湖北省宜昌市2014年5月高三模拟理科数学试题(word版有答案)

数  学（理工类）

(本试题卷共4页，共22题。满分150分，考试用时120分钟) 

★祝考试顺利★

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.若复数是纯虚数，其中是实数，则

  A.                  B.                  C.                  D. 

2.集合，，，则集合的个  

  数为

  A.8                   B.4                   C.2                   D.0

3.总体由编号分别为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取

方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的

第5个个体的编号为

4.函数有且仅有一个正实数零点，则实数的取值范围是

  A.             B.               C.或       D.或

5.函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在   

上的最小值为

  A.    B.    C.               D. 

6.给出下列四个结论：由曲线、围成的区域的面积为；  “”是“向量与向量平行”的充分非必要条件；命题“、都是有理数”的否定是“、都不是有理数”；函数的最小值等于。其中正确结论的个数为

A.1                   B.2                  C.3                   D.4

7.已知直线和双曲线相交于、两点，线段的中点为（与坐标原点不

重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，则

A.    B.    C.       D. 

8.某班班会准备从含有甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加时，丙不能参加，且甲、乙两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有

A.种              B.种             C.种              D.种

9.在三棱锥中，平面，，为侧棱上的一点，它的正视图和侧视图如图所示：

则下列命题正确的是

A.平面，且三棱锥

的体积为

B.平面，且三棱锥的体积为

C.平面，且三棱锥的体积为

D.平面，且三棱锥的体积为

10.设函数在区间上的导函数为,在区间上的导函数为,若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数” ．已知,若对任意满足的实数，函数在区间上为“凸函数”，则的最大值为

  A.                 B.                 C.                  D. 

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．其中15～16题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．

（一）必考题：（11～14题）

11.如图所示的程序框图的输出值，则输入值的取值

范围为________．

12. 若为正实数且满足，则

的最大值为________．

13.过点的直线与曲线相交于两点

，则线段长度的取值范围是________．

14.图中的三角形称为希尔宾斯三角形，在下列四个三角形中，黑

色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继

续对三角形着色.

（1）数列的通项公式_____________；

…

（2）若数列满足，记，则

的个位数字是_________．

（二）选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.

15.（几何证明选讲）如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆的半径为，则圆心到的距离为　　　　　　　． 

16.（坐标系与参数方程选讲）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若直线和曲线相切，则实数的值为_________．

三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17.（本小题满分12分）在△中，是边的中点，且，．

（1）求的值；

（2）求的值．

18.（本小题满分12分）第22届索契冬奥会期间，来自俄罗斯国际奥林匹克大学的男、女大学生共9名志愿者被随机地平均分配到速滑、冰壶、自由式滑雪这三个岗位服务，且速滑岗位至少有一名女大学生志愿者的概率是．

（1）求冰壶岗位至少有男、女大学生志愿者各一人的概率；

（2）设为在自由式滑雪岗位服务的男大学生志愿者的人数，求的分布列和期望．

19.（本题满分12分）如图，是以为直径的圆上异于的点，平面平面，，， 分别是的中点，记平面与平面的交线为．

（1）求证：直线平面；

（2）直线上是否存在点，使直线分别与平面、

直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存    在，请说明理由．

20.（本小题满分12分）已知数列的通项公式为，且数列的通项公式满足

，．

（1）试确定实数的值，使得数列为等差数列；

（2）当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列。设是数列的前项和，试求满足的所有正整数．

21.（本小题满分13分）设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点，、的焦点均在 

轴上，过的焦点F作直线，与交于A、B两点，在、上各取两个点，将其坐标

记录于下表中：

（2）已知是上的两点，若，求证：为定值；反之，当为此定值时，是否成立？请说明理由．

22．(本小题满分14分)已知函数，．

（1）求的单调区间；

（2）若的最小值为0，回答下列问题：

（ⅰ）求实数的值；

…

（ⅱ）已知数列满足,，记[]表示不大于的最大整数，求，求．

宜昌市2014届高三年级五月模拟考试

数学（理工类）参

命题：龚  伟（枝江一中）   审题：孙红波（当阳一中）  胡俊（秭归一中） 向立政（宜昌市教科院）

一、选择题

11、          12、              13、

14、（1）   （2）       15、                 16、 

三、解答题

17.解：（1）在△中，，

∴.        ……………… 4分

（2）由（1）知，，且，∴.  ……6分

∵是边的中点，∴.

         在△中，       ……8分

         解得.  由正弦定理得，

         ∴.       ………………………………12分

18.解：（1）记至少一名女大学生志愿者被分到速滑岗位为事件，则的对立事件为

“没有女大学生志愿者被分到速滑岗位”，设有女大学生人，，

那么

        即女大学生志愿者有3人，男大学生志愿者有6人        ……………………3分

        记冰壶岗位至少有男、女大学生志愿者各一人为事件

        则      …………………………………………6分

（2）的所有可能值为

             ……10分

     ∴的分布列为

19．（1）证明：分别为中点，，又

//平面EFA        …………………………………………………… 2分

        又BC平面ABC，平面EFA∩平面ABC=      …………………4分

又BC⊥AC，平面PAC∩平面ABC=AC，平面PAC⊥平面ABC

        ∴BC⊥平面PAC   ∴⊥平面PAC    …………………………………6分

  （2）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过垂直面的

直线为轴建立空间直角坐标系

则…………7分

，设，平面的法向量为

       则即

 令得到平面的一个法向量为   ……………………10分

       ＜＞|，|＜，＞|=

       依题意得=    

         ……12分

20.解：（1）当时，得，同理：时，得； 时，得，则由，得。

而当时，，得由，

故此时数列为等差数列。           …………………………………………6分

（2）由题意知， 

则当时，，不合题意，舍去；

当时，，所以成立；

当时，若，则，不合题意，舍去；

从而必是数列中的某一项，则

Tm=a1+2+…+2+a2+2+…+2+a3+2+…+2+a4+…+ak+2+…+2

       b1个        b2个       b3个               bk个

，         ………………9分

又，

所以，即，

所以，因为为奇数，

而为偶数，所以上式无解。

即当时，综上所述，满足题意的正整数仅有.  …………12分

21．解：（1）在椭圆上，在抛物线上，

：                          …………4分

（2）若P、Q分别为长轴和短轴的端点，则=     …………6分

若P、Q都不为长轴和短轴的端点，

设

联立方程，解得        …………8分

         同理，联立方程，解得；

综合可知为定值                          ………10分

反之，对于上的任意两点，当时，

设，，易得

；，

由得， 

即，亦即，……12分

所以当为定值时，不一定成立   ………………13分

22．解：（1）函数的定义域为，且．………………1分

当时，，所以在区间内单调递增；    …………2分

当时，由，解得；由，解得．

所以的单调递增区间为，单调递减区间为． ………………3分

综上述：时，的单调递增区间是；

                时，的单调递减区间是，单调递增区间是．…4分

（2）（ⅰ）由（1）知，当时，无最小值，不合题意；           …………5分

当时，       …………………………6分

令，则，

由，解得；由，解得．

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

故，即当且仅当x=1时， =0.

因此，．                   ………………………………………………8分

（ⅱ）因为，所以.

由得于是．因为，所以.

猜想当，时，．    ……………………………………10分

下面用数学归纳法进行证明．

当时，，故成立．    ………………………11分

假设当(，)时，不等式成立. 则当时，，

由（1）知函数在区间单调递增，

所以，又因为，．

故成立，即当时，不等式成立．

根据可知，当，时，不等式成立．  ……………13分

…

因此， =   ……………………14分