数学物理方程第一章答案

§1 方程的导出。定解条件

1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程

其中为杆的密度，为杨氏模量。

证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为与。现在计算这段杆在时刻的相对伸长。在时刻这段杆两端的坐标分别为：

其相对伸长等于   

令，取极限得在点的相对伸长为。由虎克定律，张力等于

其中是在点的杨氏模量。

设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为

于是得运动方程

利用微分中值定理，消去，再令得

若常量，则得

=

即得所证。

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由， (3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在两点则相应的边界条件为

(2)若为自由端，则杆在的张力|等于零，因此相应的边界条件为  |=0 

同理，若为自由端，则相应的边界条件为   ∣

(3)若端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数给出，则在端支承的伸长为。由虎克定律有

∣

其中为支承的刚度系数。由此得边界条件

∣  其中

特别地，若支承固定于一定点上，则得边界条件

∣。

同理，若端固定在弹性支承上，则得边界条件

                ∣

即             ∣

3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为

其中为圆锥的高(如图1)

证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则

点处截面的半径为：

所以截面积。利用第1题，得

若为常量，则得

4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为，弦的线密度为，则点处的张力为

且的方向总是沿着弦在点处的切线方向。仍以表示弦上各点在时刻沿垂直于轴方向的位移，取弦段则弦段两端张力在轴方向的投影分别为

其中表示方向与轴的夹角

又         

于是得运动方程

          ∣∣

利用微分中值定理，消去，再令得

。

5. 验证   在锥>0中都满足波动方程

证：函数在锥>0内对变量有

二阶连续偏导数。且                                                 

同理           

所以           

即得所证。

6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)

与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.

   解: 利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为,故上所受摩阻力为

                                                   运动方程为: 

利用微分中值定理，消去,再令得

若常数，则得

若  

                    §3混合问题的分离变量法

1.用分离变量法求下列问题的解：

(1) 

  解：边界条件齐次的且是第一类的，令

得固有函数，且

， 

   于是

今由始值确定常数及，由始值得

所以          当

因此所求解为

(2)        

解：边界条件齐次的，令

得：                             (1)

及         。

求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。

    时，方程的通解为

由得

由得

解以上方程组，得，，故时得不到非零解。

    时，方程的通解为

由边值得，再由得，仍得不到非零解。

时，方程的通解为

由得，再由得     

为了使，必须，于是

且相应地得到                

将代入方程(2)，解得

于是        

再由始值得

容易验证构成区间上的正交函数系：

利用正交性，得

 所以          

2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为

           求解此问题。

解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取，则满足

           ， 

令代入原定解问题，则满足

满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为，  

故设                                   

将方程中非齐次项及初始条件中按展成级数，得

其中          

其中           

将(2)代入问题(1)，得满足

解方程，得通解

由始值，得

所以      

因此所求解为

3．用分离变量法求下面问题的解

解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为

设       

将非次项按展开级数，得

其中         

将  代入原定解问题，得满足

方程的通解为

由，得： 

由，得

所以      

所求解为

4．用分离变量法求下面问题的解：

解：方程和边界条件都是齐次的。令

代入方程及边界条件，得   

由此得边值问题

因此得固有值，相应的固有函数为

又满足方程

将代入，相应的记作，得满足

一般言之，很小，即阻尼很小，故通常有

故得通解    

其中       

所以

再由始值，得          

所以

所求解为