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山东省济南市历下区九年级上期中数学试卷(含答案解析)

来源:动视网 责编:小OO 时间:2025-09-26 00:03:39
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山东省济南市历下区九年级上期中数学试卷(含答案解析)

山东省济南市历下区九年级(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(3分)如图,一个空心圆柱体,其主视图正确的是()A.B.C.D.2.(3分)已知反比例函数y=的图象经过点(2,3),那么下列四个点中,也在这个函数图象上的是()A.(﹣6,1)B.(1,6)C.(2,﹣3)D.(3,﹣2)3.(3分)已知三角形的面积一定,则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是()A.B.C.D.4.(3分)如
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导读山东省济南市历下区九年级(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(3分)如图,一个空心圆柱体,其主视图正确的是()A.B.C.D.2.(3分)已知反比例函数y=的图象经过点(2,3),那么下列四个点中,也在这个函数图象上的是()A.(﹣6,1)B.(1,6)C.(2,﹣3)D.(3,﹣2)3.(3分)已知三角形的面积一定,则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是()A.B.C.D.4.(3分)如
山东省济南市历下区九年级(上)期中数学试卷

一、选择题(本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(3分)如图,一个空心圆柱体,其主视图正确的是(  )

A. B. C. D.

2.(3分)已知反比例函数y=的图象经过点(2,3),那么下列四个点中,也在这个函数图象上的是(  )

A.(﹣6,1) B.(1,6) C.(2,﹣3) D.(3,﹣2)

3.(3分)已知三角形的面积一定,则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是(  )

A. B.

C. D.

4.(3分)如果两个相似多边形的面积比为1:4,则它们的相似比为(  )

A.1:16 B.1:4 C.1:2 D.1:1

5.(3分)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=6,DB=3,AE=4,则EC的长为(  )

A.1 B.2 C.3 D.4

6.(3分)用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是(  )

A.(x+2)2=3 B.(x﹣2)2=3 C.(x﹣2)2=5 D.(x+2)2=5

7.(3分)对于反比例函数y=,下列说法正确的是(  )

A.图象经过点(1,﹣3)

B.图象在第二、四象限

C.x>0时,y随x的增大而增大

D.x<0时,y随x增大而减小

8.(3分)若点A(﹣2,y1),B(﹣1,y2),C(2,y3)都在双曲线y=上,则y1,y2,y3的大小关系是(  )

A.y2<y1<y3 B.y1<y3<y2 C.y1<y2<y3 D.y3<y2<y1

9.(3分)已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+4x+a2﹣1=0的一个根是0,则a=(  )

A.1 B.0 C.±1 D.﹣1

10.(3分)在一个不透明的盒子里,装有4个黑球和若干个白球,它们除颜色外没有任何其他区别,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复,共摸球40次,其中10次摸到黑球,则估计盒子中大约有白球(  )

A.12个 B.16个 C.20个 D.30个

11.(3分)如图,在一块长为22米,宽为17米的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米,则根据题意可列方程为(  )

A.22×17﹣17x﹣22x=300 B.22×17﹣17x﹣22x﹣x2=300

C.(22﹣x)(17﹣x)=300 D.(22+x)(17+x)=300

12.(3分)如图,△ABC与△DEF是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是(  )

A.(8,1) B.(8,2) C.(9,1) D.(9,0)

13.(3分)关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是(  )

A.k<1 B.k≠0 C.k<1且k≠0 D.k>1

14.(3分)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=4cm,一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动,另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动,P、Q两点同时出发,运动时间为t(s),当△PCQ与△ACB相似时,运动时间t的值为(  )

A.2 B.3 C.3或3.2 D.2或3.2

15.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,D是AB的中点,连接CD,过点B作BG⊥CD,分别交CD、CA于点E、F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连接DF.以下四个结论:①=;②点F是GE的中点;③AF=AB;④S△ABC=5S△BDF,其中正确的结论序号是(  )

A.①④ B.①③ C.①②③ D.②③④

二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分.把答案填在题中横线上)

16.(3分)若=,则的值为                .

17.(3分)如图,已知A点是反比例函数的图象上一点,AB⊥y轴于B,且△ABO的面积为3,则k的值为   .

18.(3分)若关于x的一元二次方程x2+mx﹣6=0的一个根是2,则另一个根为     .

19.(3分)某乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A、B固定在乐器面板上,支撑点C是AB的黄金分割点,且AC>BC,则AC的长为                  cm(结果保留根号).

20.(3分)一位同学想利用树影测量树高(AB),他在某一时刻太阳光下,测得长为1米的竹竿的影长为0.9米,但他在测量树影时,发现因树靠近一墙壁,影子不能全落在地面上,如图所示,他测得墙壁上的影(CD)高为1.2米,测得地面上的影(BD)长为2.7米,则树高      米.

21.(3分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB:BC=3:2,点A(3,0),B(0,6)分别在x轴,y轴上,反比例函数y=(x>0)的图象经过点D,且与边BC交于点E,则点E的坐标为        .

三、解答题(本大题共7个小题,共57分,请写出文字说明、证明过程或演算步骤)

22.(7分)解方程:

(1)x2+4x=5;

(2)x(x+2)=3x+6.

23.(7分)已知:如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC边的中点,连接AE,过点E作EF⊥AE交CD于点F.

(1)求证:△ABE∽△ECF;

(2)求DF的长.

24.(8分)有四张正面分别标有数字1,2,3,4的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上洗均匀.

(1)随机抽取一张卡片,求抽到数字为偶数的概率;

(2)随机抽取一张卡片,记下数字后放回,洗匀后再随机抽取一张卡片,请用列表或画树状图的方法求出两次数字和为5的概率.

25.(8分)某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润120元,根据以往的销售经验,若每箱降价1元,每天可多售出2箱.如果要使每天销售饮料获利14000元,并且让顾客得到尽可能多的实惠,那么每箱应降价多少元?

26.(9分)如图,已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(1,6),B(3,n)两点.

(1)求反比例函数与一次函数的解析式;

(2)根据图象直接写出ax+b﹣<0的x的取值范围

(3)求△AOB的面积.

27.(9分)(1)如图1,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC=4,CD=CE,AE=2,∠CAE=45°,连接BE.

①求证:△ACD≌△BCE;

②求AD的长.

(2)如图2,已知∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠CED=∠CAE=30°,AC=3,AE=8,求AD的长.

28.(9分)如图1,点P为∠MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2,我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.

(1)如图2,已知∠MON=90°,点P为∠MON的平分线上一点,以点P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,且∠APB=135°.求证:∠APB是∠MON的智慧角;

(2)如图1,已知∠MON=α,若∠APB是∠MON的智慧角,求∠APB的度数(用含α的式子表示);

(3)如图3,C是反比例函数y=(x>0)图象上的一个动点,过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A,B两点,且满足BC=2CA,请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.

参与试题解析

一、选择题(本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(3分)如图,一个空心圆柱体,其主视图正确的是(  )

A. B. C. D.

【解答】解:从前面观察物体可以发现:它的主视图应为矩形,

又因为该几何体为空心圆柱体,故中间的两条棱在主视图中应为虚线,

故选:B.

2.(3分)已知反比例函数y=的图象经过点(2,3),那么下列四个点中,也在这个函数图象上的是(  )

A.(﹣6,1) B.(1,6) C.(2,﹣3) D.(3,﹣2)

【解答】解:∵反比例函数y=的图象经过点(2,3),

∴k=2×3=6,

A、∵(﹣6)×1=﹣6≠6,∴此点不在反比例函数图象上;

B、∵1×6=6,∴此点在反比例函数图象上;

C、∵2×(﹣3)=﹣6≠6,∴此点不在反比例函数图象上;

D、∵3×(﹣2)=﹣6≠6,∴此点不在反比例函数图象上.

故选:B.

3.(3分)已知三角形的面积一定,则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是(  )

A. B.

C. D.

【解答】解:已知三角形的面积s一定,

则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为S=ah,即h=;

是反比例函数,且2S>0,h>0;

故其图象只在第一象限.

故选:D.

4.(3分)如果两个相似多边形的面积比为1:4,则它们的相似比为(  )

A.1:16 B.1:4 C.1:2 D.1:1

【解答】解:∵两个相似多边形面积的比为1:4,

∴它们的相似比为1:2.

故选:C.

5.(3分)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=6,DB=3,AE=4,则EC的长为(  )

A.1 B.2 C.3 D.4

【解答】解:∵DE∥BC,

∴,

即,

解得:EC=2,

故选:B.

6.(3分)用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是(  )

A.(x+2)2=3 B.(x﹣2)2=3 C.(x﹣2)2=5 D.(x+2)2=5

【解答】解:方程移项得:x2+4x=﹣1,

配方得:x2+4x+4=3,即(x+2)2=3.

故选:A.

7.(3分)对于反比例函数y=,下列说法正确的是(  )

A.图象经过点(1,﹣3)

B.图象在第二、四象限

C.x>0时,y随x的增大而增大

D.x<0时,y随x增大而减小

【解答】解:A、∵反比例函数y=,∴xy=3,故图象经过点(1,3),故A选项错误;

B、∵k>0,∴图象在第一、三象限,故B选项错误;

C、∵k>0,∴x>0时,y随x的增大而减小,故C选项错误;

D、∵k>0,∴x<0时,y随x增大而减小,故D选项正确.

故选:D.

8.(3分)若点A(﹣2,y1),B(﹣1,y2),C(2,y3)都在双曲线y=上,则y1,y2,y3的大小关系是(  )

A.y2<y1<y3 B.y1<y3<y2 C.y1<y2<y3 D.y3<y2<y1

【解答】解:当x=﹣2时,y1==﹣2;

当x=﹣1时,y2==﹣4;

当x=2时,y3==2.

∵﹣4<﹣2<2,

∴y2<y1<y3.

故选:A.

9.(3分)已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+4x+a2﹣1=0的一个根是0,则a=(  )

A.1 B.0 C.±1 D.﹣1

【解答】解:把x=0代入一元二次方程(a﹣1)x2+4x+a2﹣1=0,

得:a2﹣1=0,且a﹣1≠0,

解得:a=﹣1,

故选:D.

10.(3分)在一个不透明的盒子里,装有4个黑球和若干个白球,它们除颜色外没有任何其他区别,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复,共摸球40次,其中10次摸到黑球,则估计盒子中大约有白球(  )

A.12个 B.16个 C.20个 D.30个

【解答】解:∵共摸了40次,其中10次摸到黑球,

∴有30次摸到白球,

∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1:3,

∴口袋中黑球和白球个数之比为1:3,

故盒子中大约有白球:4÷=12(个).

故选:A.

11.(3分)如图,在一块长为22米,宽为17米的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米,则根据题意可列方程为(  )

A.22×17﹣17x﹣22x=300 B.22×17﹣17x﹣22x﹣x2=300

C.(22﹣x)(17﹣x)=300 D.(22+x)(17+x)=300

【解答】解:设道路的宽应为x米,由题意有

(22﹣x)(17﹣x)=300,

故选:C.

12.(3分)如图,△ABC与△DEF是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是(  )

A.(8,1) B.(8,2) C.(9,1) D.(9,0)

【解答】解:延长EB、DA交于点P,

则点P即为位似中心,位似中心的坐标为(9,0),

故选:D.

13.(3分)关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是(  )

A.k<1 B.k≠0 C.k<1且k≠0 D.k>1

【解答】解:∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根,

∴k≠0,且△=b2﹣4ac=36﹣36k>0,

解得k<1且k≠0.

故答案为k<1且k≠0.

故选:C.

14.(3分)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=4cm,一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动,另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动,P、Q两点同时出发,运动时间为t(s),当△PCQ与△ACB相似时,运动时间t的值为(  )

A.2 B.3 C.3或3.2 D.2或3.2

【解答】解:∵运动时间为ts,则CP=t,CQ=8﹣2t,

∵∠PCQ=∠ACB=90°,

∴当△PCQ与△ACB相似时,有∠CPQ=∠B或∠CPQ=∠A,

当∠CPQ=∠B时,则有,

即=,

解得t=2;

当∠CPQ=∠A时,则有=,

即,

解得t=.

综上可知,当点P、Q同时运动2秒或秒后,△PCQ与△ACB相似,

故选:D.

15.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,D是AB的中点,连接CD,过点B作BG⊥CD,分别交CD、CA于点E、F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连接DF.以下四个结论:①=;②点F是GE的中点;③AF=AB;④S△ABC=5S△BDF,其中正确的结论序号是(  )

A.①④ B.①③ C.①②③ D.②③④

【解答】解:∵∠ABC=90°,BG⊥CD,

∴∠ABG+∠CBG=90°,∠BCD+∠CBG=90°,

∴∠ABG=∠BCD,

在△ABC和△BCD中,

∴△ABG≌△BCD(ASA),

∴AG=BD,

∵点D是AB的中点,

∴BD=AB,

∴AG=BC,

在Rt△ABC中,∠ABC=90°,

∴AB⊥BC,

∵AG⊥AB,

∴AG∥BC,

∴△AFG∽△CFB,

∴=,

∵BA=BC,

∴=,

故①正确;

设AB=BC=2x,

∵点D是AB的中点,

∴AD=BD=AG=x,

在Rt△DBC中,DC==x,

∴BG=DC=x,

∵△AFG∽△CFB,

∴==,

∴FG=FB=BG=,

∵∠DBE=∠DCB=90°﹣∠BDC,∠BED=∠CBD,

∴△CDB∽△BDE,

∴=,即=,

∴BE=x,

∴FE=BG﹣GF﹣BE=x,

∴FG≠FE,

故②错误;

∵△AFG∽△CFB,

∴==,

∴AF=AC,

∵AC=AB,

∴AF=AB,故③正确;

过点F作MF⊥AB于M,则FM∥CB,

∴==,

∵=,

∴==•=×=,

即S△ABC=6S△BDF,故④错误;

故选:B.

二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分.把答案填在题中横线上)

16.(3分)若=,则的值为  .

【解答】解:∵=,

∴=1+=1+=.

故答案为:.

17.(3分)如图,已知A点是反比例函数的图象上一点,AB⊥y轴于B,且△ABO的面积为3,则k的值为 6 .

【解答】解:根据题意可知:S△ABO=|k|=3,

由于反比例函数的图象位于第一象限,k>0,

则k=6.

故答案为:6.

18.(3分)若关于x的一元二次方程x2+mx﹣6=0的一个根是2,则另一个根为 ﹣3 .

【解答】解:设方程另一根为t,

根据题意得2t=﹣6,

解得t=﹣3.

故答案为﹣3.

19.(3分)某乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A、B固定在乐器面板上,支撑点C是AB的黄金分割点,且AC>BC,则AC的长为 (40﹣40) cm(结果保留根号).

【解答】解:∵点C是AB的黄金分割点,且AC>BC,

∴AC=AB=×80=(40﹣40)cm,

故答案为:(40﹣40).

20.(3分)一位同学想利用树影测量树高(AB),他在某一时刻太阳光下,测得长为1米的竹竿的影长为0.9米,但他在测量树影时,发现因树靠近一墙壁,影子不能全落在地面上,如图所示,他测得墙壁上的影(CD)高为1.2米,测得地面上的影(BD)长为2.7米,则树高 4.2 米.

【解答】解:如图所示,延长AC交BD的延长线于点E,

∵∠E=∠E,

∠CDE=∠ABD=90°,

∴△CDE∽△ABE,

∴,

即,

∴AB=1.2×

∵同一时刻太阳光,

∴,

解得,DE=1.08,

∴AB=1.2×=4.2.

答:树高为4.2米,

方法二:设地面上的影长2.7米时的树高为x米,

根据题意得,=,

∴x=3,

∴树高为3+1.2=4.2(m),

故答案为:4.2.

21.(3分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB:BC=3:2,点A(3,0),B(0,6)分别在x轴,y轴上,反比例函数y=(x>0)的图象经过点D,且与边BC交于点E,则点E的坐标为 (2,7) .

【解答】解:过点D作DF⊥x轴于点F,则∠AOB=∠DFA=90°,

∴∠OAB+∠ABO=90°,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠BAD=90°,AD=BC,

∴∠OAB+∠DAF=90°,

∴∠ABO=∠DAF,

∴△AOB∽△DFA,

∴OA:DF=OB:AF=AB:AD,

∵AB:BC=3:2,点A(3,0),B(0,6),

∴AB:AD=3:2,OA=3,OB=6,

∴DF=2,AF=4,

∴OF=OA+AF=7,

∴点D的坐标为:(7,2),

∴反比例函数的解析式为:y=①,点C的坐标为:(4,8),

设直线BC的解析式为:y=kx+b,

则,

解得:,

∴直线BC的解析式为:y=x+6②,

联立①②得:或(舍去),

∴点E的坐标为:(2,7).

故答案为:(2,7).

三、解答题(本大题共7个小题,共57分,请写出文字说明、证明过程或演算步骤)

22.(7分)解方程:

(1)x2+4x=5;

(2)x(x+2)=3x+6.

【解答】解:(1)x2+4x﹣5=0,

(x+5)(x﹣1)=0,

x+5=0或x﹣1=0,

所以x1=﹣5,x2=1;

(2)x(x+2)﹣3(x+2)=0,

(x+2)(x﹣3)=0,

x+2=0或x﹣3=0,

所以x1=﹣2,x2=3.

23.(7分)已知:如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC边的中点,连接AE,过点E作EF⊥AE交CD于点F.

(1)求证:△ABE∽△ECF;

(2)求DF的长.

【解答】(1)证明:∵EF⊥AE,

∴∠AEB+∠FEC=90°,

又∵∠AEB+∠EAB=90°,

∴∠FEC=∠EAB,

又∵∠ABE=∠ECF=90°,

∴△ABE∽△ECF;

(2)解:∵△ABE∽△ECF,

∴=,

又∵E为BC边的中点,

∴BE=EC=,

∴==,

又∵BE==2,

∴CF=1,

∴DF=DC﹣CF=4﹣1=3.

24.(8分)有四张正面分别标有数字1,2,3,4的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上洗均匀.

(1)随机抽取一张卡片,求抽到数字为偶数的概率;

(2)随机抽取一张卡片,记下数字后放回,洗匀后再随机抽取一张卡片,请用列表或画树状图的方法求出两次数字和为5的概率.

【解答】解:(1)∵四张正面分别标有数字1,2,3,4,其中数字为偶数的有2和4两个数,

∴随机抽取一张卡片,求抽到数字为偶数的概率是=;

(2)根据题意画图如下:

共有16种的可能的情况数,其中两次数字和为5的有4种,

则两次数字和为5的概率实数=.

25.(8分)某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润120元,根据以往的销售经验,若每箱降价1元,每天可多售出2箱.如果要使每天销售饮料获利14000元,并且让顾客得到尽可能多的实惠,那么每箱应降价多少元?

【解答】解:设每箱降价x元,则每箱的利润为(120﹣x)元,每天可售出(100+2x)箱,

依题意,得:(120﹣x)(100+2x)=14000,

整理,得:x2﹣70x+1000=0,

解得:x1=20,x2=50,

又∵要让顾客得到尽可能多的实惠,

∴x=50.

答:每箱应降价50元.

26.(9分)如图,已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(1,6),B(3,n)两点.

(1)求反比例函数与一次函数的解析式;

(2)根据图象直接写出ax+b﹣<0的x的取值范围

(3)求△AOB的面积.

【解答】解:(1)点A(1,6)在反比例函数y=(x>0)的图象上,

∴k=6×1=6,

∴反比例函数的表达式为y=,

∵点B(3,n)也在反比例函数的图象上,

∴n=2,

即B(3,2)

把点A(1,6),点B(3,2)代入一次函数y=kx+b中,

得,

解得,

∴一次函数的表达式为y=﹣2x+8;

(2)∵A的坐标为(1,6),B的坐标为(3,2),

∴kx+b﹣<0的x的取值范围为0<x<1或x>3;

(3)设直线AB与x轴的交点为D,

令﹣2x+8=0,得x=4,即D(4,0).

∵A(1,6),B(3,2),

∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣×4×2=8,

答:△AOB的面积是8.

27.(9分)(1)如图1,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC=4,CD=CE,AE=2,∠CAE=45°,连接BE.

①求证:△ACD≌△BCE;

②求AD的长.

(2)如图2,已知∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠CED=∠CAE=30°,AC=3,AE=8,求AD的长.

【解答】解:(1)证明:①∵∠ACB=∠DCE=90°,

∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD,

又∵AC=BC,DC=EC,

在△ACD和△BCE中,

∴△ACD≌△BCE(SAS);

②∵△ACD≌△BCE,

∴AD=BE,

∵AC=BC=4,

∴AB=4,

∵∠BAC=∠CAE=45°,

∴∠BAE=90°,

在Rt△BAE中,AB=4,AE=2,

∴BE=6,

∴AD=6;

(2)如图2,连接BE,

在Rt△ACB中,∠ABC=∠CED=30°,

tan30°==,

∵∠ACB=∠DCE=90°,

∴∠BCE=∠ACD,

∴△ACD∽△BCE,

∴,

∵∠BAC=60°,∠CAE=30°,

∴∠BAE=90°,

在Rt△ABC中,AC=3,∠ABC=30°,

∴AB=6,

∵AE=8,

∴BE=10,

∴AD=.

28.(9分)如图1,点P为∠MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2,我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.

(1)如图2,已知∠MON=90°,点P为∠MON的平分线上一点,以点P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,且∠APB=135°.求证:∠APB是∠MON的智慧角;

(2)如图1,已知∠MON=α,若∠APB是∠MON的智慧角,求∠APB的度数(用含α的式子表示);

(3)如图3,C是反比例函数y=(x>0)图象上的一个动点,过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A,B两点,且满足BC=2CA,请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.

【解答】(1)证明:∵∠MON=90°,P为∠MON的平分线上一点,

∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°,

∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°,

∴∠OAP+∠APO=135°,

∵∠APB=135°,

∴∠APO+∠OPB=135°,

∴∠OAP=∠OPB,

∴△AOP∽△POB,

∴,

∴OP2=OA•OB,

∴∠APB是∠MON的智慧角;

(2)解:∵∠APB是∠MON的智慧角,

∴OA•OB=OP2,

∴,

∵P为∠MON的平分线上一点,

∴∠AOP=∠BOP=α,

∴△AOP∽△POB,

∴∠OAP=∠OPB,

∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°﹣α,

即∠APB=180°﹣α;

(3)设点C(a,b),则ab=4,

过点C作CH⊥OA于H;分两种情况:

①当点B在y轴正半轴上时;当点A在x轴的负半轴上时,如图1所示:

BC=2CA不可能;

当点A在x轴的正半轴上时,如图2所示:

∵BC=2CA,

∴,

∵CH∥OB,

∴△ACH∽△ABO,

∴OB=3b,OA=,

∴OA•OB=•3b==18,

∵∠APB是∠AOB的智慧角,

∴OP===3,

∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,

∴点P的坐标为:(3,3);

②当点B在y轴的负半轴上时,如图3所示:

∵BC=2CA,

∴AB=CA,

在△ACH和△ABO中,∠AHC=∠AOB,∠BAO=∠CAH,CA=AB,

∴△ACH≌△ABO(AAS),

∴OB=CH=b,OA=AH=a,

∴OA•OB=a•b=2,

∵∠APB是∠AOB的智慧角,

∴OP==,

∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,

∴点P的坐标为:(1,﹣1);

综上所述:点P的坐标为:(3,3)或(1,﹣1).

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山东省济南市历下区九年级上期中数学试卷(含答案解析)

山东省济南市历下区九年级(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(3分)如图,一个空心圆柱体,其主视图正确的是()A.B.C.D.2.(3分)已知反比例函数y=的图象经过点(2,3),那么下列四个点中,也在这个函数图象上的是()A.(﹣6,1)B.(1,6)C.(2,﹣3)D.(3,﹣2)3.(3分)已知三角形的面积一定,则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是()A.B.C.D.4.(3分)如
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