一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，1，2，，，则
A． B．， C． D．，
2.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数为
A． B． C． D．
3.已知两个力，作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，
A． B． C． D．
4.若，则
A． B． C． D．
5.函数的大致图象是
A． B．
C． D．
6.已知，，且，则的最小值为
A．100 B．81 C．36 D．9
7.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则
A． B． C．2 D．
8.已知，，，4，，记，，为，，中不同数字的个数，如：，2，，，4，，，4，，则所有的，，的排列所得的，，平均值为
A． B．3 C． D．4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”建设成果显著如图是年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述正确的是
A．这五年，2013年出口额最少
B．这五年，出口总额比进口总额多
C．这五年，出口增速前四年逐年下降
D．这五年，2017年进口增速最快
10.关于函数下列结论正确的是
A．图象关于轴对称 B．图象关于原点对称
C．在上单调递增 D．恒大于0
11.设函数，已知在，有且仅有3个零点，下列结论正确的是
A．在上存在，，满足
B．在有且仅有1个最小值点
C．在单调递增
D．的取值范围是
12.已知正方体，过对角线作平面交棱于点，交棱于点，下列正确的是
A．平面分正方体所得两部分的体积相等
B．四边形一定是平行四边形
C．平面与平面不可能垂直
D．四边形的面积有最大值．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知双曲线过点且渐近线为，则双曲线的标准方程为
14.若展开式的二项式系数之和是，则 ；展开式中的常数项的值是 ．
15.设是定义在上的偶函数，且，当，时，，若在区间内关于的方程有4个不同的根，则的范围是 ．
16.在中，设角，，对应的边分别为，，，记的面积为，且，则的最大值为
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①，，成等差数列．②，，成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．
在公比为2的等比数列中，______．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18．（10分）在平面四边形中，已知，，，．
（1）求；
（2）求周长的最大值．
19．（12分）如图①，在平行四边形中，，，将沿对角线折起使，连接、，得到如图②所示的三棱锥．
（1）求证：平面；
（2）若，二面角的平面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：
| 潜伏期（单位：天） | ， | ， | ， | ， | ， | ， | ， |
| 人数 | 85 | 205 | 310 | 250 | 130 | 15 | 5 |
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
| 潜伏期天 | 潜伏期天 | 总计 | |
| 50岁以上（含50岁） | 100 | ||
| 50岁以下 | 55 | ||
| 总计 | 200 |
附：
| 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
| 3.841 | 5.024 | 6.635 |
21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线与椭圆交于，两点，的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）问：的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．
22．（14分）已知函数．
（1）若，曲线在点，（1）处的切线与直线平行，求的值；
（2）若，且函数的值域为，，求的最小值．
2022届新高考数学模拟试题（18）
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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，1，2，，，则
A． B．， C． D．，
【解析】集合，1，2，，，
则，，
故选：．
2.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数为
A． B． C． D．
【解析】，，
的共轭复数为：，
故选：．
3.已知两个力，作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，
A． B． C． D．
【解析】根据题意可知，，，，则 1， ，
故选：．
4.若，则
A． B． C． D．
【解析】，
，
．
故选：．
5.函数的大致图象是
A． B．
C． D．
【解析】由于，
，
，且，
故此函数是非奇非偶函数，排除、；
又当时，，
即的图象与直线的交点中有一个点的横坐标为，排除．
故选：．
6.已知，，且，则的最小值为
A．100 B．81 C．36 D．9
【解析】，，且，
由基本不等式可得，当且仅当即，时取等号，
解可得，即的最小值36．
故选：．
7.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则
A． B． C．2 D．
【解析】抛物线的焦点为，，准线为，设，，，，，到准线的距离分别为，，
由抛物线的定义可知，，于是．
，
直线的斜率为，
，，
直线的方程为，
将，
代入方程，并化简得，
，于是．
故选：．
8.已知，，，4，，记，，为，，中不同数字的个数，如：，2，，，4，，，4，，则所有的，，的排列所得的，，平均值为
A． B．3 C． D．4
【解析】由题意可知，，，所有的排列数为，
当，，时，有3种情形，即，2，，，4，，，6，；
当，，时，有种；
当，，时，有种，
那么所有27个，，的排列所得的，，的平均值为．
故选：．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”建设成果显著如图是年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述正确的是
A．这五年，2013年出口额最少
B．这五年，出口总额比进口总额多
C．这五年，出口增速前四年逐年下降
D．这五年，2017年进口增速最快
【解析】对于，2013出口额最少，故对；
对于，这五年，出口总额比进口总额多，故对；
对于，出口速率在增加，故错；
对于，根据蓝色线斜率可知，2017年进口速度最快，故对．
故选：．
10.关于函数下列结论正确的是
A．图象关于轴对称 B．图象关于原点对称
C．在上单调递增 D．恒大于0
【解析】函数定义域为，，，
①因为，
故函数为偶函数，所以正确；
②由①知，函数为偶函数，所以不正确；
③当时，，且在单调递减，
当时，，
且在单调递减，
而，故在单调递调减，
又由为偶函数，故在上单调递增，所以正确；
④由①知，，当，，，，
故此时．故正确．
故选：．
11.设函数，已知在，有且仅有3个零点，下列结论正确的是
A．在上存在，，满足
B．在有且仅有1个最小值点
C．在单调递增
D．的取值范围是
【解析】画出函数大致图象如图所示，
当时；
又，所以时在轴右侧第一个最大值区间内单调递增，
函数在，仅有3个零点时，则的位置在之间（包括，不包括，
令，则得，，
轴右侧第一个点横坐标为，周期，
所以，
即，解得，所以错误；
在区间，上，函数达到最大值和最小值，
所以存在，，满足，所以正确；
由大致图象得，在内有且只有1个最小值，正确；
因为最小值为，所以时，，，
所以时，函数不单调递增，所以错误．
故选：．
12.已知正方体，过对角线作平面交棱于点，交棱于点，下列正确的是
A．平面分正方体所得两部分的体积相等
B．四边形一定是平行四边形
C．平面与平面不可能垂直
D．四边形的面积有最大值．
【解析】如图所示，
对于，由正方体的对称性可知，平面分正方体所得两部分的体积相等，正确；
对于，因为平面，平面平面，平面平面，
所以，同理可证，所以四边形是平行四边形，正确；
对于，当、为棱中点时，平面，又因为平面，
所以平面平面，所以错误；
对于，当与重合，与重合时，四边形的面积有最大值，所以正确．
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知双曲线过点且渐近线为，则双曲线的标准方程为
【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线方程为为，
设双曲线方程为，
双曲线过点，
，即．
所求双曲线方程为．
故答案为：．
14.若展开式的二项式系数之和是，则 6 ；展开式中的常数项的值是 ．
【解析】展开式的二项式系数之和是，则，
故的展开式中的通项公式为：，
令，求得，可得展开式中的常数项的值是，
故答案为：6，135．
15.设是定义在上的偶函数，且，当，时，，若在区间内关于的方程有4个不同的根，则的范围是 ．
【解析】对于任意的，都有，
，
函数是一个周期函数，且．
又当，时，，且函数是定义在上的偶函数，
若在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，
则函数与在区间上有四个不同的交点，如下图所示：
又（2）（6），
则对于函数，
由题意可得，当时的函数值小于1，
即，
由此解得：，
的范围是
故答案为：．
16.在中，设角，，对应的边分别为，，，记的面积为，且，则的最大值为
【解析】，，
，
，令，
则，
令，，
所以在递增，递减，
所以，
所以的最大值为，
当且仅当时，取等号，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①，，成等差数列．②，，成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．
在公比为2的等比数列中，______．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【解答】方案一：选条件①
解：（1）由题意，，，，
，，成等差数列，
，即，
解得，
，．
（2）由（1）知，，
记，则
，
．
方案二：选条件②
解：（1）由题意，，，，，
，，成等差数列，
，即，
解得，
，．
（2）同方案一第（2）题解答过程．
18．（10分）在平面四边形中，已知，，，．
（1）求；
（2）求周长的最大值．
【解析】（1）在中，由正弦定理得：，
，
，
即：，
解得：或5，
当时，，，，
，，为等腰直角三角形，不符合题意，舍去，
；
（2）在中，，由余弦定理得：，
，
，
由基本不等式得：，
，
，
，
，，即，所以
所以周长的最大值为：15．
19．（12分）如图①，在平行四边形中，，，将沿对角线折起使，连接、，得到如图②所示的三棱锥．
（1）求证：平面；
（2）若，二面角的平面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）在平行四边形中，，，，
将沿对角线折起使，连接、，得到如图所示的三棱锥．
，，
，平面，
平面，，
，，平面，
平面，，
，，
平面．
解：（2），二面角的平面角的正切值为，
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
，，设，则，，
，0，，，，，，
，，，，0，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
平面的法向量，1，．
二面角的平面角的正切值为，
二面角的平面角的余弦值为，
，
解得，，0，，，，0，，，，，
，0，，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，0，，
设直线与平面所成角为，
则．
直线与平面所成角的正弦值为．
20．（12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：
| 潜伏期（单位：天） | ， | ， | ， | ， | ， | ， | ， |
| 人数 | 85 | 205 | 310 | 250 | 130 | 15 | 5 |
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
| 潜伏期天 | 潜伏期天 | 总计 | |
| 50岁以上（含50岁） | 100 | ||
| 50岁以下 | 55 | ||
| 总计 | 200 |
附：
| 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
| 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【解析】（1）根据统计数据，计算平均数为
（天；
（2）根据题意，补充完整列联表如下；
| 潜伏期天 | 潜伏期天 | 总计 | |
| 50岁以上（含50岁） | 65 | 35 | 100 |
| 50岁以下 | 55 | 45 | 100 |
| 总计 | 120 | 80 | 200 |
所以没有的把握认为潜伏期与年龄有关；
（3）根据题意得，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为，
设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为，则，
，，1，2，，20；
由，
得，
化简得，解得；
又，所以，即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人．
21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线与椭圆交于，两点，的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）问：的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．
【解析】（1）离心率为，，
的周长为8，，得，，，
因此，椭圆的标准方程为．
（2）设的内切圆半径为，，
又，，
要使的内切圆面积最大，只需的值最大．
设，，，，直线，
联立消去得：，
易得△，且，，
所以，
设，则，
设，，所以在，上单调递增，
所以当，即时，的最大值为3，
此时，所以的内切圆面积最大为．
22．（14分）已知函数．
（1）若，曲线在点，（1）处的切线与直线平行，求的值；
（2）若，且函数的值域为，，求的最小值．
【解析】（1）当时，，，
由（1），
得，
即，
解得或，
当时，（1），此时直线恰为切线，故舍去，
所以；
（2）当时，，
设，则，
故函数可化为，
由，可得的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以的最小值为（1），
此时，函数的的值域为，，
问题转化为当时，有解，
即，得，
设，则，
故的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以的最小值为，
故的最小值为．
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