2020初中数学中考专题复习——四边形中的线段最值问题专项训练3...

1．如图，在矩形中，点是的中点，点是上的一动点．若，，则的值可能是（ ）

A．3.2 ．3.5 ．3.6 ．3.8

2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（　　）

A． ． ． ．

3．线段AB上有一动点C（不与A，B重合），分别以AC，BC为边向上作等边△ACM和等边△BCN，点D是MN的中点，连结AD，BD，在点C的运动过程中，有下列结论：①△ABD可能为直角三角形；②△ABD可能为等腰三角形；③△CMN可能为等边三角形；④若AB=6，则AD+BD的最小值为. 其中正确的是（　　）

A．②③ ．①②③④ ．①③④ ．②③④

4．如图，矩形中，，，点为矩形内一动点，且满足，则线段的最小值为（ ）

A．5 ．1 ．2 ．3

5．如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM＋PN的最小值是（ ）

A． ． ． ．

6．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD交于点O, N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=3, P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM-PN值为

A．1 ． ．2 ．

7．在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、G共线，点C在BE上，∠DAB＝60°，AG＝8，点M，N分别是AC和EG的中点，则MN的最小值等于（　　）

A．2 ．4 ．2 ．6

8．如图，正方形ABCD的面积为，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）

A．6 ．8 ．9 ．12

9．如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD上的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是（ ）

A． ．3

C． ．5

10．如图，是长方形内部的动点， ，的面积等于9，则点到两点距离之和的最小值为__________. 

11．如图，正方形中，，点为的中点，点在上，且，点为直线上一动点，的最大值是_________．

12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为_____．

13．如图，菱形ABCD边长为6，∠BAD＝120°，点E、F分别在AB、AD上且BE＝AF，则EF的最小值为_____，

14．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则△PAB周长的最小值_____

15．如图，在菱形中，，，是上一点，，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，的对应点．当的长度最小时，则的长为_______

16．以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是     ．

17．如图，在△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，E为边AB上一点，BE=6,AE=2，P为对角线BD上一个动点，则PA+PE的最小值是_______．

18．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是       ．

19．在平面直角坐标系中，点是原点，四边形是矩形，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为.

（1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；

（2）如图②，当点落在线段上时，与交于点.求点的坐标；

（3）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）. 

20．如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，.

（1）若、、三点共线，求的长；

（2）求的面积的最小值.

参

1．A

【解析】

【分析】

根据，然后判断出最小时，的值最小，再根据垂线段最短解答.

【详解】

解：∵，

∴最小时，的值最小，

由垂线段最短可知当时，的值最小，最小值为．

当点在点时，．

∴的取值范围为，

故选A．．

【点睛】

本题考查了轴对称−最短路线问题，垂线段最短.得出最小时，的值最小是解决问题的关键.

2．C

【解析】

【分析】

根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将PE+PC转化为PE+ AP，再根据两点之间线段最短得知AE为PE+PC的最小值,进而求AE的值即可得出答案．

【详解】

解：∵四边形ABCD为菱形，

∴A、C关于BD对称，

∴连AE交BD于P，

则PE+PC＝PE+AP＝AE，

根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值．

∵∠ABC＝60°，AB=BC

∴△ABC为等边三角形，

又∵BE＝CE ，

∴AE⊥BC，

∴AE＝＝．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查最短距离问题，掌握勾股定理，等边三角形的性质及菱形的对称性是解题的关键．

3．D

【解析】

【分析】

根据题意并结合图形，我们可以得出当C为AB的中点时，可判断所给结论正确与否．

【详解】

解：

当C为AB中点时，有图如下，

∵与为等边三角形，

∵C为AB中点，

∴AM=AC=MC=NC=BC=NB，MD=ND，

∵

∴

∴为等边三角形，③正确；

∵

∴

∴AD=BD，△ABD此时为等腰三角形，②正确；

当C为AB中点时，AD+BD值最小，

∵D为MN的中点，

∴CD为MN的垂直平分线，

∴，∵AB=6，

∴

∴

∵AD=BD

∴AD+BD=，④正确；

若△ABD可能为直角三角形，则，

∴CD为AB的垂直平分线

∴

∴AC=CD，与所求结论不符，①错误．

故选：D．

【点睛】

本题考查的知识点是等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理及性质，弄清题意，画出当C为AB中点时的图形是解题的关键．

4．B

【解析】

【分析】

通过矩形的性质和等角的条件可得∠BPC=90°，所以P点应该在以BC为直径的圆上，即OP=4，根据两边之差小于第三边及三点共线问题解决.

【详解】

如图，∵四边形ABCD为矩形，

∴AB=CD=3，∠BCD=90°,

∴∠PCD+∠PCB=90°,

∵,

∴∠PBC+∠PCB=90°,

∴∠BPC=90°,

∴点P在以BC为直径的圆⊙O上，

在Rt△OCD中，OC=,CD=3，

由勾股定理得，OD=5，

∵PD≥ ,

∴当P,D,O三点共线时，PD最小，

∴PD的最小值为OD-OP=5-4=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查矩形的性质，勾股定理，线段最小值问题及圆的性质，分析出P点的运动轨迹是解答此题的关键.

5．D

【解析】

【分析】

作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP=NQ最小，NQ为所求，当NQ⊥AB时，NQ最小，继而利用面积法求出NQ长即可得答案.

【详解】

作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP=NQ最小，NQ为所求，当NQ⊥AB时，NQ最小，

∵四边形ABCD是菱形，AC=6，DB=8，

∴OA=3，OB=4，AC⊥BD，

在Rt△AOB中，AB==5，

∵S菱形ABCD=，

∴，

∴NQ=，

∴PM+PN的最小值为，

故选D.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．

6．A

【解析】

【分析】

作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，依据PM-PN=PM-PN'≤MN'，可得当P，M，N'三点共线时，PM-PN'= MN'，再求得，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'=90°，再根据△N'CM为等腰直角三角形，即可得到CM=MN'=1,即PM-PN=1.

【详解】

解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，

根据轴对称性质可知，PN=PN'，

∴PM-PN=PM-PN'≤MN'，

当P，M，N'三点共线时，PM-PN'= MN'，

∵正方形边长为4，

∴AC=AB=4，

∵O为AC中点，

∴AO=OC=2，

∵N为OA中点，

∴ON=，

∴ON'=CN'=，

∴AN'=3，

∵BM=3，

∴CM=AB-BM=4-3=1，

∴

∴PM∥AB∥CD，∠CMN'=90°，

∵∠N'CM=45°，

∴△N'CM为等腰直角三角形，

∴CM=MN'=1，

即PM-PN=1，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

7．A

【解析】

【分析】

连接BD、BF，延长AC交GE于H，连接BH，证明四边形BNHM是矩形，得出MN=BH，由直角三角形的性质得出GH，AH的长，当BH⊥AG时，BH最小，由直角三角形的性质得出BH的长，即可得出答案．

【详解】

连接BD、BF，延长AC交GE于H，连接BH，如图所示：

∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∠DAB=60°，∴AD∥BC∥GF，AC⊥BD，BF⊥GE，BE=BG，AM=CM，EN=GN，∴∠GAH=30°，∠EBG=∠DAB=60°，∴△BEG是等边三角形，∴∠BGE=60°，∴∠AHG=90°，∴四边形BNHM是矩形，GHAG=4，AHGH=4，∴MN=BH，当BH⊥AG时，BH最小．

∵∠GAH=30°，∴BHAH=2，∴MN的最小值=2．

故选A．

【点睛】

本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及线段最短问题；熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键．

8．B

【解析】

【分析】

先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知BE＝AB＝8，连结BP，依据正方形的对称性可知PB＝PD，则PE+PD＝PE+BP．由两点之间线段最短可知：当点B、P、E在一条直线上时，PE+PD有最小值，最小值为BE的长．

【详解】

连结BP．

∵四边形ABCD为正方形，面积为，

∴正方形的边长为8，

∵△ABE为等边三角形，

∴BE＝AB＝8．

∵四边形ABCD为正方形，

∴△ABP与△ADP关于AC对称．

∴BP＝DP．

∴PE+PD＝PE+BP．

由两点之间线段最短可知：当点B、P、E在一条直线上时，PE+PD有最小值，最小值＝BE＝8．

故选：B．

【点睛】

本题考查的是正方形的性质和轴对称−最短路线问题，熟练掌握求最短路线问题的方法是解题的关键．

9．D

【解析】

【分析】

作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，根据菱形的性质求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．

【详解】

解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，

即Q在AB上，

∵MQ⊥BD，

∴AC∥MQ，

∵M为BC中点，

∴Q为AB中点，

∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，

∴BQ∥CD，BQ=CN，

∴四边形BQNC是平行四边形，

∴NQ=BC，P是BD中点，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CP=AC=3，BP=BD=4，

在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，

即NQ=5，

∴MP+NP=QP+NP=QN=5，

故选D．

【点睛】

本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．

10．

【解析】

【分析】

根据三角形的面积，计算出三角形BPC的高，由此得出P点的运动轨迹是平行于BC的线段MN上，找到C点关于MN的对称点E，连接BE，BE的长度即为，此时线段最短.

【详解】

解：∵的面积等于9,BC=6，

∴PE=9×2÷6=3，

即△BPC得高为3，

P点在长方形内部且平行于BC的线段MN上，

CM=3，延长CD到E使ME=MC，此时PC=PE

连接BE交MN与点P此时最短，且=BE

在Rt△BCE,

所以BE=

故答案为

【点睛】

本题考查了特殊平行四边形动点问题，求线段最值，解决本题的关键是熟练掌握最短路径问题模型，根据题意找到切入点，能够正确运用勾股定理计算直角三角形中的边长问题.

11．

【解析】

【分析】

取CD的中点H，根据题意可知点E,H关于AC对称，连接FH并延长交直线AC于一点G′，连接EG,则EG′=HG′，此时FG′-EG′=FH，FH即为FG-EG的最大值.

【详解】

解：取CD的中点H，

∵四边形ABCD为正方形，点E 为BC中点，

∴易得点E,H关于AC对称，

连接FH并延长交直线AC于一点G′，连接EG′,根据对称性可知EG′=HG′，

此时FG′-EG′=FH，

根据三角形中两边之差小于第三边可知，FH为FG-EG的最大值.

又∵DF=2，AB=CD=6，H为CD中点，∴DH=3，

在Rt△DFH中，根据勾股定理可得，FH=.

即FG-EG的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

此题考查正方形的性质，以及轴对称的性质，最值问题一般通过轴对称进行转化，通过三角形的三边关系找出最大（小）值.

12．

【解析】

【分析】

连接MO并延长交BC于P，则此时，PM﹣PO的值最大，且PM﹣PO的最大值＝OM，根据全等三角形的性质得到AM＝CP＝3，OM＝OP，求得PB＝1，过M作MN⊥BC于N，得到四边形MNCD是矩形，得到MN＝CD，CN＝DM，根据勾股定理即可得到结论．

【详解】

解：∵在矩形ABCD中，AD＝4，MD＝1，

∴AM＝3，

连接MO并延长交BC于P，

则此时，PM﹣PO的值最大，且PM﹣PO的最大值＝OM，

∵AM∥CP，

∴∠MAO＝∠PCO，

∵∠AOM＝∠COP，AO＝CO，

∴△AOM≌△COP（ASA），

∴AM＝CP＝3，OM＝OP，

∴PB＝1，

过M作MN⊥BC于N，

∴四边形MNCD是矩形，

∴MN＝CD，CN＝DM，

∴PN＝4﹣1﹣1＝2，

∴MP＝，

∴OM＝，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

13．3

【解析】

【分析】

连接AC，根据菱形的性质得到∠B＝60°，AB＝BC，推出△ABC是等边三角形，得到AC＝BC，∠B＝∠CAF＝60°，根据全等三角形的性质得到CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，求得△CEF是等边三角形，得到EF＝CE，于是得到当CE⊥AB时，CE最小，即EF最小，解直角三角形即可得到结论．

【详解】

解：连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，

∴∠B＝60°，AB＝BC，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC＝BC，∠B＝∠CAF＝60°，

∵BE＝AF，

∴△BCE≌△ACF（SAS），

∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，

∴∠ECF＝∠ACB＝60°，

∴△CEF是等边三角形，

∴EF＝CE，

∴当CE⊥AB时，CE最小，即EF最小，

∵CE⊥AB，

∴∠CEB＝90°，

∵∠B＝60°，

∴CE＝BC＝3，

∴EF的最小值为3，

故答案为：3．

【点睛】

本题主要结合等边三角形的判定及性质考查线段长度的最小值，找到当CE⊥AB时，CE最小，即EF最小是解题的关键.

14．10+2．

【解析】

【分析】

首先由S△PAB＝S矩形ABCD，得到动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离，然后在Rt△ABE中，由勾股定理可求得BE的值，继而求得答案.

【详解】

设△ABP中AB边上的高是h．

∵S△PAB＝S矩形ABCD，

∴AB•h＝AB•AD，

∴h＝AD＝4，

∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．

在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，

∴BE＝，

即PA+PB的最小值为．

∴△PAB周长的最小值＝10+，

故答案为：10+．

【点睛】

本题考查了轴对称－最短路线问题，还考查了三角形的面积、矩形的性质、勾股定理以及两点之间线段最短的性质，得出动点P所在的位置是解题的关键.

15．7

【解析】

【分析】

由A′P=3可知点A′在以P为圆心以PA′为半径的弧上，故此当C，P，A′在一条直线上时，CA′有最小值，过点C作CH⊥AB，垂足为H，先求得BH、HC的长，则可得到PH的长，然后再求得PC的长，最后依据折叠的性质和平行线的性质可证明△CQP为等腰三角形，则可得到QC的长．

【详解】

解：如图所示：过点C作CH⊥AB，垂足为H．

在Rt△BCH中，∠B=60°，BC=8，则BH=BC=4，CH=sin60°•BC=．

∴PH=1．

在Rt△CPH中，依据勾股定理可知：PC= 

∴由翻折的性质可知：∠APQ=∠A′PQ．

∵DC∥AB，

∴∠CQP=∠APQ．

∴∠CQP=∠CPQ．

∴QC=CP=7．

故答案为：7．

【点睛】

本题主要考查的是菱形的性质、勾股定理的应用，翻折的性质、等腰三角形的判定，判断出CA′取得最小值的条件是解题的关键．

16．

【解析】

【分析】

证△COA≌△DOB，推出等腰直角三角形AOB，求出AB=OA，得出要使AB最小，只要OA取最小值即可，当OA⊥CD时，OA最小，求出OA的值即可．

【详解】

解：如图，

∵四边形CDEF是正方形，

∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD，

∵AO⊥OB，

∴∠AOB=90°，

∴∠CAO+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，

∴∠COA=∠DOB，

∵在△COA和△DOB中

，

∴△COA≌△DOB，

∴OA=OB，

∵∠AOB=90°，

∴△AOB是等腰直角三角形，

由勾股定理得：AB== OA，

要使AB最小，只要OA取最小值即可，

根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，

∵正方形CDEF，

∴FC⊥CD，OD=OF，

∴CA=DA，

∴OA=CF=1，

即AB=

【点睛】

本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质，垂线段最短等知识点的应用，关键是求出AB=OA和得出OA⊥CD时OA最小，题目具有一定的代表性，有一定的难度．

17．

【解析】

【分析】

根据题干要求PA+PE的最小值，作A关于BC的对称点A’，连接A’E，A’E的值即是PA+PE的最小值.

【详解】

解：作图如下，作A关于BC的对称点A’，连接A’E，A’E的值即是PA+PE的最小值，

∠BAC=90度，AB=AC，且BE=6,AE=2，可得,A’B=AC=AB=6+2=8,

利用勾股定理求得A’E= ，即PA+PE的最小值是.

【点睛】

本题考查线段和最小值或最短路径问题，根据对称性以及两点间线段最短结合勾股定理进行分析求值.

18．.

【解析】

试题分析：要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．

试题解析：如图，连接AE，

∵点C关于BD的对称点为点A， 

∴PE+PC=PE+AP，

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，

∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点，

∴BE=1，

∴AE=．

考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．

19．（1）点的坐标为；（2）点的坐标为；（3）.

【解析】

【分析】

（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题；

（2）设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；

（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；

【详解】

解：（1）如图①中，

，，

，，

四边形是矩形，

，，，

矩形是由矩形旋转得到，

，

在中，，

，

．

（2）如图②中，

由四边形是矩形，得到，

点在线段上，

∴，

由（1）可知，，又，，

∴．

∴，

又在矩形中，，

，

，

，设，则，

在中，，

，

，

，

，．

（3）如图③中，当点在线段上时，的面积最小，最小值，

当点在的延长线上时，△的面积最大，最大面积．

综上所述，．

【点睛】

本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

20．（1）3；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用勾股定理求出AO长，易得AE长，由正方形的性质利用SAS可证，根据全等三角形对应边相等可得结论；

（2）过点作于点，当三点共线，最小，求出EH长，根据三角形面积公式求解即可.

【详解】

（1）由旋转得：，，

∵是边的中点，∴.

在中，.

∴.

∵四边形是正方形，

∴，，

∴，

即，

∴.

在和中

∴.

∴.

（2）由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动.

过点作于点.

∵，

∴

当三点共线，最小，.

∴.

【点睛】

本题是正方形与三角形的综合题，涉及的知识点主要有正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练的利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键.