高中数学人教A版 必修一 第三章 函数的概念与性质 训练题 (10)-200711(解析版)

一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）

1.已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是

A.  B.  C.  D. 

2.若函数的最大值为，则实数a的取值范围为

A. --， B.  C.  D. 

3.下列函数中，值域为且为偶函数的是

A.  B.  C.  D. 

4.已知函数，则

A. 是奇函数，且在定义域上是增函数

B. 是奇函数，且在定义域上是减函数

C. 是偶函数，且在区间上是增函数

D. 是偶函数，且在区间上是减函数

5.函数在的图象大致为

A. 

B. 

C. 

D. 

6.函数的大致图象是

A. 

B. 

C. 

D. 

7.已知，函数为幂函数且过点，则函数的图象大致为

A.  B. 

C.  D. 

8.函数的单调增区间是

A.  B. 

C.  D. 

9.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则函数的值域是

A.  B.  C.  D. 0，

10.已知定义在R上的偶函数函数的导函数为满足，且，则关于x的不等式的解集为    

A.  B.  C.  D. 

二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）

11.函数的最小值为______．

12.设函数，若，则______；若的值域为R，则实数a的取值范围是______．

13.已知函数，给出下列三个结论：

当时，函数的单调递减区间为；

若函数无最小值，则a的取值范围为；

若且，则，使得函数恰有3个零点，，，且．

其中，所有正确结论的序号是______．

14.天干地支纪年法简称干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：

15.函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数t的取值范围是______．

16.已知函数，则的值是______．

17.函数，若，则的值为________．

三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）

18.设，利用求函数的最大小值的方法证明不等式：提示：令

19.求多项式当时的值．

20.已知函数．

Ⅰ求函数的最值；

Ⅱ当时，，求实数a的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：解：由函数的图象可知，，且，则a可取，

则此时，其图象相当于函数的图象向右平移个单位，选项D符合．

故选：D．

根据题意，可求得，a可取，则，观察选项即可得出答案．

本题考查三角函数的图象及性质，考查函数图象的变换，考查数形结合思想，属于基础题．

2.答案：C

解析：解：当时，，

当且仅当时，取得最大值，

由题意可得时，的值域包含于，

因为，当时，，在递增，，不成立；

当时，时，，在递减，时，，在递增，

可得在处取得极大值，且为最大值，

则，解得；

若，，在递减，可得，即成立．

综上可得，a的范围是．

故选：C．

由基本不等式求得时，的值域，由题意可得时，的值域应该包含在时的值域内，讨论，，时，的值域，注意运用导数判断单调性和极值、最值．

本题考查分段函数的最值，注意运用导数判断单调性、极值和最值，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．

3.答案：A

解析：解：A：为偶函数，且值域，符合题意；

B：为非奇非偶函数，不符合题意；

C：的值域，不符合题意；

D：为非奇非偶函数，且值域R，不符合题意．

故选：A．

由已知结合函数奇偶性分别进行检验，然后求出函数的值域进行检验，即可求解．

本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．

4.答案：B

解析：解：根据题意，函数，则有，解可得，即的定义域为；

设任意，，则函数为奇函数；

，其导数，

在区间上，，则为上的减函数；

故选：B．

根据题意，先求出函数的定义域，进而分析可得，即可得函数为奇函数，求出函数的导数，分析可得为上的减函数；即可得答案．

本题考查函数奇偶性与单调性的判断，涉及对数的运算性质，属于基础题．

5.答案：C

解析：解：根据题意，，

当时，，则，又由，则此时，

当时，，则，又由，则此时，

当时，，则，又由，则此时，

当时，，则，又由，则此时，

故；

故选：C．

根据题意，将的解析式写成分段函数的形式，据此分析选项可得答案．

本题考查函数的图象分析，注意将函数的解析式写成分段函数的形式，属于基础题．

6.答案：A

解析：解：，所以函数为奇函数，排除选项B和D；

又，所以选项C错误，A正确．

故选：A．

先计算，并与比较，可得出函数的奇偶性，从而排除选项B和D，再计算，从而得出正确选项．

本题考查函数的图象与性质，一般从函数的奇偶性、单调性和特殊点处的函数值等方面着手思考问题，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．

7.答案：A

解析：【分析】

本题考查指数函数，幂函数，函数的奇偶性，函数的图象，属中档题，利用奇函数的定义判定的奇偶性，根据幂函数的定义求得幂函数的解析式，的奇偶性，排除BD，在根据x趋近于0时的极限情况做出最终选择．

【解答】

解：由已知，，故为奇函数，函数为奇函数，则函数为偶函数，排除B，又时，，

故选A．

8.答案：C

解析：【分析】

本题考查复合函数的单调性以及单调区间的求法，属于中档题．

求解三角不等式可得原函数的定义域，再由复合函数的单调性求解原函数的增区间．

【解答】

解：，

，

，

函数的定义域为，

为单调递增函数，

所以的单调增区间为．

故选C．

9.答案：C

解析：【分析】

本题考查了新定义的理解和应用，训练了分离常数法求函数的值域，属于中档题．

分离常数法化简，根据新定义即可求得函数的值域．

【解答】

解：

，

，

，

，

当时，，

当时，，

函数的值域是．

故选：C．

10.答案：B

解析：【分析】

本题考查了构造新函数，利用导数处理抽象函数问题，属于中档题．

由偶函数的导函数是奇函数，即为奇函数，由题意额的，再令，可得是单调增函数，而不等式，利用单调性即可得x的取值．

【解答】

解：因为偶函数的导函数是奇函数，即为奇函数，

因为即，

所以，

令，则，

所以在R上单调递增，

不等式，即，即，

所以，即．

故选B．

11.答案：5

解析：解：因为，当，

即时取等号，则的最小值为5，

故答案为：5．

根据绝对值不等式的性质求出的最小值即可．

本题考查了绝对值不等式的性质，是一道基础题．

12.答案：9  

解析：解：若，则，

当时，，

当时，由函数的值域为R可知，，此时，

结合分段函数的性质可知，即．

故答案为：9，

结合分段函数解析式即可直接求解，

分别结合指数函数与一次函数的性质分别求出每段函数的值域，然后结合函数值域的性质可求．

本题主要考查了分段函数的性质的简单应用，属于基础试题．

13.答案：

解析：解：对于，当时，函数在单调递减，在上单调递减，但是函数在不单调递减．因此错误；

对于，因为，当时，，，此时函数的最小值为0；

当时，在上单调递增，没有最小值，且是，；

当时，在上单调递减，最小值为1，所以函数的最小值为0；

若函数无最小值，则a的取值范围为，正确；

对于，令，即当时，；当时，；

不妨设，

若函数有三个零点，则，，，

则．

令，可得．

时，，则三个零点．

时，，则三个零点．

综上可得：正确．

故答案为：

对于，当时，函数在单调递减，在上单调递减，作出函数图象即可判断出结论

对于，对a分类讨论，利用一次函数的单调性及其对数函数的单调性即可判断出正误；

对于，令，即当时，；当时，；不妨设，若函数有三个零点，可得，，，进而判断出结论．

本题主要考查分段函数的性质、数形结合方法、方程与函数图象的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14.答案：己卯  60

解析：解：根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，

地支有十二，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥；

其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、、癸未，甲申、乙酉、丙戌、、癸巳，，

若2049年是己巳年，则2059年是己卯年；

天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，

则天干地支共有60种组合，即使用干支纪年法可以得到60种不同的干支纪年；

故答案为：己卯，60．

根据题意，分析干支纪年法的规律，可得天干地支的对应顺序，据此可得2059年是己卯年，又由天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，据此可得天干地支共有60种组合，即可得答案．

本题考查合情推理的应用，关键是掌握“干支纪年法”的规律，属于基础题．

15.答案：

解析：【分析】

本题考查函数的零点问题，考查推理能力和计算能力，属于简单题．

作出函数图像，找到临界情况，由图像即可求解．

【解答】

解：作出的图像：

因为函数恰有两个不同的零点，

则与有两个不同的交点．

又因为直线恒过原点，

当时，显然符合题意；

当与相切时，设切点为，

因为，则，解得，

此时．

当与直线平行时，．

由图像可知，实数t的取值范围是，

故答案为．

16.答案：

解析：【分析】

本题考查分段函数的函数值问题，要注意定义域，由内向外计算，属于基础题．

逐层计算，先计算，再计算的值．

【解答】

解：因为，所以，又，所以．

故答案为．

17.答案：0

解析：【分析】

本题考查函数的奇偶性及函数的求值，属于基础题．

先由  求出的值，然后把它带人的式子中即可．

【解答】

解：，

，

；

故答案为0．

18.答案：证明：令，

则，

令可知或，

故在区间上，即函数单调递减，

在区间上，即函数单调递增，

于是函数在区间上的最小值，

故当时，即，．

解析：通过令，并对其求导判断函数的单调性，进而求出最小值，整理即得结论．

本题考查函数最值及其几何意义，考查利用导数判断函数的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．

19.答案：解： 

，

所以时，．

所求多项式时的值为：．

解析：通过已知多项式，利用二项式定理，代入x的值即可求解．

本题考查二项式定理的应用，考查计算能力．

20.答案：解：Ⅰ易知定义域为R，且，得，

当时，在上递减，在上递增．

有最小值，

同理，当时，有最大值．

Ⅱ当，有，，

当时，．

设，则，

由和，得，舍

在上递增，在上递减，

，

．

解析：Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可；

Ⅱ时，显然成立，时，分离参数a，得到，求出的最大值，从而求出a的范围．

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．