高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明(第2课时)课堂探究新人教A版选修1-2讲义

课堂探究新人教A版选修1-2

探究一用反证法证明否定式命题

对于“否定”型命题，从正面证明需要证明的情况太多，不但过程烦琐而且容易遗漏，故可用反证法，一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”“不存在”等词语时，宜采用反证法证明．

【典型例题1】已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.

思路分析：本题要证的结论是以否定形式给出的，并且从正面入手不太好处理，因此使用反证法证明．

证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.

∵ad－bc＝1，∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝ad－bc.

∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0.

∴2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2cd＋2bc－2ad＝0.

∴(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＝0.

∴a＋b＝0，b＋c＝0，c＋d＝0，a－d＝0.

∴a＝b＝c＝d＝0，∴ad－bc＝0，这与ad－bc＝1矛盾，

从而假设不成立，原命题成立，即a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1成立．

规律小结反证法的具体步骤是：

(1)提出假设：作出与求证的结论相反的假设，否定结论；

(2)推出矛盾：由假设出发，推出与公理、定义、已知定理或题设相矛盾的结果；

(3)肯定结论：出现矛盾是因为“否定结论”所致，由此得出原命题成立．

探究二用反证法证明“至多”“至少”型命题

“至多”“至少”问题，直接证明比较复杂，可用反证法证明，体现了“正难则反”的思想方法．

【典型例题2】已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．思路分析：

假设三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点→演绎推理，利用Δ≤0得出矛盾→原命题得证

证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，

得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.

同向不等式求和得4b 2＋4c 2＋4a 2

－4ac －4ab －4bc ≤0， ∴2a 2

＋2b 2

＋2c 2

－2ab －2bc －2ac ≤0. ∴(a －b )2

＋(b －c )2

＋(a －c )2

≤0. ∴a ＝b ＝c .

这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证． 温馨提示 反证法常用的否定形式如下表所示：

证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．

【典型例题3】证明方程2x

＝3有且只有一个根． 证明：∵2x

＝3，∴x ＝log 23.这说明方程有一个根． 下面用反证法证明方程2x

＝3的根是唯一的． 假设方程2x

＝3有两个根b 1，b 2(b 1≠b 2)， 则12b

＝3,22b

＝3.两式相除，得12

21b b =－.

如果b 1－b 2＞0，则122b b －＞1，这与1

2

21b b =－相矛盾； 如果b 1－b 2＜0，则1

2

2b b －＜1，这也与1

2

21b b =－相矛盾．

因此b 1－b 2＝0，则b 1＝b 2，这就同b 1≠b 2相矛盾． 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾． 故2x

＝3有且只有一个根．

注意 “有且只有”表示“存在且唯一”．因此，在证明此类问题时要分别从存在性和唯一性两方面来考虑，而证明唯一性时，通常使用反证法．

探究四 易错辨析

易错点 漏用假设的结论致错

【典型例题4】已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)＜0，用反证法证明：关于x 的方程x 2

－2x ＋5－p 2

＝0无实根．

错解：假设方程x 2

－2x ＋5－p 2

＝0有实根． 由已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)＜0， 解得－2＜p ＜－1

2

.

又关于x 的方程x 2

－2x ＋5－p 2

＝0的根的判别式Δ＝4(p 2

－4)， ∵－2＜p ＜－1

2

，∴Δ＜0.

即关于x 的方程x 2

－2x ＋5－p 2

＝0无实根．

错因分析：反证法证明问题的步骤为假设结论不成立，经过推理得出矛盾，否定假设，肯定结论，而此解法没有用到假设的结论，不是反证法．

正解：假设方程x 2

－2x ＋5－p 2

＝0有实根， 则该方程的判别式Δ＝4－4(5－p 2

)≥0，

解之得p ≥2或p ≤－2，这与已知条件实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)＜0矛盾， ∴假设不成立，

故关于x 的方程x 2

－2x ＋5－p 2

＝0无实根．