株洲市二中2012年高中新生综合素质测试数学试卷

数学试卷

本卷共21小题，时量120分钟，满分150分，试卷总页4页

一、选择题（本大题满分40分，每小题5分，在各题的四个选项中，只有一个是正确的）

1．下列四个结果中，比小的数是 

 A、                 B、            C、            D、

2．下列各式计算正确的是                    

A．3＋2＝5                 B．2(a2)3＝6a6  

C． 10a6÷5a2＝2a4                 D．(a－2)2＝a2－4

3、某中学数学兴趣小组12名成员的年龄情况如下：

则这个小组成员年龄的平均数和中位数分别是 

 A、15，16         B、13，15         C、13，14         D、14，14

4．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是 

 A、32°              B、58°        C、68°     D、60°

第5题图

第4题图

5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD， 对角线AC⊥BC，∠B＝60º，BC＝2cm，则梯形ABCD的面积为 

    A． cm2    B．6 cm2    C． cm2    D．12 cm2

6．为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”，张村和王村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造．下面能反映该工程尚未改造道路里程y(公里)与时间x(天)的函数关系的大致图像是 

A．                       B．              C．               D． 

7. 如图为由一些边长为1cm正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外面部分（不包括与桌面接触的部分）的表面积是（       ）  cm2。

      正视图        左视图        俯视图

A． 11         B．15           C．18           D．22

8、如图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，，下列结论：

①；         ②；

③；   ④的解集是：．

其中正确的有 

A．1个            B．2个            C．3个            D．4个

 二、填空题（本题共7小题，每小题5分，共35分）

9．分解因式： 

10、图象经过点的反比例函数的表达式为____________． 

11．如图，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD= 4，BD=3，则sinA=__________________. 

第11题图

第12题图

12．在平行四边形的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连结EF交对角线AC于G，则的值是              ．   

13．有三张卡片（背面完全相同）分别写在，，，把它们背面朝上洗匀后，小军从中抽取一张，记下这个数后放回洗匀，小明又从中抽出一张．李刚为他们俩设计了一个游戏规则：若两人抽取的卡片上两数之积是有理数，则小军获胜，否则小明获胜． 则小军获胜的概率是_____________．

14、如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的大小为______________________。      

第15题图

第14题图

15、如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则         ；＝         .  

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16．（本题满分12分）（1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.

（2）先化简，再求值：已知，求的值． 

17、（本题满分12分）株洲市市区的公共自行车系统自建立以来，因其绿色环保、方便快捷，受到广大市民热烈欢迎，已经成为株洲市的一张名片。某班同学对市民使用公共自行车情况做过调查，结果为三个层级，A级：天天使用公共自行车；B级：一周使用3次以上（包括3次）；C级：一周使用3次以下，并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）此次抽样调查中，共调查了        名市民；

（2）将图①补充完整，并求出图②中C级所占的圆心角的度数；

（3）根据抽样调查结果，请你估计我市区近1200000名市民中大约有多少人经常使用公共自行车（包括A级和B级）？

18．（本题满分12分）已知关于ｘ的方程x2-(2k+1)x+4(k-)=0.

⑴ 求证:无论k取何值,这个方程总有实数根;⑵ 若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根,求三角形ABC的周长.              

19、（本题满分13分）为解决目前农民卖菜难的问题，一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜180吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如图所示：

已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行.受季节等条件的，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完.

⑴如果要求20天刚好加工完180吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？

⑵如果先进行粗加工，然后进行精加工.

①试求出销售总利润W元与精加工的蔬菜吨数m之间的函数关系式；

②若要求在不超过18天的时间内，将180吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多可获得多少利润？此时如何分配加工时间？

20、（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.

21．（本题满分13分）已知二次函数的图象与轴交于点(，0)、点，

与轴交于点．（1）求点坐标；

（2）点从点出发以每秒1个单位的速度沿线段向点运动，到达点后停止运动，过点作

交于点，将四边形沿翻折，得到四边形，设点的运动时间为．①

当为何值时，点恰好落在二次函数图象的对称轴上；

②设四边形落在第一象限内的图形面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值．

初中毕业学校：               学生姓名：                     考场号：                     座位号：                  

– — – — –– — – — – — 密 — – — – — – — – — – — – — – — – 封 — – — – — – — – — – — – — – — – 线 — – — – — – —– — – —— 

株洲市二中2012年高中新生综合素质测试

数学答卷

一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）

16、（1）（6分）

（1）

（2）

数 学 试 题

      本卷共20小题       时量：120分钟        分值：150分   

一、选择题（本大题满分40分，每小题5分，在各题的四个选项中，只有一个是正确的）

1．下列四个结果中，比小的数是（　A　）

 A、                 B、            C、            D、

2．下列各式计算正确的是                   （       C  ）

A．3＋2＝5                 B．2(a2)3＝6a6  

C． 10a6÷5a2＝2a4                 D．(a－2)2＝a2－4

3、某中学数学兴趣小组12名成员的年龄情况如下：

则这个小组成员年龄的平均数和中位数分别是（　D　）

 A、15，16         B、13，15         C、13，14         D、14，14

4．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（　B　）

 A、32°              B、58°        C、68°     D、60°

第5题图

第4题图

5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD， 对角线AC⊥BC，∠B＝60º，BC＝2cm，则梯形ABCD的面积为（  A  ）

    A． cm2    B．6 cm2    C． cm2    D．12 cm2

6．为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”，张村和王村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造．下面能反映该工程尚未改造道路里程y(公里)与时间x(天)的函数关系的大致图像是(  D   )

A．                       B．              C．               D． 

7. 如图为由一些边长为1cm正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外面部分（不包括与桌面接触的部分）的表面积是（  C ）  cm2。

      正视图        左视图        俯视图

A． 11         B．15           C．18           D．22

8、如图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，，下列结论：

①；

②；

③；

④的解集是：．

其中正确的有（ D   ）

A．1个            B．2个            C．3个            D．4个

二、填空题（本题共7小题，每小题5分，共35分）

9．分解因式： （x-5）（x+3）

10、图象经过点的反比例函数的表达式为____________． 

11．如图，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD= 4，BD=3，则sinA=__________________.

第11题图

第12题图

12．在平行四边形的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连结EF交对角线AC于G，则的值是              ．  

13．有三张卡片（背面完全相同）分别写在，，，把它们背面朝上洗匀后，小军从中抽取一张，记下这个数后放回洗匀，小明又从中抽出一张．李刚为他们俩设计了一个游戏规则：若两人抽取的卡片上两数之积是有理数，则小军获胜，否则小明获胜． 则小军获胜的概率是_____________．

____5/9__

14、如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的大小为______________________。      

第15题图

第14题图

15、如图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则         ；＝         . 42  ,  ;

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16．（本题满分12分）（1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.

解： 

由（1）得：x>-1

由（2）得：      所以原不等式组的解集为： ---------------------4分

----------------------------------------------------6分

（2）先化简，再求值：已知，求的值． 

解：当时，

-----------------6分

17、（本题满分12分）株洲市市区的公共自行车系统自建立以来，因其绿色环保、方便快捷，受到广大市民热烈欢迎，已经成为株洲市的一张名片。某班同学对市民使用公共自行车情况做过调查，结果为三个层级，A级：天天使用公共自行车；B级：一周使用3次以上（包括3次）；C级：一周使用3次以下，并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）此次抽样调查中，共调查了        名市民；

（2）图①中C级是多少人？图②中C级所占的圆心角的度数是多少？

（3）根据抽样调查结果，请你估计我市区近1200000名市民中大约有多少人经常使用公共自行车（包括A级和B级）？

（1）200；      ---------------------------------------------------------------4分

（2）200－120－50=30（人）．

C所占圆心角度数=360°×=54°．     ---------------------------------8分 

（3）1200000×（25%＋60%）=1020000．---------------------------------------12分

18．（本题满分12分）已知关于ｘ的方程x2-(2k+1)x+4(k-)=0.

⑴ 求证:无论k取何值,这个方程总有实数根;⑵ 若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根,求三角形ABC的周长.              解：（1）

所以：无论k取何值,这个方程总有实数根。-------5分

（2）三角形ABC为等腰三角形，可能有两种情况：

1）b或c中至少有一个等于a= 4，即：方程x2-(2k+1)x+4(k-)=0有一根为4，

可得k=,方程为x2-6x+8=0.另一根为2，此时三角形ABC周长为10；------9分

2）b=c时，

得k=,方程为x2- 4x+4=0.得b=c=2, 此时ABC不能构成三角形；

综上，三角形ABC周长为10。       --------------------12分

19、（本题满分13分）为解决目前农民卖菜难的问题，一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜180吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如图所示：

已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行.受季节等条件的，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完.

⑴如果要求20天刚好加工完180吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？

⑵如果先进行粗加工，然后进行精加工.

①试求出销售总利润W元与精加工的蔬菜吨数m之间的函数关系式；

②若要求在不超过18天的时间内，将180吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多可获得多少利润？此时如何分配加工时间？

解：⑴设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工， 

根据题意得：

解得 

答：应安排12天进行精加工，8天进行粗加工．    3分

⑵①精加工m吨，则粗加工（180－m）吨，根据题意得：

由图：粗加工量x吨与其获得利润函数关系为：，

精加工量x吨与其获得利润函数关系为：，

         故： 

                ------------------------------------------------------------  8分

② 当时，W的最大值为1800；时，m越大，W越大，但：

　　∵要求在不超过18天的时间内将所有蔬菜加工完，

       ∴        解得　m≤45. 

 ∴  时，W有最大值2200

         　    ∴精加工天数为45÷5＝9，

粗加工天数为（180－45）÷15＝9.     

   ∴安排9天进行粗加工，9天进行精加工，可以获得最多利润为22万元． ---------------13分

20、（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

⑴ 求证：△CMB≌△ENB；

⑵当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.

解：⑴∵△ABE是等边三角形，

∴BC=BA＝BE，∠ABE＝60°.

∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.

即∠MBA＝∠NBE. ∠MBC=∠NBE

又∵MB＝NB，

∴△CMB≌△ENB（SAS）. ………………5分

⑵如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，

AM＋BM＋CM的值最小. 

理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，

∴AM＝EN.

∵∠MBN＝60°，MB＝NB，

∴△BMN是等边三角形.

∴BM＝MN.

∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 

根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.------------9分

⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，

∴∠EBF＝90°－60°＝30°.

设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.

在Rt△EFC中，

∵EF2＋FC2＝EC2，

∴（）2＋（x＋x）2＝. 

解得，x＝（舍去负值）.

∴正方形的边长为.------------------------13分

21．（本题满分13分）已知二次函数的图象与轴交于点(，0)、点，与轴交于点．

（1）求点坐标；

（2）点从点出发以每秒1个单位的速度沿线段向点运动，到达点后停止运动，过点作交于点，将四边形沿翻折，得到四边形，设点的运动时间为．

①当为何值时，点恰好落在二次函数图象的对称轴上；

②设四边形落在第一象限内的图形面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值．

解：（1）将A(，0)代入解得………1分

∴函数的解析式为

令，解得： 

∴B(，0)  ……………………………………………………………………3分

（2）①由解析式可得点

二次函数图象的对称轴方程为

△中  ∵

∴

∴， 

过点A′作轴于点，则

∴ 

解得

则， 

∴…………………………………………………… 7分

②分两种情况：

ⅰ）当时，四边形PQA′C′落在第一象限内的图形为等腰三角形QA’N．

当时，有最大值S

ⅱ）当时，设四边形PQA′C′落在 

第一象限内的图形为四边形M O QA′． 

当时，有最大值

综上：当时，四边形PQA’C’落在第一象限内的图形面积有最大值是．-------13分