《数学分析III》期末考试卷5及 参

《数学分析Ш》

期末试卷5 参及评分标准

一、判断题(正确的请在后边的括号内打“○”，错误的打“ ”，每小题 4 分，共 20 分)

1、×       2、×       3、 O        4、×        5、O  

二、填空题(每小题4分，共 24 分)

1、定义域D={}；      2、；  

3、；               4、=；

5、；                      6、。

三、 计算题（每小题6分，共30分）

1、求在原点的二阶偏导数。

   解：  ………………………2分

                   …………………………………………4分

        ……………………6分

2、设，计算。

  解：，，   ………………………………3分

          ……………6分

3、

解：验证

在区域D=（）上连续。………………2分

   则   …………………………4分

=4ln4-2ln3-1………………………………………………6分

4、计算，其中为三点A（1，0，0），B（0，1，0），C(0,0,1)构成的三角形。

解：三点A（1，0，0），B（0，1，0），C(0,0,1)构成的三角形的方程为………………2分

则  =。………………6分

5、，其中为球面的外侧。

解： =3………………3分

=3=3=……………………6分

四、应用题（每小题5分，共10分）

1、求球面与锥面围成的体积V。

解：联立方程得，………………2分

因此

V=。………5分

2、求曲面上与原点最近的点的坐标。

解：曲面上一点到原点距离为

……………………2分

  ＝……………………………………4分

故点是该曲面上与原点最近的点，其距离为1。……………………5分

五、证明题(每小题8分，共16分)

1、设函数=，证明在点不可微。

证明： 

   …………2分

       ………………………………………………4分

因此不存在。……8分

2、设为连续函数且

证明

证明：令则区域D化为区域：，； ；……………………………………2分

因此

………………………………5分

…………………………8分

附加题（10分）

设，，求在

的表达式。

     解：将看成的函数，对原式求微分得

；（1）

。（2）……………………3分

将点，代入可得

  ，…………………………6分

再对（1）（2）微分，代入值得

    …………………………10分