考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编26(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设函数f(x)在(－∞，+∞)内连续，其中二阶导数f”(x)的图形如图所示，则曲线y=f(x)的拐点的个数为(    )

A．0。

B．1。

C．2。

D．3。

正确答案：C

解析：拐点是连续函数凹凸性的分界点，而由于函数是二阶可导的(0点除外)，所以可知二阶导数大于0，函数为凹函数，二阶导数小于0，函数是凸函数，因此只需要从图形上找到在某点两端二阶导数异号。显然这样的点共有两个，所以答案为C。 知识模块：一元函数微分学 

2． 设函数y=f(x)在(－∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则(    )

A．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点。

B．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点。

C．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点。

D．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点。

正确答案：B

解析：由图可知曲线有两个点的左、右导数符号不一样，有三个点左、右导函数单调性不一样，故有2个极值点，3个拐点。 知识模块：一元函数微分学 

3． 曲线y=+ln(1+ex)的渐近线的条数为(    )

A．0。

B．1。

C．2。

D．3。

正确答案：D

解析：因为+ln(1+ex)]=∞，所以x=0为垂直渐近线。又+ln(1+ex)]=0，所以y=0为水平渐近线。根据=ln(1+e－x)=0，于是有斜渐近线y=x。故应选D。 知识模块：一元函数微分学 

4． 曲线y=(x2+x)／(x2－1)的渐近线的条数为(    )

A．0。

B．1。

C．2。

D．3。

正确答案：C

解析：=∞，所以x=1为曲线的垂直渐近线；=1，所以y=1为曲线的水平渐近线；没有斜渐近线。故该曲线共两条渐近线，因此选C。 知识模块：一元函数微分学 

5． 下列曲线中有渐近线的是(    )

A．y=x+sinx。

B．y=x2+sinx。

C．y=x+sin

D．y=x2+sin

正确答案：C

解析：四个选项的函数均没有无穷间断点，因此均无垂直渐近线；当x→∞时，四个选项的函数均趋于无穷，因此均无水平渐近线；但是对于y=x+sin=0，所以有斜渐近线y=x，因此选C。 知识模块：一元函数微分学 

6． 若f”(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内(    )

A．有极值点，无零点。

B．无极值点，有零点。

C．有极值点，有零点。

D．无极值点，无零点。

正确答案：B

解析：由于曲率圆与曲线在一点邻近有相同的凹向，而曲率圆x2+y2=2在点(1，1)邻近是凸的，所以曲线f(x)在点(1，1)邻近也是凸的。又由于f”(x)不变号，所以f(x)是凸函数，即f”(x)＜0，且在点(1，1)处的曲率曲率圆x2+y2=2两边对x求导，可得2x+2y．y’=0，即y’(1)=－1。由于曲率圆与曲线在一点处有相同的切线和曲率，所以f’(1)=1。由此可得，f”(1)=－2。在[1，2]上，由于f”(x)＜0，所以f’(x)单调减少，且f’(x)≤f’(1)=－1＜0，即f(x)在[1，2]上没有极值点。在[1，2]上应用拉格朗日中值定理，可得f(2)－f(1)=f’(ξ)＜－1，ξ∈(1，2)。由于f(1)=1，所以f(2)=f’(ξ)+f(1)＜－1+1=0。由零点定理可知，f(x)在区间(1，2)内有零点。故应选B。 知识模块：一元函数微分学 

7． 曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是(    )

A．

B．

C．

D．

正确答案：C

解析：因此ρ=1／K=10，故选C。 知识模块：一元函数微分学 

8． 设函数y=fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi”(x)＜0(i=1，2)，若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在点x。的某个邻域内，有(    )

A．f1(x)≤f2(x)≤g(x)。

B．f2(x)≤f1(x)≤g(x)。

C．f1(x)≤g(x)≤f2(x)。

D．f2(x)≤g(x)≤f1(x)。

正确答案：A

解析：由fi”(x)＜0(i=1，2)可知，f1(x)与f2(x)在x0，的某个邻域内都是凸函数，则y=f1(x)与y=f2(x)在x0的某个邻域内的图象均在点(x0，y0)处切线的下方，所以在x0的某个邻域内，f1(x)≤g(x)，f2(x)≤g(x)。又由曲率公式可知再由k1＞k2可得f1”(x0)＜f2”(x0)。令F(x)=f1(x)－f2(x)，则F’(x)=f1’(x)－f2’(x)，F”(x)=f1”(x)－f2”(x)，于是F(x0)=0，F’(x0)=0，F”(x0)＜0，所以F(x)在x=x0处取到极大值，故在x0的某个邻域内，F(x)≤F(x0)=0，即f1(x)≤f2(x)。综上所述，f1(x)≤f2(x)≤g(x)。故选A。 知识模块：一元函数微分学 

9． 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则(    )

A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数。

B．当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数。

C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数。

D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数。

正确答案：A

解析：应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性。f(x)的原函数F(x)可以表示为F(x)=∫0xf(t)dt+C，于是F(－x)=∫0－xf(t)dt+C∫0xf(－u)d(－u)+C。当f(x)为奇函数时，f(－u)=－f(u)，从而有F(－x)=∫0xf(u)du+C=∫0xf(t)dt+C=F(x)，即F(x)为偶函数。故A为正确选项。B，C，D可分别举反例如下：f(x)=x2是偶函数，但其原函数F(x)=x3+1不是奇函数，可排除B；f(x)=cos2x是周期函数，但其原函数F(x)=cos2x不是周期函数，可排除C；f(x)=x在区间(－∞，+∞)内是单调增函数，但其原函数F(x)=1／2x2在区间(－∞，+∞)内不是单调增函数，可排除D。 知识模块：一元函数微分学 

10． 设函数f(x)连续，则下列函数中必为偶函数的是(    )

A．∫0xf(t2)dt。

B．∫0xf2(t)dt。

C．∫0xt[f(t)－f(－t)]dt。

D．∫0xt[f(t)+f(－t)]dt。

正确答案：D

解析：根据原函数与被积函数的奇偶性质可知，在题干四个选项中，t[f(t)+f(－t)]为奇函数，而奇函数的任何原函数都是偶函数，故∫0xt[f(t)+f(－t)]d￡为偶函数。故答案选D。 知识模块：一元函数微分学 

11． 设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则(    )

A．

B．

C．

D．

正确答案：B

解析：方法一：取f(x)=sinx2／x，则f(x)在(0，+∞)内有界且可导，并且取f(x)=sinx，在(0，+∞)内有界且可导，f(x)=1，可排除C，D。故正确答案选B。方法二：若f’(x)≠0，不妨设f(x)=1＞0，从而存在X＞0，当x＞X时，有f’(x)＞1／2，对任意x＞X，在[x，2x]上由拉格朗日定理得f(2x)－f(x)=f’(ξ)(2x－x)，x＜ξ＜2x，则f(2x)－f(x)＞x／2，从而有f(x)=∞，与f(x)有界矛盾，故必有f’(x)=0，故答案选B。 知识模块：一元函数微分学 

12． 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有(    )

A．F(x)是偶函数f(x)是奇函数。

B．F(x)是奇函数f(x)是偶函数。

C．F(x)是周期函数f(x)是周期函数。

D．F(x)是单调函数f(x)是单调函数。

正确答案：A

解析：方法一：f(x)的原函数可以表示为F(x)=∫0xf(t)dt+C。如果F(x)为偶函数，则F(－x)=F(x)，等式两边同时求导可得－f(－x)=f(x)，可知f(x)为奇函数。如果f(x)为奇函数，F(－x)=∫0－xf(t)dt+C，对其作变量代换，令u=－t可得F(－x)=∫0xf(－u)(－du)+C=∫0x－f(u)(－du)+C=∫0xf(u)du+C=F(x)，可知F(x)为偶函数。综上所述，选项A是正确的。方法二：举反例排除。令f(x)=x2，F(x)=x3+1，可知f(x)为偶函数时，F(x)不一定为奇函数；令f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x，可知f(x)为周期函数时，F(x)不一定为周期函数；令f(x)=x，F(x)=1／2x2，可知f(x)为单调函数时，F(x)不一定为单调函数。由此只有选项A是正确的。 知识模块：一元函数微分学 

13． 如图，连续函数y=f(x)在区间[－3，－2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[－2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)=∫0xf(t)dt，则下列结论正确的是(    )

A．F(3)=－3／4F(－2)。

B．F(3)=5／4F(2)。

C．F(－3)=3／4F(2)。

D．F(－3)=－5／4F(－2)。

正确答案：C

解析：根据定积分的几何意义，知F(2)=1／2π为半径是1的半圆面积；F(3)是两个半圆面积之差F(3)=1／2[π．12－π．(1／2)2]=3／8π=3／4F(2)，又由f(x)的图像可知，f(x)为奇函数，则F(x)为偶函数，从而F(3)=F(－3)，F(－3)=3／4F(2)。因此应选C。 知识模块：一元函数微分学 

14． 已知函数f(x)则f(x)的一个原函数是(    )

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：先检验各函数在每个区间上的导数，易知，对选项B和C来说，当x＞1时，都有F’(x)=lnx+2≠f(x)，可知它们必定不是f(x)的原函数。对选项A和D，检验F(x)在x=1处的连续性。易知，对选项A中的F(x)，因此该函数在x=1处不连续，从而它不是f(x)的原函数。综上所述，排除A、B和C，本题选D。 知识模块：一元函数微分学 

填空题

15． 曲线y=xln(e+)(x＞0)的渐近线方程为_______。

正确答案：y=x+

解析：由曲线方程y=xln(e+)知，垂直渐近线可能有两处：x→(－1／e)+及x→0，但题设x＞0，所以x→(－1／e)+不予考虑，考虑x→0+的情况。当x→0+时，所以无垂直渐近线；故无水平渐近线。再考虑斜渐近线：所以有斜渐近线y=x+ 知识模块：一元函数微分学 

16． 曲线y=(2x－1)e1／x的斜渐近线方程为_______。

正确答案：y=2x+1

解析：所以，x→+∞方向有斜渐近线y=2x+1。当x→－∞时，类似地有斜渐近线y=2x+1。总之，曲线y=(2x－1)e1／x的斜渐近线方程为y=2x+1。 知识模块：一元函数微分学 

17． 曲线y=的斜渐近线方程为_______。

正确答案：

解析：因为于是所求斜渐近线方程为 知识模块：一元函数微分学 

18． 曲线y=的水平渐近线方程为_______。

正确答案：y=1／5

解析：利用曲线的水平渐近线的定义求解。由于所以，曲线的水平渐近线为y=1／5。 知识模块：一元函数微分学 

19． 曲线y=的渐近线方程为_______。

正确答案：y=2x

解析：首先函数y=2x3／(x2+1)是(－∞，+∞)上的连续函数，因此不存在垂直渐近线。其次，y=∞，所以不存在水平渐近线。最后，(y－2x)=0。故斜渐近线为y=2x。 知识模块：一元函数微分学 

20． 曲线y=+arctan(1+x2)的斜渐近线方程为_______。

正确答案：

解析：设曲线的斜渐近线方程为y=kx+b，则故斜渐近线方程为 知识模块：一元函数微分学 

21． 曲线y=x(1+arcsin)的斜渐近线方程为_______。

正确答案：y=x+2。

解析：根据斜渐近线的定义则斜渐近线方程为y=x+2。 知识模块：一元函数微分学 

22． 曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是_______。

正确答案：(－1，0)

解析：将y’=2x+1，y”=2代入曲率计算公式，有整理有(2x+1)2=1，解得x=0或x=－1。又因x＜0，所以取x=－1，这时y=0，故该点坐标为(－1，0)。 知识模块：一元函数微分学 

23． ∫lnsinx／sin2xdx=_______。

正确答案：－cotx．lnsinx－x－cotx+C

解析：因为(cotx)’=－csc2x=－1／－sin2x，所以∫lnsinx／sin2xdx=－∫lnsinx(cotx)’dx=－∫lnsinxdcotx=－(cotx．lnsinx－∫cotxdlnsinx)=－cotx．lnsinx+∫cotx．cosx／sinxdx=－cotx．lnsinx+∫cos2x／sin2xdx=－cotx．lnsinx+∫(1－sin2x)／sin2xdx=－cotx．lnsinx+∫dx／sin2x－∫1dx=－cotx．lnsinx－x+∫(－cotx)’dx=－cotx．lnsinx－x－cotx+C。 知识模块：一元函数积分学 

24． 

正确答案：1／2ln(x2－6x+13)+4arctan+C

解析：=1／2ln(x2－6x+13)+4arctan+C。 知识模块：一元函数积分学 

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

25． 已知函数y(x)由方程x3+y3－3x+3y－2=0确定，求y(x)的极值。

正确答案：在方程两边同时对x求导可得3x2+3y2y’－3+3y’=0，(1)令y’=0可得3x2－3=0，故x=±1。由极值的必要条件可知，函数只可能在x=1与x=－1处取得极值。为检验该点是否为极值点，需计算函数的二阶导数，对(1)式两边同时求导可得6x+6y(y’)2+3y2y”+3y’=0。(2)当x=1时，y=1，将x=1，y=1，y’=0代入(2)式可得y”(1)=－1(0，故y(1)=1是函数的极大值。当x=－1时，y=0，将x=－1，y=0，y’=0代入(2)式可得y”(－1)=2＞0，故y(－1)=0是函数的极小值。       涉及知识点：一元函数微分学 

26． 设f(lnx)=，计算∫f(x)dx。

正确答案：方法一：为了求不定积分，首先需要写出f(x)的表达式。为此，令lnx=t，有x=et，f(t)=f(lnx)∫f(x)dx=∫e－xln(1+ex)dx=－∫ln(1+ex)de－x=－e－xln(1+ex)+∫e－xdx=－e－xln(1+ex)+∫dx=－e－xln(1+ex)+∫(1－)dx=－e－xln(1+ex)+x－ln(1+ex)+C。方法二：作积分变量替换，令x=lnt，=－e－xln(1+ex)+x－ln(1+ex)+C。       涉及知识点：一元函数积分学 

27． 

正确答案：作积分变量变换，令x=tanu，则dx=sec2udu，       涉及知识点：一元函数积分学 

28． 设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)。若∫0f(x)g(t)dt=x2ex，求f(x)。

正确答案：f(x)的反函数是g(x)，根据反函数的性质有g[f(x)]=x，∫0f(x)g(t)dt=x2ex两边对x求导，有(∫0f(x)g(t)dt)’=(x2ex)’g[f(x)]f’(x)=x2ex+2xex，又g[f(x)]=x，所以xf’(x)=x2ex+2xexf’(x)=xex+2ex，x∈(0，+∞)，两边积分∫f’(x)dx=∫(xex+2ex)dxf(x)=∫xexdx+∫2exdxf(x)=∫xdex+2exxex－∫exdx+2exf(x)=xex－ex+2ex+Cf(x)=xex+ex+C。由于题设f(x)在[0，+∞)上可导，所以在x=0处连续，故f(0)=(xex+ex+C)=1+C=0，所以C=－1，于是f(x)=xex+ex－1，x∈[0，+∞)。       涉及知识点：一元函数积分学 

29． 

正确答案：设x=tant，则又∫etsintdt=－∫etd(cost)=－(etcost－∫etcostdt)=－etcost+etsint－∫etSintdt，故∫etsintdt=1／2(－etcost+etsint)。       涉及知识点：一元函数积分学 

30． 求∫arcsinex／exdx

正确答案：       涉及知识点：一元函数积分学