二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.

注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分.

三.解答题

(20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识,考查运算能力和

       逻辑推理能力.满分10分.

       解法一：

　　　　　　　　 　　　　　　-------2分

      于是

　　　　      -------5分

    　　　　　 -------7分

    由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三解形.----7分

    解法二:

    由此得OP⊥OQ,│OP│=│OQ│.

    由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.----10分

(21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识,考查逻辑推理能力和运算能力.

       满分11分.

       解:

           　　　　　　　    --------3分

         分两种情况讨论.

        (Ⅰ)p>1.

　　=p.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-------7分

       (Ⅱ)p<1.

     　 ∵    0      　                              -------11分

(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学

        数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,满分12分.

            故所求函数及其定义域为

      (Ⅱ)依题意知S,a,b,v都为正数,故有

　　      因为c-v≥0,且a>bc2,故有

　　　a-bcv≥a-bc2>0,

　  　也即当v=c时,全程运输成本y最小.

(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推理能力和空间

       想象能力,满分12分.

       解:(Ⅰ)∵AC1是正方体,

         　　　∴AD⊥面DC1.

          　　　又D1F面DC1,

          　　　∴AD⊥D1F.    　　　　　　　　　　　　　　-------------2分

         (Ⅱ)取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,

         所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.

         设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,

          ∠GA1A=∠GAH，从而

          ∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角.    　           -------------5分

         (Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1,所以

           面AED⊥面A1FD1.     　　　　　　　　　　　　         -------------7分

         (Ⅳ)连结GE,GD1.

          ∵FG∥A1D1,

          ∴FG∥面A1ED1,

          ∵AA1=2,

(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题

        和解决问题的能力.满分12分.

       证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x.因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以

　　             　F(x)=a(x-x1)(x-x2).                   ------------2分

　　            　当x∈(0,x1)时,由于x10,又a>0,得

　　            　F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,

　　           　即x    

　　          　所以x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0.

　　          　得    x1-f(x)>0.

　　         　由此得f(x)          (Ⅱ)依题意知

　　         因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根.

  　　                                    ------------9分

                           　　.

　　         因为ax2<1,所以

　　                           .    　　　　　　　     ------------12分

(25)本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分.

        解法一:设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.

               r2=2b2                                                                              ------------2分

        又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有

            r2=a2+1.

                从而得2b2-a2=1.                     ------------5分

        又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为

                                                                              ------------7分

         所以    5d2=│a-2b│2

                     =a2+4b2-4ab

                    ≥a2+4b2-2(a2+b2)

                     =2b2-a2=1,

       当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.　------10分

       由此有

        解此方程组得

         由于r2=2b2知于是,所求圆的方程是

　　       　(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.              -------------12分

         解法二:同解法一得   

                  ∴

                 得　        ①

                 将a2=2b2-1代入①式,整理得

                       　　②

                  把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即

                　△=8(5d2-1)≥0,

           　得    5d2≥1.

            将其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1.

            将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1.

            综上    a=±1,b=±1,r2=2.

            由│a-2b│=1知a,b同号.

            于是,所求圆的方程是

            (x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.             -------------12分