北京师大附中2008-2009学年度第二学期期中考试高二数学试

本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题（分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

  1. 设曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为（    ）

A.                B. 

C.                D. 

  2. 函数上是减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A.            B.            C.        D. 

  3. 函数的单调增区间为（    ）

A.                B. 

C.        D. 

  4. 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这三个节目插入节目单中，那么不同插法的种数为（    ）

A. 504            B. 210        C. 336            D. 120

  5. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（    ）

A. 140种            B. 120种        C. 35种            D. 34种

  6. 若，则（    ）

A.            B.            C.            D. 

  7. 已知复数（    ）

A. 49            B. 7            C. 25            D. 5

  8. 已知，则a的值为（    ）

A. 1或            B.            C.        D. 1或

  9. 正三角形按一定的规则“挖洞”下列三个图形依次是此过程的挖前及前两次挖后的情形，则在第次挖洞后的图形中，阴影三角形的个数为（    ）

    A.            B.            C.            D. 

  10. 函数，其中是常数，其图像是一条直线，称这个函数为线性函数，对于非线性可导函数，在点附近一点x的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：，利用这一方法求的近似代替值（    ）

    A. 大于m        B. 小于m        C. 等于m        D. 与m的大小关系无法确定

二、填空题（分）：

  11. 函数的图象所围成的阴影部分（如图）的面积是_________。

  12. 若函数+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是__________。

  13. 等腰梯形ABCD中，上底CD=40，腰AD=40，则当AB=__________时，梯形ABCD的面积最大，最大值为___________。

  14. 矩形ABCD中，对角线AC、BD将其分为四个区域，用六种颜色给四个区域涂色，若每个区域只涂一种且相邻区域不同色，则共有不同的涂色方法_________种。

  15. 已知复数z满足，则复数__________。

三、解答题

  16. 用数学归纳法证明：。

  17. 设，用反证法证明：中至少有一个不小于。

  18. 设曲线C：在点M处的切线为l。

（1）求直线l的方程；

（2）若直线l与x轴，y轴所围成的三角形的面积为，求S（t）的最大值。

  19. 已知函数

（I）求的单调区间和值域；

（II）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围。

  20. 对于函数，若存在，使成立，则称的不动点。如果有且仅有两个不动点0和2。

（1）若函数上是减函数，求实数c的取值范围；

（2）已知各项为负的数列的前n项和为，且，求该数列的通项公式；

（3）在（2）的条件下，求证： 

［试题答案］

一、选择题

  1. D        2. C            3. D            4. A            5. D

  6. B        7. D            8. C            9. A            10. A

二、填空题

  11.                    12. 

  13. 80，        14. 630            15. 

三、解答题

  16. 证明：（1）当时，左边=1，右边

所以等式成立

（2）假设当时命题成立，即

所以，对一切正整数n，都有

  17. 证明：假设，那么

①+③得

与②矛盾，所以假设不成立，因此

  18. 略解：（1）直线l的方程为

（2）

  19. 解：对函数

令

当x变化时，的变化情况如下表：

（II）对函数求导，得

因为

因此当为减函数，从而当

又

任给，则

即

解（1）式得，

故的取值范围为

  20. 解答：（1）由

所以， 

由

因为函数上是减函数，所以

当

两式相减得

（3）

两边取对数得

设函数，则

所以函数