高考理科数学试题——2006年内蒙卷

2006年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

本试卷分第卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3

  至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

    3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么    球的表面积公式

    P (A+B) =P (A) +P (B)                             

如果事件A、B相互，那么    其中R表示球的半径

    P (A·B) = P (A)·P (B)    球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么          

n次重复试验中恰好发生k次的概率    其中R表示球的半径

    本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题

（1）已知集合，则

（A）φ        （B）

（C）        （D）

（2）函数y = sin 2x cos 2x 的最小正周期是

    （A）2π    （B）4π    （C）    （D）

（3）

    （A）    （B）    （C）i    （D）－i

（4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为

    （A）    （B）    （C）    （D）

（5）已知△ABC的顶点B、C在椭圆，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是

    （A）    （B）6    （C）    （D）12

（6）函数的反函数为

    （A）    （B）

    （C）    （D）

（7）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β

所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂

线，垂足为，则AB： =

    （A）2：1    （B）3：1

    （C）3：2    （D）4：3

（8）函数的图像与函数的图像关于原点对称，则的表达式为

    （A）    （B）

    （C）    （D）

（9）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为

    （A）    （B）    （C）    （D）

（10）若

    （A）        （B）3    

    （C）        （D）

（11）设是等差数列的前n项和，若，则    

    （A）    （B）    （C）    （D）

（12）函数的最小值为

    （A）190    （B）171    （C）90    （D）45

绝密★启用前

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理科数学(必修+选修II)

第Ⅱ卷

注意事项：

    1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考

    证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

    2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域

    内作答，在试题卷上作答无效。

    3。第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡上。

（13）在的展开式中常数项是             。（用数字作答）

（14）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为             。

（15）过点（1，）的直线l将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=             。

（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2 500，3 000）（元）月收入段应抽出     人。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

      已知向量

     （Ⅰ）若求；

（Ⅱ）求的最大值。

（18）（本小题满分12分）

某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品.（Ⅰ）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；

（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率.

（19）（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点.

（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；

（Ⅱ）设AA1=AC=求二面角A1－AD－C1的大小.

（20）（本小题满分12分）

设函数若对所有的≥0，都有≥ax成立.求实数a的取

值范围.

（21）（本小题满分14分）

已知抛物线的焦点为是抛物线上的两动点，且

过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.

（Ⅰ）证明为定值；

（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值.

（22）（本小题满分12分）

设数列的前n项和为，且方程

有一根为

（Ⅰ）求

（Ⅱ）求的通项公式.

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理科数学试题（必修+选修II）参及评分参考

评分说明：

    1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.

    2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

    3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

    4．只给整数分数一选择题和填空题不给中间分.

一．选择题

   （1）D  （2）D  （3）A   （4）A   （5）C    （6）B  

   （7）A  （8）D  （9）A   （10）C  （11）A   （12）C

二．填空题

   （13）45   （14）  （5）    （6）25

三、解答题

（17）解：

     （I）若，则  ………………2分

          由此得，

          所以；       ………………4分

（II）由得

     ………………10分

当取得最大值，即当时，的最大值为.

………12分

（18）解：

（I）ξ可能的取值为0，1，2，3.

                         …………8分

    ξ的分布列为

（19）解法一：

（I）设O为AC中点，连结EO，BO，则EO    C1C，又C1C  B1B. 所以EO   DB，

     EOBD为平行四边形，ED∥OB.  …………2分

     ∵AB=BC，∴BO⊥AC，

     又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO面ABD，故BC⊥平面ACC1A1，

     ∴ED⊥平面ACC1A1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.……6分

（II）连结A1E. 由AA1=AG=AB可知，A1ACC1为正方形，

     ∴A1E⊥AC1. 又由ED⊥平面A1ACC1和ED平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，

         ∴A1E⊥平面ADC1. 作EF⊥AD，垂足为F，连结A1F，则A1F⊥AD，

         ∠A1FE为二面角A1—AD—C1的平面角.

         不妨设AA1=2，

         则AC=2，AB=. ED=OB=1，EF=，tan∠A1FE=，

         ∴∠A1FE=60°.

         所以二面角A1—AD—C1为60°.………………12分

解法二：

   （I）如图，建立直角坐标系O—xyz，其中原点O为AC的中点.

        设

        则………3分

        又        

        所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线.  …………6分

   （II）不妨设A（1，0，0）， 

         则B（0，1，0），C（－1，0，0），A1（1，0，2），

         又

         ，

         .                   ………………10分

         ，即得的夹角为60°.

         所以二面角A1—AD—C1为60°.         …………12分

（20）解法一：

    令，

    对函数求导数：，

    令解得          …………5分

   （i）当时，对所有，上是增函数. 又

        所以对，有，

        即当时，对于所有，都有.

   （ii）当，

        又，

    即，

所以，当

综上，的取值范围是                       …………12分

解法二：令，

于是不等式成立即为成立. …………3分

对求导数得，

令，解得                 …………6分

当为减函数.        

当…………9分

要对所有都有充要条件为

由此得，即的取值范围是          …………12分

（21）解：

（I）由已条件，得F（0，1），.

     设

即得

①

②

将①式两边平方并把代入得，  ③

解②、③式得，且有

抛物线方程为

求导得

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

即

解出两条切线的交点M的坐标为  …………4分

所以

              =

              =0

所以为定值，真值为0.           ………………7分

（II）由（I）知在△ABM中，FM⊥AB，因而

     因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=－1的距离，所以

       |AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=

     于是  ，………………11分

     由  ，

     且当时，S取得最小值4.         ………………14分

（22）解：

（I）当n=1时， 

    有一根为，

    解得                        …………2分

    当n=2时，

    有一根为，

    解得                      …………5分

   （II）由题设，

        即

        当   ①

        由（I）知，

，

        由①可得

        由此猜想.              …………8分

        下面用数学归纳法证明这个结论.

（i）n=1时已知结论成立.

（ii）假设n=k时结论成立，即，

     当时，由①得，

     即，

故时结论也成立.

综上，由（i）、（ii）可知对所有正整数n都成立.    …………10分

于是当时，，

又时，，所以的通项公式为

…………12分