数值分析试题及答案汇总

一、填空题（2 0×2′）

1.设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有   2        位有效数字。

2.若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]= 1            ， f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]=           0       。

3.设，‖A‖∞＝___5   ____，‖X‖∞＝__   3_____，

‖AX‖∞≤_15_ __。

4.非线性方程f(x)=0的迭代函数x=?(x)在有解区间满足 |?’(x)| <1    ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。

5.区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到  2  阶的连续导数。

6.当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的   前插公式   ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的      后插公式     ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的      拉格朗日插值公式    。

7.拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是：   1          ；所以当系数ai(x)满足         ai(x)>1                  ，计算时不会放大f(xi)的误差。

8.要使的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取   4     位有效数字。

9.对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是     ?(B)<1                     。

10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是      5      。 

12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差ri＝ (bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn)/aii                        ，(i=0,1,…,n)。

13.在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为  f(x0)f”(x0)>0                   。

14.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、   选取初值           、迭代计算。

二、判断题（10×1′）

1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。(  × )

2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。           (  ?  )

3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式

则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。               (  × )

4、样条插值一种分段插值。                                            (  ?  )

5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。   (  ?  )

6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。                                                   　　(  ?  )

7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。        (  ×  )

8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。                                              (   × )

9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。                                                (   ?  )

10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。                           (  ×  )

三、计算题（5×10′）

1、用列主元高斯消元法解线性方程组。

解答：

（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：

L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化为：

（-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：

L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：

回代得：

2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。

做差商表

R4(x)=f(5)(?)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)

3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。

解答：

交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：

雅克比迭代公式：

《计算机数学基础(2)》数值分析试题  

 一、单项选择题(每小题3分，共15分)

 已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x＝0.0a1a2…an×10s(a1?0)的绝对误差?x*－x??(．

 ×10 s－1－t ×10 s－t ×10s＋1－t ×10 s＋t    

2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为(．    

(A) ，   

3. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)=(      ) 

 (C)  

 等距二点的求导公式是(       )

5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是

那么yp,yc分别为(    ．

(A)  

(C)  

二、填空题(每小题3分，共15分)

 设近似值x1,x2满足?(x1)=0.05，?(x2)=0.005，那么?(x1x2)=                   ．

 三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,…,n，且满足S(x)在每个子区间[xk,xk+1]上是                ．

 牛顿－科茨求积公式，则＝           .

9. 解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数?(x)满足在有根区间内         ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．

10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是

预报值：，校正值：yk+1=                 ．

三、计算题(每小题15分，共60分)

 用简单迭代法求线性方程组

的X(3)．取初始值(0,0,0)T，计算过程保留4位小数．

 已知函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差f(4，1，3)．

 将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分，计算过程保留4位小数．

14. 用牛顿法求的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保留4位小数．

 四、证明题(本题10分)

 证明求常微分方程初值问题

在等距节点a=x0  y(xk+1)?yk+1=yk+[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)]

其中h=xk+1－xk(k=0,1,2,…n－1)

  《计算机数学基础(2)》数值分析试题答案     

 一、单项选择题(每小题3分，共15分)

    1. A   2. B   3. A   4. B   5. D  

二、填空题(每小题3分，共15分)

 ?x2?+0.005?x1? 次多项式   

 b－a ???(x)??r三、计算题(每小题15分，共60分)

 写出迭代格式

 X(0)=(0,0,0)T.

 得到X(1)＝(2.5，3，3)T    

 得到X(2)=(2.875，2.363 7，1.000 0)T   

 得到X(3)=(3.136 4，2.045 6，0.971 6)T.  

  计算均差列给出．

f(4, 1, 3)=6        

13. f(x)=,h=．分点x0=1.0，x1=1.25，x2=1.5，x3=1.75，x4=2.0，x5=2.25，x6=2.50，x7=2.75，x8=3.0. 

 函数值：f(1.0)=1.414 2，f(1.25)=1.600 8，f(1.5)=1.802 8，f(1.75)=2.015 6，f(2.0)=2.236 1，f(2.25)=2.462 2，f(2.50)=2.692 6，f(2.75)=2.926 2，f(3.0)=3.162 3．

 (9分)

     ×[1.414 2+3.162 3+2×(1.600 8+1.802 8+2.015 6

+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)]

=0.125×(4.576 5+2×15.736 3)=4.506 1 

14.  设x为所求，即求x2－115=0的正根．f(x)=x2－115．

 因为f?(x)=2x，f?(x)=2，f(10)f?(10)=(100－115)×2<0，f(11)f?(11)=(121－115)×2>0

 取x0=11．

有迭代公式

  xk+1=xk－=(k=0,1,2,…)

  x1=＝10.727 3

  x2=＝10.723 8

  x3=＝10.723 8

  x*?10.723 8

 四、证明题(本题10分)

 在子区间[xk+1,xk]上，对微分方程两边关于x积分，得

  y(xk+1)－y(xk)=  

用求积梯形公式，有

  y(xk+1)－y(xk)= 

将y(xk),y(xk+1)用yk,yk+1替代，得到

  y(xk+1)?yk+1=yk+[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)](k=0,1,2,…,n－1) 

数值分析期末试题

一、填空题（分）

（1)设 ，则______13_______。

（2)对于方程组 ，Jacobi迭代法的迭代矩阵是。

（3)的相对误差约是的相对误差的倍。

（4）求方程根的牛顿迭代公式是。

（5）设，则差商   1   。

（6）设矩阵G的特征值是，则矩阵G的谱半径。

（7）已知，则条件数   9   

（8）为了提高数值计算精度，当正数充分大时,应将改写为。

（9）个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为次。

（10）拟合三点，，的水平直线是。

二、（10分）证明：方程组使用Jacobi迭代法求解不收敛性。

证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为

的特征多项式为

的特征值为，，，故＞1，因而迭代法不收敛性。

三、（10分）定义内积

试在中寻求对于的最佳平方逼近元素。

解：，，

，，，，。

法方程

解得，。所求的最佳平方逼近元素为

                ，

四、（10分）给定数据表

解:

， 

法方程

的解为，，，

得到三次多项式

误差平方和为

五. (10分) 依据如下函数值表

解:先计算插值基函数

所求Lagrange插值多项式为

从而。

据误差公式及假设得误差估计：

六. (10分) 用矩阵的直接三角分解法解方程组

解 设

由矩阵乘法可求出和

解下三角方程组

有，，，。再解上三角方程组

得原方程组的解为，，，。              

七. (10分) 试用Simpson公式计算积分

的近似值, 并估计截断误差。

解：

截断误差为

八. (10分) 用Newton法求方程在区间内的根, 要求。

解：此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。设

则 ， 

Newton法迭代公式为

， 

取，得。                   

九. (10分) 给定数表

其中 。

解：先建立满足条件

， 

的三次插值多项式。采用Newton插值多项式

+

再设  ，由

得

解得，。                          

故所求的插值多项式