线性代数齐次方程组解法

按第一列展开，再将各列的公因子提出来

D=

         =(a2－a1)(a3－a1)…(ak－a1) 

得到的k－1阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为

于是 D=(a2－a1)(a3－a1)…(ak－a1) = 

因此，对于任意正整数n≥2，范德蒙德行列式的展开式都成立。      证毕

    例1.14  计算n阶三对角行列式：

Dn=

解  由行列式的性质1.4，将Dn的第一列的每个元看成两个元之和，得

   Dn=+

第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行，得

Dn=Dn－1+=Dn－1+1

反复利用上面的递推公式，得到

Dn=Dn－1+1=Dn－2+2=…=D1+n－1=2+n－1=n+1

例1.15  计算n阶行列式

Dn=  (ai≠b, i=1,2,…,n)

解  对于这个行列式，采用一种“加边”的技巧。

Dn=

第一行乘以（－1）加到其他各行上去，得

Dn=

第二列乘以加到第一列上去，第三列乘以加到第一列上去，依次类推，最后一列乘以加到第一列上去，得到

Dn=

              =

1.4  行列式的应用

1.4.1  克拉默法则

本小节以行列式为工具，研究解线性方程组的问题。设n个未知量n个方程的线性方程组为

         （1.18）

简记为

=bk   (k=1,2,…,n)              （1.19）

它的系数构成的行列式

D=                      (1.20)

称为方程组（1.18）的系数行列式。

定理1.7  如果方程组（1.19）的系数行列式不为零，则该方程组有唯一解：

         x1=,  x2=, …, xn=                    (1.21)

这里Dj(j=1,2,…,n)是把方程组的常数项b1,b2,…,bn依次替换系数行列式中的第j列元所得到的n阶行列式。

通常称这个定理为克拉默（G.Cramer）法则。

证明  取正整数1,2,…,n中任意一个为j，以A1j,A2j,…,Anj分别乘以方程组中第一，第二，…，第n个方程，然后相加，得

()x1+()x2+…+()xj+…+()xn  =                                                (1.22)

由性质1.13可知，方程左边xj的系数为D，而其它的xi的系数为零；方程右边恰好是用b1,b2,…,bn依次替换D中第j列每个元所得到的行列式Dj，因此有

Dxj=Dj

令j=1,2,…,n，就得到方程组

Dx1=D1, Dx2=D2,…,Dxn=Dn                  (1.23)

显然方程组（1.18）的解是（1.23）的解，而当D≠0时，方程组（1.23）有惟一解：

          x1=,  x2=, …, xn=              （1.24）

因此，方程组（1.18）最多有一组解。

将（1.24）代入（1.18）的第i个方程，得

= ()==bi  (i=1,2,…,n)

则（1.24）的解是（1.18）的解。而且是唯一解。                     证毕

例1.16  解线性方程组

解  系数行列式

  D = = 196

由于系数行列式不为零，所以可以使用克拉默法则，方程组有唯一解。此时

D1= = －54  D2= = 38

D3= = 80

则有

    用克拉默法则解一个有n个未知量、n个方程的线性方程组，需要计算n+1个n阶行列式，这样的计算量通常是相当大的，但克拉默法则在理论上具有重要意义。

1.4.2  拉普拉斯定理

行列式按任意一行（列）展开的方法可以推广到按若干行（列）展开。行列式按若干行（列）的展开式称为拉普拉斯展开式。

在n阶行列式D中任选k行和k列，位于这些行、列交叉处的元按原来顺序排成一个k阶行列式M，称为行列式D的k阶子式；而划去这k行k列后，剩余的元按原来的顺序排列成的n－k阶行列式N，称为M的余子式；如果k阶子式在D中所在的行、列的序号依次为，i1,i2,…,ik,j1,j2,…,jk,则把

称为M的代数余子式。

例如

D=

从中取第二、三行，第一、三列，交叉处元组成一个二阶子式，记为M；M的余子式记为N，具体写出来就是：

M=   N=

M的代数余子式为（－1）2+3+1+3N=－N

定理1.8  在n阶行列式中任取k行（列），则由这k行（列）的元所组成的所有的k阶子式与它的代数余子式的乘积之和，等于行列式的值。

通常把这个定理称为拉普拉斯（Laplace）定理，证明从略。

例1.17 利用拉普拉斯定理将下面的行列式按第一、二两行展开

D=

解  D中由第一、二两行的元组成的二阶子式共有六个

M1==3, M2==1, M3==0

M4==1,  M5==0,  M6==0

其中M1,M2,M4的代数余子式为

A1=(－1)1+2+1+2=13,  A2=(－1)1+2+1+3=4

A4=(－1)1+2+2+3=0

由拉普拉斯定理知

D=M1A1+ M2A2+ M3A3+ M4A4+ M5A5+ M6A6=3×13+1×4=43

由此可见，当选出的行（列）中所组成的k阶子式大部分都为零时，应用拉普拉斯定理计算行列式的值比较简单。

例1.18  计算n阶行列式

D=

解  先做n－2次相邻行的互换，使得最后一行换到第二行位置上；再做n－2次相邻列的互换，使最后一列换到第二列的位置上

D=(－1)n－2=

用拉普拉斯定理，可得

D=·=an－2(a2－b2)

1.4.3   方阵与行列式

行列式作为方阵的一个数字特征，具有如下性质（其中A，B为n阶方阵，为数）

性质1.14  detAT=detA

性质1.15  det(A)=ndet(A)

证明  设

A=

则

A=及det(A)= 

依据行列式的性质，将det(A)中每一行中的公因子提出，得到

         det(A)=n =ndet(A)                  证毕

性质1.16  设A、B为n阶方阵，则有

  det(AB)=(detA)·(detB)  (此性质称为行列式的乘法定理)       (1.25)

证明  设C=AB，并设A=(aij)n×n,B=(bij)n×n,C=(cij)n×n

构造2n阶行列式如下：

D=

根据拉普拉斯定理，把D按照前n行展开，有 D=(detA) ·(detB)

另一方面，对D中的后n列实施行列式的性质1.11，将第k列(1≤k≤n)乘以bkj加入到第n+j列中去，使得原来矩阵B位置上的每个元都变为零，得到

D=

其中cij=，即C=(cij)=AB

再用拉普拉斯定理，把D按照最后n行展开，有

 D=(－1)s·(detC)=(－1)s·(－1)n·(detC)

其中s=[(n+1)+(n+2)+…+2n]+（1+2+…+n）=n(2n+1), s+n=n(2n+2)为偶数。

所以 D=detC=det(AB)  故 det(AB)=(detA)·(detB)                     证毕

显然，行列式的乘法定理可以推广到有限个方阵相乘的情形，即

det(A1A2…Ak)=(detA1)·(detA2)…(detAk)

1.4.4  行列式和伴随矩阵与逆矩阵的关系

    前面给出了逆矩阵的概念以及用行初等变换求逆矩阵的方法，利用行列式还可给出判明可逆阵的一个简单条件，并给出逆阵的一个公式。为此，需要引入n阶矩阵A的转置伴随阵的定义。

定义1.9  对任意n阶方阵A=(aij)，则称由detA中每个元的代数余子式所构成的如下方阵：

       adjA =                      (1.25)

为A的转置伴随阵(adjugate matrix)或伴随矩阵，用记号A*表示。

定理1.8  设A是n阶矩阵，adjA为其转置伴随矩阵，则有

A(adjA)=(adjA)A=(detA)E                          （1.26）

证明  因为