高一不等式知识点详解

1.不等式的基本概念

（1）不等（等）号的定义：

（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.

（3）同向不等式与异向不等式.

（4）同解不等式与不等式的同解变形.

2.不等式的基本性质

（1）（对称性）     （2）（传递性）

（3）（加法单调性）

（4）（同向不等式相加）

（5）（异向不等式相减）

（6）    （7）（乘法单调性）

（8）（同向不等式相乘）

（异向不等式相除）  （倒数关系）

（11）（平方法则）

（12）（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）

（2）（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）

极值定理：若则：

如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；  

如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.

     利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 

（当仅当a=b=c时取等号）

（当仅当a=b时取等号）

（7）

4.几个著名不等式

 （1）平均不等式：   如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

特别地，（当a = b时，）

幂平均不等式：

注：例如：.

常用不等式的放缩法： 

（2）柯西不等式： 

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有

则称f(x)为凸（或凹）函数.

5.不等式证明的几种常用方法

  比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

  步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式

应用分类讨论思想去绝对值；     应用数形思想；

应用化归思想等价转化

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

类似于， 

不等式解法举例：

一、含有绝对值的不等式的解法

方法1：利用绝对值性质：

一般的：①② 

特别地：①      

②

练习1：不等式的解集为___________________

2、解不等式

3、不等式的解集是                               

4、不等式的解集是_____________________

方法2：利用绝对值定义：

将不等式同解变形为不等式组（即分类讨论思想）

上面5题都可用此法

方法3：零点分区间法，（含有多个绝对值的不等式时可用此法）

练习1、解不等式                       

方法4：平方法：

若不等式两边均为非负数，对其两边同时平方，再解不等式。

（切记：若用平方法，则不等式两边必须都是非负数,只有这样，才能运用平方法。）

①   ②

练习1、不等式的解集为__________________________

2、不等式的解集是                          

一、绝对值不等式性质定理的运用：，特别是用此定理求函数的最值。

练习1、不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为_______________________

2、若不等式，对于均成立，那么实数的取值范围是___

二、一元二次不等式的解法

步骤①将二次项系数化为正数； ②△了解图象（或因式分解），口诀“>取两边,<夹中间

练习1、         2、           3、

一元高次不等式的解法（数轴标根法，注意跨过偶次方项）

1、                     2、

四、分式不等式的解法（移项化一边0，通分，因式分解+数轴标根，也可用等号运算法则解分式不等式）

练习1、不等式的解集是               ；

2、不等式的的解集是               

3、已知关于的不等式＜0的解集是.则          .

五、对数不等式、指数不等式的解法(同底法,即化为同底后利用对数\\指数函数的单调性)

 ；

练习：

1、已知，求的取值范围。

2、已知，且，求的取值范围。

3、正数满足，求的最小值。

4、设实数满足，当时，求的取值范围。

5、已知函数满足，，求取值范围。

6、已知：、都是正数，且，，，求的最小值

7、已知集合与，

若，求的取值范围。

8、若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。