绝对值化简专题训练

绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 

　　一、根据题设条件

　　例1  设 化简 的结果是（   ）。

　　（A）   （B）   （C）   （D） 

　　思路分析  由 可知 可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．

　　解  

　　∴  应选（B）．

　　归纳点评  只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．

　　二、借助数轴

　　例2  实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式 的值等于（  ）．

　　（A）   （B）   （C）   （D） 

　　思路分析  由数轴上容易看出 ，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍．

　　解  原式 

　　∴  应选（C）．

　　归纳点评  这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：

　　1．零点的左边都是负数，右边都是正数．

　　2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．

　　3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．

　　三、采用零点分段讨论法

　　例3  化简 

　　思路分析  本类型的题既没有条件，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于 的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论．

解  令 得零点： ；

令 得零点： ，

把数轴上的数分为三个部分（如图）

　　①当 时, 

　　∴  原式 

　　②当 时， ，

　　∴  原式 

　　③当 时， ，

　　∴  原式 

　　∴ 

　　归纳点评  虽然 的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：

　　1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．

　　2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．

　　3．在各区段内分别考察问题．

　　4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．

　　误区点拨  千万不要想当然地把 等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果．

　　练习：

　　请用文本例1介绍的方法解答l、2题

　　1．已知a、b、c、d满足 且 ，那么 

　　2．若 ，则有（   ）。

　　（A）   （B）   （C）   （D） 

　　请用本文例2介绍的方法解答3、4题

　　3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子 化简结果为（   ）．

　　（A）   （B）   （C）   （D） 

　　4．有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子， 中负数的个数是（  ）．

　　（A）0  （B）1  （C）2  （D）3

　　请用本文例3介绍的方法解答5、6题

　　5．化简 

　　6．设x是实数， 下列四个结论中正确的是（   ）。

　　（A）y没有最小值

　　（B）有有限多个x使y取到最小值

　　（C）只有一个x使y取得最小值

　　（D）有无穷多个x使y取得最小值