离散数学模拟习题与解析 (12)

无左逆元的元素是                                。

4、在群坯、半群、独异点、群中                        满足消去律。

5、设是由元素生成的循环群，且|G|=n，

则G =                                                          。

6、拉格朗日定理说明若是群的子群，则可建立G中的等价关系

R=                                                    。

若|G|=n, |H|=m 则m和n关系为                                        。

7、设f是由群到群<,*>的同态映射，是中的幺元，

则f的同态核Ker(f )=                                                。

二、选择 20% （每小题 2分）

1、设f是由群到群<,*>的同态映射，则ker (f)是（           ）。

A、的子群； B、G的子群 ； C、包含；  D、包含G。

2、设 是环，，a·b的关于“+”的逆元是（          ）。

A、(-a)·(-b)； B、(-a)·b； C、a·(-b)； D、a·b 。

3、设 是一代数系统且是Abel群，如果还满足（             ）是域。

A、是独异点且·对+可分配；

B、是独异点，无零因子且·对+可分配；

C、是Abel群且无零因子 ；

D、是Abel且·对+可分配。

4、设是一代数系统，+、·为普通加法和乘法运算，当A为（         ）时，是域。

A、  ；B、；

C、  ；    D、。

5、设是一个格，由格诱导的代数系统为，则（          ）成立。

A、；B、；

C、  ；

D、。

6、设是偏序集，“”定义为：，则当A=（       ）时，是格。

A、{1,2,3,4,6,12}； B、{1,2,3,4,6,8,12,14}； C、{1,2,3,…，12}； D、{1,2,3,4}。

7、设是由格诱导的代数系统，若对，当时，

有（                             ）是模格。

A、；   B、；

C、；   D、。

8、在（          ）中，补元是唯一的。

A、有界格； B、有补格；  C、分配格；  D、有补分配格。

9、在布尔代数中，当且仅当（           ）。

A、；  B、；  C、；  D、。

10、设是布尔代数，f是从An到A的函数，则（           ） 。

A、f是布尔代数； B、f能表示成析取范式，也能表示成合取范式；

C、若A={0，1}，则f一定能表示成析取范式，也能表示成合取范式；

D、若f是布尔函数，它一定能表示成析（合）取范式。

三、8%

设A={1，2}，A上所有函数的集合记为AA,是函数的复合运算，试给出AA上运算的运算表，并指出AA中是否有幺元，哪些元素有逆元。

四、证明42%

1、设是一个代数系统，*是R上二元运算，，则0是幺元且是独异点。（8分）

2、设是n阶循环群，G=(a)，设b=ak， 则 元素b的阶为，这里d=GCD ( n , k )。（10分）

3、证明如果f是由到的同态映射，g是由到的同态映射，则是由到的同态映射。（6分）

4、设是一个含幺环，且任意都有a·a=a，若|A|≥3则不可能是整环。（8分）

5、K={ 1, 2 , 5 , 10 , 11 , 22 , 55 ,110 }是110的所有整因子的集合，证明：具有全上界110和全下界1的代数系统< K , LCM , GCD , ˊ >是一个布尔代数。（）。（10分）

五、布尔表达式 10%

设是布尔代数上的一个布尔表达式，试写出其析取范式和合取范式。（10分）

一、填空 20%（每空2分）

1、LCM（x,y）；2、乘法；3、α、δ，γ、ζ；4、群；5、；6、、；7、

二、选择 20%（每小题 2分）

解：因为|A|=2，所以A上共有22=4个不同函数。令，其中：

四、证明 42%

1、（8分）

证明：

[幺]   ， 

即 

[乘]，由于+，·在R封闭。所以即*在R上封闭。

[群] 

因此 ， 〈R，*〉是独异点。

2、（10分）

证明：（1）

（2）若b的阶不为n1，则b阶m由（1）、（2）知，元素b的阶为

3、（6分）

所以是由到的同态映射。

4、（8分）

证明：反证法：如果是整环，且|A|≥3，则且

即有且，这与整环中无零因子矛盾。

所以不可能是整环。

5、（10分）

（1）代数系统 是由格诱导的，其Hasst图为

Hass图中不存在与五元素格和同构的子格。

所以格是分配格。

（2）

即任元素都有补元，所以有补格。

是布尔代数。

五、布尔表达式 10%

解：函数表为：

合取范式：