广东省深圳市高级中学2015-2016学年高二上学期期中考试文科数学试卷

深圳市高级中学2015－2016学年第一学期期中测试

高二文科数学

命题人：朱琳     审题人：刘功盛

本试卷由二部分组成。第一部分：高一年级基础知识能力部分（占_  60  __分）；第二部分：本学期知识内容（占_  _90  _分），全卷共计   150   分。考试时间为    120   分钟。

注意事项：

1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。

第Ⅰ卷（本卷共60分）

一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的

1、已知集合，，则（   ）A

A．       B．          C.           D． 

2、函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　) B

A．(－1,1]           B．(0,1]        C．[1，＋∞)          D．(0，＋∞)

3、在同一个坐标系中画出函数的部分图象，其中，则下列所给图象中可能正确的是（     ）D

4、已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ）  C             A．        B．          C.       D． 

5、已知平面向量满足，，，若，则实数（  ）D

   A．         B．          C.        D． 

6、记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（    ）B

A．2              B．3          C．6             D．7

7、已知，，且，则的最大值是（　　）B

A．    B．    C．    D．

8、直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) C

A．1　　　　     B．2            C．4            D. 4

二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分

9、设D为不等式组表示的平面区域，区域D上

的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．

10、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长

为          . 

三、解答题：共1小题，共10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11、(本小题满分10分)

已知函数．

（Ⅰ）求的最小正周期；   （Ⅱ）求在区间上的最小值．

第Ⅱ卷（本卷共计90分）

一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的

12、设,则 “”是“直线与直线平行”的（    ）B

A．充分不必要条件    B． 必要不充分条件

C. 充要条件    D． 既不充分也不必要条件

13、双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)C

A．2            B．2              C．4                 D．4

14、曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)C

A．－9　　　　  B．－3              C．9                 D．15

15、已知直线和直线，抛物线上一动点到直线 和直线的距离之和的最小值是    （　　）B

A．        B．                 C．                D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分

16、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为          .4

17、已知.现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是            

解析：∵f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.依题意有，函数f(x)＝x3－6x2＋9x－abc的图像与x轴有三个不同的交点，故f(1)f(3)<0，即(1－6＋9－abc)(33－6×32＋9×3－abc)<0，∴00，f(3)＝－abc<0，故②③是对的．

三、解答题：共6小题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18、(本小题满分12分)

设命题：函数为减函数；命题：已知,当时，函数恒成立，如果∨为真命题，∧为假命题，求的取值范围．

解　∵指数函数数为减函数，∴0函数f(x)＝x＋>对∈[，2]恒成立，f(x)min＝，

<，得c>，即q真时，c>.

∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假．

①p真q假时，0故c的取值范围为019、(本小题满分12分)

设函数（），其中http://www.ks5u.com/ 

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；

解：当时，，得，且，    2分

http://www.ks5u.com/ 所以，曲线在点处的切线方程是，整理得

http://www.ks5u.com/ （Ⅱ）解：  http://www.ks5u.com/ 

令，解得或http://www.ks5u.com/ 由于，当变化时，的正负如下表：

20、(本小题满分12分)

河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？

解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为。将B（4,-5）代入得P=1.6

船两侧与抛物线接触时不能通过

则A(2,yA)，由22=-3.2 yA得yA = - 1.25

因为船露出水面的部分高0.75米

所以h=︱yA︱+0.75=2米

答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行

21、(本小题满分12分)

已知椭圆经过点，且其离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若为椭圆的右焦点，椭圆与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆相交于另一点A，且满足，求点A的坐标.

解：（1）因为椭圆经过点，所以.①

因为椭圆的离心率为，所以，即.②

联立①②解得，.所以椭圆的方程为.

（2）由（1）得，椭圆的方程为，所以.

设，则.③

因为，且，

所以，即.④

联立③④解得，或，所以或.

22、(本小题满分12分)

已知函数.

⑴ 求函数的单调增区间；

⑵ 记函数的图象为曲线，设点是曲线上两个不同点，如果曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，请说明理由.

解：（1）函数的定义域是. 

由已知得，. 

ⅰ 当时, 令,解得;函数在上单调递增                              

ⅱ 当时，

 ①当时，即时, 令,解得或;

函数在和上单调递增

 ②当时，即时, 显然，函数在上单调递增； 

③当时，即时, 令,解得或

函数在和上单调递增.

综上所述:⑴当时,函数在上单调递增

⑵当时,函数在和上单调递增

⑶当时,函数在上单调递增；

⑷当时,函数在和上单调递增.

(2)假设函数存在“中值相依切线”.

设,是曲线上的不同两点，且，

则，.

   .

曲线在点处的切线斜率，                                                              

依题意得：.

化简可得 ， 即=.           

 设 ()，上式化为：,

,令,.

因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立.

所以在内不存在,使得成立. 

综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”