2020-2021学年山东省青岛市九年级(上)期末数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1．方程x2＝4x的根是（　　）

A．x＝4    B．x＝0    C．x1＝0，x2＝4    D．x1＝0．x2＝2

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（　　）

A．    B．3    C．    D．2

3．下列各组图形中，一定相似的是（　　）

A．任意两个正五边形    B．任意两个平行四边形    

C．任意两个菱形    D．任意两个矩形

4．班级元旦晚会上，主持人给大家带来了一个有奖竞猜题，他在一个不透明的袋子中放了若干个形状大小完全相同的白球，想请大家想办法估计出袋中白球的个数．数学课代表小明是这样来估计的：他先往袋中放入10个形状大小与白球相同的红球，混匀后再从袋子中随机摸出20个球，发现其中有4个红球．如果设袋中有白球x个，根据小明的方法用来估计袋中白球个数的方程是（　　）

A．    B．    C．    D．

5．如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是（　　）

A．（0，0）    B．（1，0）    C．（0，﹣1）    D．（0，1）

6．关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根    B．有两个不相等的实数根    

C．有两个实数根    D．无实数根

7．如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b＞的解集为（　　）

A．x＜﹣6或0＜x＜2    B．﹣6＜x＜0或x＞2    

C．x＞3或﹣1＜x＜0    D．x＞2

8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（　　）

A．    B．    

C．    D．

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9．计算sin245°+cos30°•tan60°＝　 　．

10．我国疫情防控工作进入了一个新的阶段—“常态化”．戴口罩仍然是切断病毒传播的主要措施．某药店八月份销售口罩500包，八至十月份共销售口罩1820包，设该店九、十月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程为 　 　．

11．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，＝，则k的值为 　 　．

12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：

13．如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点．当∠DFE＝45°时，则DE＝　 　．

14．如图是某几何体的三视图，其俯视图是等边三角形，则这个几何体的表面积是 　 　．

三、作图题（本题满分4分）

15．已知线段a，b，求作矩形ABCD，使对角线AC＝a，边BC＝b．

四、解答题（本大题共9小题，满分74分）

16．计算：

（1）解方程：4x2﹣6x﹣3＝0．

（2）已知二次函数y＝﹣+x+，用配方法求出该抛物线的顶点坐标．

17．甲乙两人用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，A转盘被分成如图所示的三份，并分别标有数字1，2，﹣3；B转盘被等分成三份，分别标有数字﹣1，﹣2，3．甲乙两人同时转动转盘，当转盘停止转动时，指针所指的数字之整的绝对值大于2，则甲胜；指针所指的数字之差的绝对值小于2．则乙胜．请问，这个游戏对甲乙两人公平吗？说明理由．

18．周末，甲乙两人相约去附近的山顶C处写生．甲从小山的正东方向A处出发，乙从小山正西方向的B处出发．已知A处的海拔高度为18米，B处的海拔高度比A处高30米，且A、B两地的水平距离为1048米．山坡AC的坡角为32°，山坡BC的坡度i＝．问：

（1）小山的海拔高度CE是多少米？

（2）甲乙两人到达山顶所走的路程相差多少米？（参考数据：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈）

19．某宾馆客房有60个房间供游客居住．旅游旺季，当每个房间的定价增加时，就会有一些房间空闲．具体数据如下表：

（2）对有游客入住的房间．宾馆需对每个房间每天支出15元的各种费用，同时为促进当地旅游业的蓬勃发展，市旅游局将对每个实际入住的房间予以每间每天奖励50元，当每天入住的房间数为30时，求宾馆每天的总利润．

20．一座古老的石拱桥的侧面形状可以用如图抛物线刻画，OB为水平面，距O点水平距高1米的AC处立着一个水泥柱加固桥梁，拱桥在距O点水平距离3米处达到最大高度9米．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）一只蜻蜓落在水泥柱左侧的拱桥内壁P处，且它飞到C点和A点的距离相同，求这只蜻蜓到水泥柱的水平距离．

21．如图，已知平行四边形ABCD．若M、N是ED上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．

（1）求证：四边形AMCN是矩形．

（2）△ABC满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．

22．为了支持精准扶贫项目，“蜜甜农场”网店专卖备受消费者青睐的“响水”大米．大米进价为每袋40元，当售价为每袋80元时，每月可销售100袋．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调在反映，销售单价每降1元，则每月可多销售5袋．该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．设每袋大米的售价为x元，每月的销售量为y袋．

（1）求出y与x的函数关系式．

（2）设该网店捐款后每月利润为w元，若要求进货总成本不超过5000元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

（3）为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，那么每袋大米的最合理的销售单价是多少？

23．小明是魔方受好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n＝）．

问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．

探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 　 　个小立方体组成．

探究二：如图6，该几何体有4个小立方休组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 　 　个长方体．

探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 　 　个长方体．

探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 　 　个长方体．

探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种枧图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 　 　个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 　 　．

24．已知：如图1，等腰△ABC中AB＝BC＝10，AC＝12，D是AC边的中点，点P沿着BD从B向D以每秒1的速度运动，同时，点Q沿着DA从D向A以同样的速度运动，设运动时间为t（0＜t＜6）．

（1）几秒时，PQ∥AB？

（2）存不存在某一时刻t，使得CP⊥PQ？若存在，请求出t：若不存在，请说明理由．

（3）如图2．点E是AB边的中点，在Q点运动的同时，过Q作QM∥DE交AB于M，连接PC、PE，设多边形CPEMQ的面积为y，请写出y与t的函数关系式；

（4）在第（3）问的条件下，若点A关于MQ的对称点是A’，请问，存不存在某一时刻，使得点A’恰好落在线段PQ上？若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．