第七讲 绝对值与数轴

【本讲概述】

绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：

l．去绝对值的符号法则： 

2．绝对值基本性质

①非负性：；    ②；         ③；

④；    ⑤；    ⑥．

3．绝对值的几何意义

    从数轴上看，表示数的点到原点的距离(长度，非负)；表示数、数的两点间的距离．

数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想——数形结合思想．

    利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在：

    1．运用数轴直观地表示有理数；

    2．运用数轴形象地解释相反数；

    3．运用数轴准确地比较有理数的大小；

4．运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题．

【经典例题】

例1．填空：

（1）若有理数、满足，则        ．

（2）已知，，且，那么=       ．

（3）已知，，，且，那么＝       ．

                                                       (北京市“迎春杯”竞赛题)

（4）已知是有理数，，，且，那么              ．                          (“希望杯”邀请赛试题)

（5）已知，，那么_________．（北京市“迎春杯”竞赛题）

（6）非零整数、满足，所有这样的整数组共有______组．

例2、如果是非零有理数，且，那么的所有可能的值为(    )．

  A．0        B． 1或     C．2或    D．0或         (山东省竞赛题)

例3、设，，则的值是（    ）．

A．       B．1      C．3或        D．或1

例4、已知互为相反数，试求代数式：的值．

                                                            (“五羊杯”竞赛题)

例5、化简

(1)；                          

(2)．

例6、有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简│a+b│-│c-b│的结果为(   )

A.a+c     B.-a-2b+c     C.a+2b-c      D.-a-c

例7、(1)数轴上有、两点，如果点对应的数是，且、两点的距离为3，那么点对应的数是            ．                                 (江苏省竞赛题)

例8、阅读下面材料并回答问题．

 (1)阅读下面材料：

点、在数轴上分别表示实数a、b，、两点之间的距离表示为．

当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1， 

当、两点都不在原点时，

    ①如图2，点、都在原点的右边；

②如图3，点、都在原点的左边，；

③如图4，点、在原点的两边，；

综上，数轴上、两点之间的距离．

 (2)回答下列问题：

    ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是       ，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是       ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是       ；

    ②数轴上表示和－1的两点和之间的距离是        ,如果那么为________；

    ③当代数式取最小值时，相应的的取值范围是    ．(南京市中考题)

例9、已知为有理数，那么代数式的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．

例10、试求｜x-1｜十｜x－2｜+｜x－3｜+…｜x－1997｜的最小值．      (天津市竞赛题)

例11、试求│x-2│+│x-4│+…+│x-6│+│x-2000│的最小值.

例12、已知，求的最大值和最小值．                                            （“希望杯”邀请赛试题）

例13、 (湖北省荆州市竞赛题)某城镇沿环形路上依次排列有五所小学:A1、A2、A3、A4、A5,它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台、14台,为使各校的电脑数相同,允许一些小学向相邻小学调出电脑,问怎样调配才能使调出的电脑总台数最少?并求出电脑的最少总台数.