吉林省东北师大附中2015届高三上学期第三次摸底考试数学(理)试题...

吉林省东北师大附中2015届高三上学期第三次摸底考试数学（理科）试卷

【试卷综述】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、导数、数列、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷。

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，在试卷上作答无效.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

【题文】一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

【题文】（1）设集合，，则（   ）

（A）         （B）         （C）         （D）

【知识点】集合的运算A1

【答案】【解析】C解析：，， 故选C.

【思路点拨】化简集合A，B，直接计算即可.

【题文】（2）若命题，则是                 (     )                  

（A）                   （B）   

（C）                    （D）

【知识点】特称命题的否定A3

【答案】【解析】B解析：由定义可得为，故选B.

【思路点拨】特称命题的否定是全称命题.

【题文】（3）设等差数列的前项和为，若，则等于  （    ）          

（A）               （B）             （C）              （D）

【知识点】等差数列D2

【答案】【解析】C解析：，公差，所以，

故选C.

【思路点拨】由等差数列性质计算可得，也可由直接求公差.

【题文】（4）“”是数列“为递增数列”的     （    ）            

（A）充分不必要条件                       （B）必要不充分条件     

（C）充要条件                             （D）既不充分也不必要条件

【知识点】充分必要条件A2

【答案】【解析】A解析：由“”可得

，故可推出“数列

为递增数列”，故充分性成立．

由“数列为递增数列”可得

，故，

即，不能推出“”，故必要性不成立．

因此“”是“数列为递增数列”的充分不必要条件，故选A.

【思路点拨】由“”可得，推出“数列为递增数列”．由“数列为递增数列”，不能推出“”，由此得出结论．

【题文】（5）在等比数列中，若，则数列的前和等于 （    ）  

     （A）              （B）              （C）              （D）

【知识点】等比数列 D3

【答案】【解析】C解析：因为，，

，

故选C.

【思路点拨】，结合对数运算性质得

即可求解.

【题文】（6）设，都是锐角，且，，则（   ）

   （A）           （B）         （C）或     （D）或【知识点】两角和与差的余弦公式C5

【答案】【解析】A解析：，由题意可得，代入得，故选A.

【思路点拨】注意到角的变换，再利用两角差的余弦公式计算可得结果.

【题文】（7）已知函数，则的最小正周期和其图像的一条对称轴方程是                    (     )                                                    

（A）        （B）     （C）         （D）

【知识点】三角函数图像与性质C3

【答案】【解析】D解析： 

，，对称轴，当时，，故选D.

【思路点拨】先化简即可求周期与对称轴方程.

【题文】（8）已知函数则其导函数的图像与轴所围成的封闭

图形的面积为 （   ）

（A）              （B）        （C）        （D） 

【知识点】定积分的应用B13

【答案】【解析】B解析：令,得：或,

所以的图像与轴所围成的封闭图形的面积为： ,故选B.

【思路点拨】由题可得的图像与轴所围成的封闭图形的面积为：

，代入计算可得结果.

【题文】（9）已知，则的最小值是        (   )            

（A）4                 （B）3                (C)  2               (D)  1

【知识点】基本不等式E6

【答案】【解析】A解析：由题得，所以

， ，

当且仅当，即，时等号成立，故选A.

【思路点拨】】由题得，做变换即可利用基本不等式求解.

【题文】（10）若函数的定义域为，恒成立，，则解集为（ ）

（A）          （B）        （C）         （D）

【知识点】导数的应用B12

【答案】【解析】D解析：令，要求，就是求，，所以函数在上单调递增，而，

，即，故选D.

【思路点拨】构造函数，得，得函数在上单调递增，又，所以，可求其解集.

【题文】（11）设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为             （     ）                           

（A）             （B）        （C）       （D）  

【知识点】函数综合B14

【答案】【解析】C解析：令，，

，，，即在时单调递增，由对任意的，都有成立，所以，即

，，又，得，故选C.

【思路点拨】由题意可得在时单调递增，要使对任意的，都有成立，只需.

【题文】（12）定义函数，则函数在区间内的所有零点的和为               (    )                                                   

（A）         （B）        （C）       （D） 

【知识点】根的存在性及根的个数判断 B5

【答案】【解析】D解析：当时，，

所以，此时当时，；

当时，，所以；

由此可得时，．

下面考虑且时，的最大值的情况．

当时，由函数的定义知,

因为，所以，

此时当时，；

当时，同理可知．

由此可得且时，．

综上可得：对于一切的，函数在区间上有1个零点，

从而g（x）在区间上有n个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为．故选D.

【思路点拨】函数是分段函数，要分区间进行讨论，当是二次函数，当时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

【题文】二、填空题（本大题共4小题, 每小题5分, 共20分）

【题文】（13）函数的最大值为　　　　          　　；

【知识点】函数的最值B3

【答案】【解析】解析：令（），原式，（1）

，（1）式，故最大值为.

【思路点拨】令（），原式，利用基本不等式即可

求解.

【题文】（14）在中，内角所对的边的长分别为，且，则     ；

【知识点】余弦定理C8

【答案】【解析】解析：，即，

∴由正弦、余弦定理化简得： ，

则，即或，，

且，  ，即，故不成立，舍去，，

则．故答案为.

【思路点拨】利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形为代入，约分后再将代入，利用正弦定理化简得到，进而得到，即可求出所求式子的值．

【题文】（15）函数的递增区间是                    ；

【知识点】函数的单调性B3

【答案】【解析】解析：， 定义域为，，当时，函数递增，此时，故递增区间为.

【思路点拨】求单调区间先求定义域，再根据解出的范围即可.

【题文】（16）已知数列中，，则             .

【知识点】递推公式D5

【答案】【解析】解析：由，得，

∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，是这个数列的第19项，，

故答案为. 

【思路点拨】把给出的数列递推式变形，得到等比数列，求出其通项公式即可.

【题文】三、解答题（本题共6小题, 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

【题文】（17）（本小题满分10分）

已知是斜三角形，内角所对的边的长分别为．己知

．

    （I）求角；

    （II）若=，且求的面积.

【知识点】余弦定理 正弦定理C8

【答案】【解析】（I）（II） 

解析：（I）根据正弦定理，可得，

，可得，得

,；

（II） 

， 

为斜三角形，，，

由正弦定理可知……（1）

由余弦定理 …..（2）

由（1）（2）解得.

【思路点拨】（I）根据正弦定理算出，与题中等式比较可得，结合C为三角形内角，可得C的大小；（II）余弦定理的式子，列式解出，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到的面积．

【题文】（18）（本小题满分12分）

已知等比数列为递增数列，且，.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）令，不等式的解集为，求所有的和.

【知识点】数列递推式；等比数列的通项公式；数列的求和D5 D3 D4

【答案】【解析】（I）（II）

解析：. （Ⅰ）设的首项为，公比为，，解得，

又,则，解得（舍）或．．

（Ⅱ）由（I）可得：，

当n为偶数，，即，不成立．

当n为奇数，即，

，

组成首项为，公比为4的等比数列．

则所有的和．

【思路点拨】（Ⅰ）设的首项为，公比为，由，可得，解得．再利用，可得，即可得出．

（II）由（I）可得．当n为偶数，不成立．当n为奇数，，可得，得到的取值范围．可知组成首项为211，公比为4的等比数列,求出即可．

【题文】(19)（本小题满分12分）

某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格.现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互.

（Ⅱ）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列及期望．

【知识点】二项分布与n次重复试验的模型；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差K6  K2  K8

【答案】【解析】（I）（II）

解析：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，

且事件A，B，C，D相互，

“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为： 

．

（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，

，的分布列为：

,．

【思路点拨】（I）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为，由事件A，B，C，D相互能求出结果．

（II）由题设知的所有可能取值为0，1，2，3，，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

【题文】(20) （本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，平面，，为棱上的动点，．

（Ⅰ）当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅱ）当的值为多少时，二面角的大小是45．

【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角G12 G10

【答案】【解析】（I）（II）

解析：（1）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，

依题意得，为中点，，，

设是平面的一个法向量，

则，得, 取，得，

设直线与平面的法向量的夹角为，

则，

∴直线BC与平面BFC1所成角的正弦值为．…（5分）

（2）设，，

设是平面的一个法向量，

则，

取，得,是平面的一个法向量，

，得，

即，

∴当时，二面角的大小是．…（10分）

【思路点拨】（I）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面所成角的正弦值．

（II）求出平面的一个法向量，利用向量法能求出当时，二面角的大小是.

【题文】(21) （本小题满分12分）

已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率虚轴长为2.

（Ⅰ）求双曲线的标准方程；

（Ⅱ）若直线与双曲线相交于，两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

【知识点】直线与双曲线H8

【答案】【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）直线过定点，定点坐标为

解析：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为，由已知得：，

，又，解得，双曲线的标准方程为.

（Ⅱ）设，联立，得

，有，

，以AB为直径的圆过双曲线的左顶点，，即，

，．解得：，.

当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

当时，的方程为，直线过定点，经检验符合已知条件．

所以，直线过定点，定点坐标为．

【思路点拨】（Ⅰ）由已知得：，，易得双曲线标准方程；

（Ⅱ））设，联立，得

，以AB为直径的圆过双曲线的左顶点，，即，代入即可求解.

【题文】 (22)（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设是正数，且，求证：.

【知识点】利用导数研究函数的单调性B12

【答案】【解析】（I）当时，的递增区间为；

当或时，的递增区间为，减区间为.（II）略

解析：（I）函数的定义域为，，

令，由题意得，则，对称轴为，（1）当时，，即，在上递增；

（2）当或时，的两根为，，由，，得，当时，，，递减；当时，，，递增，所以的递增区间为，减区间为.

（II）要证，只需证，

即，即设，

由题知在上是单调增函数，又所以，

即成立，得到． 

【思路点拨】（I）求出函数的导数，对分情况讨论，（1）当时，（2）当或时，求出导数为0的根，即可得到单调区间；

（II）把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形，即要证，根据题意得到在时单调递增，且，利用函数的单调性可得证．