第11章 曲线积分与曲面积分

（扩展）对弧长曲线积分的应用

2对坐标的曲线积分

3格林公式及其应用

4对面积的曲面积分

课后典型题

1对弧长的曲线积分

1复习

之前已经学过计算曲线长度的积分

（1）对于y=y(x)，有 

（2）对于参数方程有 

（3）对于极坐标方程是，转成直角坐标，则。代入

2曲线积分的概念

上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。当然如果密度均匀为1，则求的弧长积分就是弧长。如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。

对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。

扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L的密度，求得的结果就是空间的线质量。

定义： 

3计算方法

计算步骤

1画出图形

2写出L的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限）

3由L类型写出对应ds的表达式

4因被积函数f(x,y)的点x，y在L上变动，因此x，y必须满足L的方程。即把L中的x，y代入被积函数f(x,y)中。

5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。

注，二重积分中xy在投影域D内动，而被积函数的xy在L上动，故(x，y)必须满足L。如，L的方程y=k,则（保留。还不太懂）

参数方程

设曲线有参数方程，则有：

显式方程

设曲线为，则有：

设曲线为，则有：

极坐标方程

设曲线为则有：

注：常用，半径R的圆弧对应 

空间曲线方程

设曲线为空间曲线，则有：

4、对称性：见重积分总结

5、特别性质

设在L上f(x,y)<=g(x,y)，则，特别的，有

此性质不能用于第二类曲线积分

扩展 对弧长曲线积分的应用

1求柱面面积

2求曲线的质心、转动惯量（其实和二重积分一样，完全可以自己推导）

质心坐标： 、

转动惯量：I=mr^2,因此有 

3变力沿曲线做的功

设平面力场的力为求该力沿着曲线L从a到b所做的功。

对于直线的路径ab来说功的大小是（这里有两个特点：1路径是直线2力的方向和位移的方向相同）

4、平面流速场面积和流量计算

5、平面环流场面积计算

6、特别性质

第二类曲线积分不具有此性质。其证明比较简单，看课本。

2对坐标的曲线积分

1、对坐标的曲线积分的定义：

对坐标的曲线积分，分为对x坐标和y坐标的曲线积分，两者合在一起，为：

2、计算方法：化为定积分

求解曲线积分时，最好先用格林公式看看是否与路径有关？

①作出L的图形，标出L路径的方向

②写出L的方程,并指出起点和终点的参数注意，并不分谁大谁小。

③把分别代入被积表达式，α为下限，β为上限。

注意：仍然有被积函数的（x,y）须满足L方程。

空间曲线计算必须化为参数方程来计算

同样的，在计算时，算圆能用直角坐标很难，用极坐标就很简单

3、第一类曲线积分和第二类曲线积分的区别

不同点：第一类曲线积分是对弧长的曲线积分，其被积函数f(x,y)仅是一个数量值。而第二类曲线积分是对坐标的曲线积分，其被积函数既有大小，又有方向。

相同点：第二类曲线积分可以化为第一类曲线积分

在力场中，沿路径L从A到B，第一类曲线积分和第二类都是可以计算的。有：

4、第一类和第二类曲线积分的互相转换

为了能消去dx,dy,得到第一类曲线积分的ds，我们将x，y改写设为参数方程。设，则

设，则代表着L上某点的切线方向。而、则就是切线方向的单位向量。

若从切线方向上考虑，则、，因此可以改为

若设，则结果也可以改为而这种在转换时更方便常用一些。（见典型例题）

格林公式及其应用

文中全部的P，Q都代表P(x,y)，Q(x,y)

格林公式定理：

一个光滑的闭曲线L围成了一个D区域。设P（x,y）,Q(x,y)都存在一阶连续偏导数，那么则有：

格林公式对L所围成的形状没有要求，只要求L是一条正向的闭曲线。（正向即走在该路径上，左手边是被积域）

注意，被积P，Q不能在定义域内出现奇点，出现了，就是不可偏导的了。那么怎么办？一般使用挖洞法。

上式是二重积分与第二类曲线积分的关系。经过推导还有与第一类曲线积分的关系：

若令n为下图向量，则有：

格林公式的求解考点

使用格林公式的情况：

格林公式使求曲线积分和二重积分可以互换，因此在求曲线积分（多为第二类）或者二重积分时又多了一个格林公式这个方法。注意，曲线积分第一类又可以化为第二类，如果这样考，可能会综合一些。（当然曲线第一类也有直接跟格林公式互换的方法（见上））

(加边法)求非封闭曲线的第二类曲线积分：

可以加一条边成封闭曲线，再用格林公式算。算完后再减去加上的那条边的第二类曲线积分。注意：一般加的都是一些简单的直线，如加x=a或y=a等。这样减它的第二类曲线积分时非常简单，很多步都可以化为0.

（挖洞法）求闭曲线内含奇点的积分：

那么挖一个什么形状的洞呢？一般做的都是让出现奇点的部分化为常数。如就做一个分母一样函数的椭圆。做一个

格林公式的应用

1、求闭区域的面积

显然，令即可。于是，可选P=-y,Q=x，得，于是求出面积。

注，该公式适合求边界曲线是参数方程的形式。已知边界曲线参数方程，求面积用此公式。

曲线积分与路径无关的充要条件：

曲线积分结果与路径无关，是指只与起点终点有关。其物理意义就是变力做功何时与路径无关？

设L1与L2是起点终点相同的两条不同路径，则在平面连通域内与路径无关的充要条件是，即绕闭曲线一周，曲线积分结果为0，则就与路径无关。这个方法对任何连通区域均有效。但是下面的定理仅对单连通域有效：

定理：在一个单连通域G内，的曲线积分与L路径无关的充要条件是：

因为如果等于0，则闭曲线就等于0。之所以用单连通区域，因为单连通域内一定存在偏导数。复连通区域内可能含有奇点，无法满足条件。

求解曲线积分时，最好先用格林公式看看是否与路径有关？

Pdx+Qdy是某函数的全微分的条件

设，显然对应相等，，而（必要条件须构造亦可证），因此，是u(x,y)全微分的充要条件依旧是：

当然，前提是一阶连续偏导数存在，因此仍然仅在单连通域内有效。从式中可见，存在是u(x,y)的全微分的充要条件与坐标曲线积分路径无关的充要条件是一样的。因此，与积分路径无关。

若存在这个函数，那么如何求得这个函数u(x,y)?

根据上例证明时构造的，可求

因为构造出来的存在，因此满足积分与路径无关，因此，自己可以选择折线进行积分，这样每条横或竖的折线总能有dx或dy=0。如果x0，y0可以任意选，一般选择原点（得到0，0处的特解）。如果不选择原点，则结果与选择原点的结果相差一个常数C，有

这种上下限是二元的积分，按给定的具体路径积。像我们做的路径无关的，自己定制了横竖的折线去积的，之所以能导出后面的式子，是因为每条直线分别积，一个直线消去了dx=0，一个直线消去了dy=0

（注：若要计算

其实只要不跳步的用公式，而是自己画图认真算算，是不会错的，就怕背公式，还不熟，就错了）

总结1：曲线积分与路径无关的等价条件

设是连通的开区域D上的有连续偏导数的向量场，则以下四个条件是等价的：

1曲线积分与路径无关

2对D内任何封闭的曲线L均有

3是某函数u（x，y）的全微分，即

4 是势场（梯度场）：即存在u(x,y)使得

5若D是单连通区域，则以上四个条件等价于

总结2求坐标曲线积分的方法

1先看是否，若是，说明路径无关，故可以自己选一条简单的折线积分

2若与积分路径有关，但比较简单如常数，则可以用格林公式转换二重积分计算。（非闭区域可以加边法）

3如果12均难以满足，只能转换为定积分慢慢求了。

全微分方程的解

遇到求解这个方程。如果恰有，说明存在u(x,y)，使得，上面求u(x,y)已经说过，若存在u(x,y)，则通解是u(x,y)=C

因此，通解为

其中x0，y0自己选一个恰当的。和上面的一样。

4对面积的曲面积分

1对面积的曲面积分求的是空间曲面的质量

（第一类曲面积分）其公式是简单的，二重积分中已经学过求空间曲面的面积，那时候没有被积函数，如果添加一个的话，就求得了空间曲面的质量。

显然，也可以投影到yoz平面或者xoz平面，公式做相应更改即可。

课后典型题

注意，F的表达式如何求？

答案：k(a^2+b^2)/2(见课本P198)