一、选择题(本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)如图,一个空心圆柱体,其主视图正确的是( )
A. B. C. D.
2.(3分)已知反比例函数y=的图象经过点(2,3),那么下列四个点中,也在这个函数图象上的是( )
A.(﹣6,1) B.(1,6) C.(2,﹣3) D.(3,﹣2)
3.(3分)已知三角形的面积一定,则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.(3分)如果两个相似多边形的面积比为1:4,则它们的相似比为( )
A.1:16 B.1:4 C.1:2 D.1:1
5.(3分)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=6,DB=3,AE=4,则EC的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(3分)用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是( )
A.(x+2)2=3 B.(x﹣2)2=3 C.(x﹣2)2=5 D.(x+2)2=5
7.(3分)对于反比例函数y=,下列说法正确的是( )
A.图象经过点(1,﹣3)
B.图象在第二、四象限
C.x>0时,y随x的增大而增大
D.x<0时,y随x增大而减小
8.(3分)若点A(﹣2,y1),B(﹣1,y2),C(2,y3)都在双曲线y=上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y2<y1<y3 B.y1<y3<y2 C.y1<y2<y3 D.y3<y2<y1
9.(3分)已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+4x+a2﹣1=0的一个根是0,则a=( )
A.1 B.0 C.±1 D.﹣1
10.(3分)在一个不透明的盒子里,装有4个黑球和若干个白球,它们除颜色外没有任何其他区别,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复,共摸球40次,其中10次摸到黑球,则估计盒子中大约有白球( )
A.12个 B.16个 C.20个 D.30个
11.(3分)如图,在一块长为22米,宽为17米的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米,则根据题意可列方程为( )
A.22×17﹣17x﹣22x=300 B.22×17﹣17x﹣22x﹣x2=300
C.(22﹣x)(17﹣x)=300 D.(22+x)(17+x)=300
12.(3分)如图,△ABC与△DEF是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是( )
A.(8,1) B.(8,2) C.(9,1) D.(9,0)
13.(3分)关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是( )
A.k<1 B.k≠0 C.k<1且k≠0 D.k>1
14.(3分)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=4cm,一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动,另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动,P、Q两点同时出发,运动时间为t(s),当△PCQ与△ACB相似时,运动时间t的值为( )
A.2 B.3 C.3或3.2 D.2或3.2
15.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,D是AB的中点,连接CD,过点B作BG⊥CD,分别交CD、CA于点E、F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连接DF.以下四个结论:①=;②点F是GE的中点;③AF=AB;④S△ABC=5S△BDF,其中正确的结论序号是( )
A.①④ B.①③ C.①②③ D.②③④
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分.把答案填在题中横线上)
16.(3分)若=,则的值为 .
17.(3分)如图,已知A点是反比例函数的图象上一点,AB⊥y轴于B,且△ABO的面积为3,则k的值为 .
18.(3分)若关于x的一元二次方程x2+mx﹣6=0的一个根是2,则另一个根为 .
19.(3分)某乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A、B固定在乐器面板上,支撑点C是AB的黄金分割点,且AC>BC,则AC的长为 cm(结果保留根号).
20.(3分)一位同学想利用树影测量树高(AB),他在某一时刻太阳光下,测得长为1米的竹竿的影长为0.9米,但他在测量树影时,发现因树靠近一墙壁,影子不能全落在地面上,如图所示,他测得墙壁上的影(CD)高为1.2米,测得地面上的影(BD)长为2.7米,则树高 米.
21.(3分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB:BC=3:2,点A(3,0),B(0,6)分别在x轴,y轴上,反比例函数y=(x>0)的图象经过点D,且与边BC交于点E,则点E的坐标为 .
三、解答题(本大题共7个小题,共57分,请写出文字说明、证明过程或演算步骤)
22.(7分)解方程:
(1)x2+4x=5;
(2)x(x+2)=3x+6.
23.(7分)已知:如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC边的中点,连接AE,过点E作EF⊥AE交CD于点F.
(1)求证:△ABE∽△ECF;
(2)求DF的长.
24.(8分)有四张正面分别标有数字1,2,3,4的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上洗均匀.
(1)随机抽取一张卡片,求抽到数字为偶数的概率;
(2)随机抽取一张卡片,记下数字后放回,洗匀后再随机抽取一张卡片,请用列表或画树状图的方法求出两次数字和为5的概率.
25.(8分)某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润120元,根据以往的销售经验,若每箱降价1元,每天可多售出2箱.如果要使每天销售饮料获利14000元,并且让顾客得到尽可能多的实惠,那么每箱应降价多少元?
26.(9分)如图,已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(1,6),B(3,n)两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出ax+b﹣<0的x的取值范围
(3)求△AOB的面积.
27.(9分)(1)如图1,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC=4,CD=CE,AE=2,∠CAE=45°,连接BE.
①求证:△ACD≌△BCE;
②求AD的长.
(2)如图2,已知∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠CED=∠CAE=30°,AC=3,AE=8,求AD的长.
28.(9分)如图1,点P为∠MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2,我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.
(1)如图2,已知∠MON=90°,点P为∠MON的平分线上一点,以点P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,且∠APB=135°.求证:∠APB是∠MON的智慧角;
(2)如图1,已知∠MON=α,若∠APB是∠MON的智慧角,求∠APB的度数(用含α的式子表示);
(3)如图3,C是反比例函数y=(x>0)图象上的一个动点,过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A,B两点,且满足BC=2CA,请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.
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一、选择题(本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)如图,一个空心圆柱体,其主视图正确的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:从前面观察物体可以发现:它的主视图应为矩形,
又因为该几何体为空心圆柱体,故中间的两条棱在主视图中应为虚线,
故选:B.
2.(3分)已知反比例函数y=的图象经过点(2,3),那么下列四个点中,也在这个函数图象上的是( )
A.(﹣6,1) B.(1,6) C.(2,﹣3) D.(3,﹣2)
【解答】解:∵反比例函数y=的图象经过点(2,3),
∴k=2×3=6,
A、∵(﹣6)×1=﹣6≠6,∴此点不在反比例函数图象上;
B、∵1×6=6,∴此点在反比例函数图象上;
C、∵2×(﹣3)=﹣6≠6,∴此点不在反比例函数图象上;
D、∵3×(﹣2)=﹣6≠6,∴此点不在反比例函数图象上.
故选:B.
3.(3分)已知三角形的面积一定,则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:已知三角形的面积s一定,
则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为S=ah,即h=;
是反比例函数,且2S>0,h>0;
故其图象只在第一象限.
故选:D.
4.(3分)如果两个相似多边形的面积比为1:4,则它们的相似比为( )
A.1:16 B.1:4 C.1:2 D.1:1
【解答】解:∵两个相似多边形面积的比为1:4,
∴它们的相似比为1:2.
故选:C.
5.(3分)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=6,DB=3,AE=4,则EC的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解:∵DE∥BC,
∴,
即,
解得:EC=2,
故选:B.
6.(3分)用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是( )
A.(x+2)2=3 B.(x﹣2)2=3 C.(x﹣2)2=5 D.(x+2)2=5
【解答】解:方程移项得:x2+4x=﹣1,
配方得:x2+4x+4=3,即(x+2)2=3.
故选:A.
7.(3分)对于反比例函数y=,下列说法正确的是( )
A.图象经过点(1,﹣3)
B.图象在第二、四象限
C.x>0时,y随x的增大而增大
D.x<0时,y随x增大而减小
【解答】解:A、∵反比例函数y=,∴xy=3,故图象经过点(1,3),故A选项错误;
B、∵k>0,∴图象在第一、三象限,故B选项错误;
C、∵k>0,∴x>0时,y随x的增大而减小,故C选项错误;
D、∵k>0,∴x<0时,y随x增大而减小,故D选项正确.
故选:D.
8.(3分)若点A(﹣2,y1),B(﹣1,y2),C(2,y3)都在双曲线y=上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y2<y1<y3 B.y1<y3<y2 C.y1<y2<y3 D.y3<y2<y1
【解答】解:当x=﹣2时,y1==﹣2;
当x=﹣1时,y2==﹣4;
当x=2时,y3==2.
∵﹣4<﹣2<2,
∴y2<y1<y3.
故选:A.
9.(3分)已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+4x+a2﹣1=0的一个根是0,则a=( )
A.1 B.0 C.±1 D.﹣1
【解答】解:把x=0代入一元二次方程(a﹣1)x2+4x+a2﹣1=0,
得:a2﹣1=0,且a﹣1≠0,
解得:a=﹣1,
故选:D.
10.(3分)在一个不透明的盒子里,装有4个黑球和若干个白球,它们除颜色外没有任何其他区别,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复,共摸球40次,其中10次摸到黑球,则估计盒子中大约有白球( )
A.12个 B.16个 C.20个 D.30个
【解答】解:∵共摸了40次,其中10次摸到黑球,
∴有30次摸到白球,
∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1:3,
∴口袋中黑球和白球个数之比为1:3,
故盒子中大约有白球:4÷=12(个).
故选:A.
11.(3分)如图,在一块长为22米,宽为17米的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米,则根据题意可列方程为( )
A.22×17﹣17x﹣22x=300 B.22×17﹣17x﹣22x﹣x2=300
C.(22﹣x)(17﹣x)=300 D.(22+x)(17+x)=300
【解答】解:设道路的宽应为x米,由题意有
(22﹣x)(17﹣x)=300,
故选:C.
12.(3分)如图,△ABC与△DEF是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是( )
A.(8,1) B.(8,2) C.(9,1) D.(9,0)
【解答】解:延长EB、DA交于点P,
则点P即为位似中心,位似中心的坐标为(9,0),
故选:D.
13.(3分)关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是( )
A.k<1 B.k≠0 C.k<1且k≠0 D.k>1
【解答】解:∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根,
∴k≠0,且△=b2﹣4ac=36﹣36k>0,
解得k<1且k≠0.
故答案为k<1且k≠0.
故选:C.
14.(3分)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=4cm,一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动,另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动,P、Q两点同时出发,运动时间为t(s),当△PCQ与△ACB相似时,运动时间t的值为( )
A.2 B.3 C.3或3.2 D.2或3.2
【解答】解:∵运动时间为ts,则CP=t,CQ=8﹣2t,
∵∠PCQ=∠ACB=90°,
∴当△PCQ与△ACB相似时,有∠CPQ=∠B或∠CPQ=∠A,
当∠CPQ=∠B时,则有,
即=,
解得t=2;
当∠CPQ=∠A时,则有=,
即,
解得t=.
综上可知,当点P、Q同时运动2秒或秒后,△PCQ与△ACB相似,
故选:D.
15.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,D是AB的中点,连接CD,过点B作BG⊥CD,分别交CD、CA于点E、F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连接DF.以下四个结论:①=;②点F是GE的中点;③AF=AB;④S△ABC=5S△BDF,其中正确的结论序号是( )
A.①④ B.①③ C.①②③ D.②③④
【解答】解:∵∠ABC=90°,BG⊥CD,
∴∠ABG+∠CBG=90°,∠BCD+∠CBG=90°,
∴∠ABG=∠BCD,
在△ABC和△BCD中,
,
∴△ABG≌△BCD(ASA),
∴AG=BD,
∵点D是AB的中点,
∴BD=AB,
∴AG=BC,
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,
∴AB⊥BC,
∵AG⊥AB,
∴AG∥BC,
∴△AFG∽△CFB,
∴=,
∵BA=BC,
∴=,
故①正确;
设AB=BC=2x,
∵点D是AB的中点,
∴AD=BD=AG=x,
在Rt△DBC中,DC==x,
∴BG=DC=x,
∵△AFG∽△CFB,
∴==,
∴FG=FB=BG=,
∵∠DBE=∠DCB=90°﹣∠BDC,∠BED=∠CBD,
∴△CDB∽△BDE,
∴=,即=,
∴BE=x,
∴FE=BG﹣GF﹣BE=x,
∴FG≠FE,
故②错误;
∵△AFG∽△CFB,
∴==,
∴AF=AC,
∵AC=AB,
∴AF=AB,故③正确;
过点F作MF⊥AB于M,则FM∥CB,
∴==,
∵=,
∴==•=×=,
即S△ABC=6S△BDF,故④错误;
故选:B.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分.把答案填在题中横线上)
16.(3分)若=,则的值为 .
【解答】解:∵=,
∴=1+=1+=.
故答案为:.
17.(3分)如图,已知A点是反比例函数的图象上一点,AB⊥y轴于B,且△ABO的面积为3,则k的值为 6 .
【解答】解:根据题意可知:S△ABO=|k|=3,
由于反比例函数的图象位于第一象限,k>0,
则k=6.
故答案为:6.
18.(3分)若关于x的一元二次方程x2+mx﹣6=0的一个根是2,则另一个根为 ﹣3 .
【解答】解:设方程另一根为t,
根据题意得2t=﹣6,
解得t=﹣3.
故答案为﹣3.
19.(3分)某乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A、B固定在乐器面板上,支撑点C是AB的黄金分割点,且AC>BC,则AC的长为 (40﹣40) cm(结果保留根号).
【解答】解:∵点C是AB的黄金分割点,且AC>BC,
∴AC=AB=×80=(40﹣40)cm,
故答案为:(40﹣40).
20.(3分)一位同学想利用树影测量树高(AB),他在某一时刻太阳光下,测得长为1米的竹竿的影长为0.9米,但他在测量树影时,发现因树靠近一墙壁,影子不能全落在地面上,如图所示,他测得墙壁上的影(CD)高为1.2米,测得地面上的影(BD)长为2.7米,则树高 4.2 米.
【解答】解:如图所示,延长AC交BD的延长线于点E,
∵∠E=∠E,
∠CDE=∠ABD=90°,
∴△CDE∽△ABE,
∴,
即,
∴AB=1.2×
∵同一时刻太阳光,
∴,
解得,DE=1.08,
∴AB=1.2×=4.2.
答:树高为4.2米,
方法二:设地面上的影长2.7米时的树高为x米,
根据题意得,=,
∴x=3,
∴树高为3+1.2=4.2(m),
故答案为:4.2.
21.(3分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB:BC=3:2,点A(3,0),B(0,6)分别在x轴,y轴上,反比例函数y=(x>0)的图象经过点D,且与边BC交于点E,则点E的坐标为 (2,7) .
【解答】解:过点D作DF⊥x轴于点F,则∠AOB=∠DFA=90°,
∴∠OAB+∠ABO=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,AD=BC,
∴∠OAB+∠DAF=90°,
∴∠ABO=∠DAF,
∴△AOB∽△DFA,
∴OA:DF=OB:AF=AB:AD,
∵AB:BC=3:2,点A(3,0),B(0,6),
∴AB:AD=3:2,OA=3,OB=6,
∴DF=2,AF=4,
∴OF=OA+AF=7,
∴点D的坐标为:(7,2),
∴反比例函数的解析式为:y=①,点C的坐标为:(4,8),
设直线BC的解析式为:y=kx+b,
则,
解得:,
∴直线BC的解析式为:y=x+6②,
联立①②得:或(舍去),
∴点E的坐标为:(2,7).
故答案为:(2,7).
三、解答题(本大题共7个小题,共57分,请写出文字说明、证明过程或演算步骤)
22.(7分)解方程:
(1)x2+4x=5;
(2)x(x+2)=3x+6.
【解答】解:(1)x2+4x﹣5=0,
(x+5)(x﹣1)=0,
x+5=0或x﹣1=0,
所以x1=﹣5,x2=1;
(2)x(x+2)﹣3(x+2)=0,
(x+2)(x﹣3)=0,
x+2=0或x﹣3=0,
所以x1=﹣2,x2=3.
23.(7分)已知:如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC边的中点,连接AE,过点E作EF⊥AE交CD于点F.
(1)求证:△ABE∽△ECF;
(2)求DF的长.
【解答】(1)证明:∵EF⊥AE,
∴∠AEB+∠FEC=90°,
又∵∠AEB+∠EAB=90°,
∴∠FEC=∠EAB,
又∵∠ABE=∠ECF=90°,
∴△ABE∽△ECF;
(2)解:∵△ABE∽△ECF,
∴=,
又∵E为BC边的中点,
∴BE=EC=,
∴==,
又∵BE==2,
∴CF=1,
∴DF=DC﹣CF=4﹣1=3.
24.(8分)有四张正面分别标有数字1,2,3,4的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上洗均匀.
(1)随机抽取一张卡片,求抽到数字为偶数的概率;
(2)随机抽取一张卡片,记下数字后放回,洗匀后再随机抽取一张卡片,请用列表或画树状图的方法求出两次数字和为5的概率.
【解答】解:(1)∵四张正面分别标有数字1,2,3,4,其中数字为偶数的有2和4两个数,
∴随机抽取一张卡片,求抽到数字为偶数的概率是=;
(2)根据题意画图如下:
共有16种的可能的情况数,其中两次数字和为5的有4种,
则两次数字和为5的概率实数=.
25.(8分)某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润120元,根据以往的销售经验,若每箱降价1元,每天可多售出2箱.如果要使每天销售饮料获利14000元,并且让顾客得到尽可能多的实惠,那么每箱应降价多少元?
【解答】解:设每箱降价x元,则每箱的利润为(120﹣x)元,每天可售出(100+2x)箱,
依题意,得:(120﹣x)(100+2x)=14000,
整理,得:x2﹣70x+1000=0,
解得:x1=20,x2=50,
又∵要让顾客得到尽可能多的实惠,
∴x=50.
答:每箱应降价50元.
26.(9分)如图,已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(1,6),B(3,n)两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出ax+b﹣<0的x的取值范围
(3)求△AOB的面积.
【解答】解:(1)点A(1,6)在反比例函数y=(x>0)的图象上,
∴k=6×1=6,
∴反比例函数的表达式为y=,
∵点B(3,n)也在反比例函数的图象上,
∴n=2,
即B(3,2)
把点A(1,6),点B(3,2)代入一次函数y=kx+b中,
得,
解得,
∴一次函数的表达式为y=﹣2x+8;
(2)∵A的坐标为(1,6),B的坐标为(3,2),
∴kx+b﹣<0的x的取值范围为0<x<1或x>3;
(3)设直线AB与x轴的交点为D,
令﹣2x+8=0,得x=4,即D(4,0).
∵A(1,6),B(3,2),
∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣×4×2=8,
答:△AOB的面积是8.
27.(9分)(1)如图1,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC=4,CD=CE,AE=2,∠CAE=45°,连接BE.
①求证:△ACD≌△BCE;
②求AD的长.
(2)如图2,已知∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠CED=∠CAE=30°,AC=3,AE=8,求AD的长.
【解答】解:(1)证明:①∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD,
又∵AC=BC,DC=EC,
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE(SAS);
②∵△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,
∵AC=BC=4,
∴AB=4,
∵∠BAC=∠CAE=45°,
∴∠BAE=90°,
在Rt△BAE中,AB=4,AE=2,
∴BE=6,
∴AD=6;
(2)如图2,连接BE,
在Rt△ACB中,∠ABC=∠CED=30°,
tan30°==,
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠BCE=∠ACD,
∴△ACD∽△BCE,
∴,
∵∠BAC=60°,∠CAE=30°,
∴∠BAE=90°,
在Rt△ABC中,AC=3,∠ABC=30°,
∴AB=6,
∵AE=8,
∴BE=10,
∴AD=.
28.(9分)如图1,点P为∠MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2,我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.
(1)如图2,已知∠MON=90°,点P为∠MON的平分线上一点,以点P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,且∠APB=135°.求证:∠APB是∠MON的智慧角;
(2)如图1,已知∠MON=α,若∠APB是∠MON的智慧角,求∠APB的度数(用含α的式子表示);
(3)如图3,C是反比例函数y=(x>0)图象上的一个动点,过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A,B两点,且满足BC=2CA,请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.
【解答】(1)证明:∵∠MON=90°,P为∠MON的平分线上一点,
∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°,
∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°,
∴∠OAP+∠APO=135°,
∵∠APB=135°,
∴∠APO+∠OPB=135°,
∴∠OAP=∠OPB,
∴△AOP∽△POB,
∴,
∴OP2=OA•OB,
∴∠APB是∠MON的智慧角;
(2)解:∵∠APB是∠MON的智慧角,
∴OA•OB=OP2,
∴,
∵P为∠MON的平分线上一点,
∴∠AOP=∠BOP=α,
∴△AOP∽△POB,
∴∠OAP=∠OPB,
∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°﹣α,
即∠APB=180°﹣α;
(3)设点C(a,b),则ab=4,
过点C作CH⊥OA于H;分两种情况:
①当点B在y轴正半轴上时;当点A在x轴的负半轴上时,如图1所示:
BC=2CA不可能;
当点A在x轴的正半轴上时,如图2所示:
∵BC=2CA,
∴,
∵CH∥OB,
∴△ACH∽△ABO,
,
∴OB=3b,OA=,
∴OA•OB=•3b==18,
∵∠APB是∠AOB的智慧角,
∴OP===3,
∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,
∴点P的坐标为:(3,3);
②当点B在y轴的负半轴上时,如图3所示:
∵BC=2CA,
∴AB=CA,
在△ACH和△ABO中,∠AHC=∠AOB,∠BAO=∠CAH,CA=AB,
∴△ACH≌△ABO(AAS),
∴OB=CH=b,OA=AH=a,
∴OA•OB=a•b=2,
∵∠APB是∠AOB的智慧角,
∴OP==,
∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,
∴点P的坐标为:(1,﹣1);
综上所述:点P的坐标为:(3,3)或(1,﹣1).