2016届山东省潍坊市高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（2015秋•潍坊期中）若集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=coskπ，k∈Z}，则∁MN=（　　）

A．∅    B．0    C．{0}    D．{﹣1，1}

2．（5分）（2015秋•潍坊期中）已知命题p：∀x＞1，logx＞0，命题q：∃x∈R，x3≥3x．则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∨q    B．p∨（￢q）    C．p∧（￢q）    D．（￢p）∧q

3．（5分）（2016•大庆一模）已知数列{an}和{bn}都是等差数列，若a2+b2=3，a4+b4=5，则a7+b7=（　　）

A．7    B．8    C．9    D．10

4．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

5．（5分）（2015秋•潍坊期中）函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（　　）

A．（0，）    B．（，）    C．（，）    D．（，1）

6．（5分）（2016•福安市校级模拟）《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，估算出每天多织的布的布约有（　　）

A．0.55尺    B．0.53尺    C．0.52尺    D．0.5尺

7．（5分）（2015秋•潍坊期中）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（　　）

A．﹣1    B．﹣    C．﹣1或﹣    D．2

8．（5分）（2015秋•长春校级期末）函数y=（x+2）ln|x|的图象大致为（　　）

A．    B．    C．    D．

9．（5分）（2015秋•潍坊期中）如图，在△ABC上，D是BC上的点，且AC=CD，2AC=AD，AB=2AD，则sinB等于（　　）

A．    B．    C．    D．

10．（5分）（2015秋•巴彦淖尔校级期末）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx，若x=1是f（x）的极大值点，则a的取值范围为（　　）

A．（﹣1，0）    B．（﹣1，+∞）    C．（0，+∞）    D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．（5分）（2015秋•长春校级期末）（1﹣2sin2）dx=______．

12．（5分）（2015秋•潍坊期中）不等式|x|﹣|x﹣3|＜2的解集为______．

13．（5分）（2015秋•潍坊期中）函数f（x）=cos（x+2φ）+2sinφsin（x+φ）的最大值为______．

14．（5分）（2015秋•潍坊期中）把数列{3n}（n∈N*）中的数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示三角形表：

设a（i，j）（i，j∈N*）是位于从上往下第i行且从左往右第j个数，则a（37，6）=______．

15．（5分）（2015秋•潍坊期中）已知定义域为R的奇函数满足f（x+4）=f（x），且x∈（0，2）时，f（x）=ln（x2+a），a＞0，若函数f（x）在区间[﹣4，4]上有9个零点，则实数a的取值范围为______．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（12分）（2015秋•潍坊期中）如图，D、E分别是△ABC的边BC的三等分点，设=m，=n，∠BAC=．

（1）用、分别表示，；

（2）若•=15，||=3，求△ABC的面积．

17．（12分）（2015秋•潍坊期中）设p：A={x|2x2﹣3ax+a2＜0}，q：B={x|x2+3x﹣10≤0}．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）当a＜0时，若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．

18．（12分）（2015秋•潍坊期中）已知函数f（x）=sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为．

（Ⅰ）求f（）的值；

（Ⅱ）将f（x）的图象上所有点向左平移m（m＞0）个长度单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），当m取得最小值时，求g（x）的单调递增区间．

19．（12分）（2015秋•长春校级期末）某公司生产一批A产品需要原材料500吨，每吨原材料可创造利润12万元．该公司通过设备升级，生产这批A产品所需原材料减少了x吨，且每吨原材料创造的利润提高0.5x%；若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的B产品，每吨原材料创造的利润为12（a﹣x）万元（a＞0）．

（Ⅰ）若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产该批A产品的利润，求x的取值范围．

（Ⅱ）若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，求a的最大值．

20．（13分）（2015秋•潍坊期中）已知递增等比数列{an}，满足a1=1，且a2a4﹣2a3a5+a4a6=36．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=log3an+，求数列{an2•bn}的前n项和Sn；

（3）在（2）的条件下，令cn=，{cn}的前n项和为Tn，若Tn＞λ恒成立，求λ的取值范围．

21．（14分）（2015秋•潍坊期中）己知函数f（x）=xlnx．

（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）对∀x≥1，f（x）≤m（x2﹣1）成立，求实数m的最小值；

（3）证明：1n．（n∈N*）

2015-2016学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（2015秋•潍坊期中）若集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=coskπ，k∈Z}，则∁MN=（　　）

A．∅    B．0    C．{0}    D．{﹣1，1}

【分析】化简集合N，求出它在M中的补集．

【解答】解：∵集合M={﹣1，0，1}，

N={x|x=coskπ，k∈Z}={x|x=1或x=﹣1}={1，﹣1}，

∴∁MN={0}．

故选：C．

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．

2．（5分）（2015秋•潍坊期中）已知命题p：∀x＞1，logx＞0，命题q：∃x∈R，x3≥3x．则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∨q    B．p∨（￢q）    C．p∧（￢q）    D．（￢p）∧q

【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．

【解答】解：关于命题p：∀x＞1，logx＞0，

则0＜x＜1，命题p是假命题；

关于命题q：∃x∈R，x3≥3x，则

是假命题，

故选：B．

【点评】本题考查了对数函数、指数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．

3．（5分）（2016•大庆一模）已知数列{an}和{bn}都是等差数列，若a2+b2=3，a4+b4=5，则a7+b7=（　　）

A．7    B．8    C．9    D．10

【分析】由数列{an}和{bn}都是等差数列，得{an+bn}为等差数列，由已知求出{an+bn}的公差，再代入等差数列通项公式求得a7+b7．

【解答】解：∵数列{an}和{bn}都是等差数列，∴{an+bn}为等差数列，

由a2+b2=3，a4+b4=5，得d=．

∴a7+b7=（a4+b4）+3×1=5+3=8．

故选：B．

【点评】本题考查等差数列的通项公式，关键是由数列{an}和{bn}都是等差数列，得{an+bn}为等差数列，是基础题．

4．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．

【解答】解：作出不等式对应的平面区域，

由z=x+2y，得y=﹣，

平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．

此时z的最小值为z=1+2×1=3，

故选：B．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

5．（5分）（2015秋•潍坊期中）函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（　　）

A．（0，）    B．（，）    C．（，）    D．（，1）

【分析】根据导函数判断函数f（x）=ex+4x﹣3单调递增，运用零点判定定理，判定区间．

【解答】解：∵函数f（x）=ex+4x﹣3

∴f′（x）=ex+4

当x＞0时，f′（x）=ex+4＞0

∴函数f（x）=ex+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为单调递增函数，

∵f（0）=e0﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，

∴函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（，），

故选：B．

【点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题．

6．（5分）（2016•福安市校级模拟）《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，估算出每天多织的布的布约有（　　）

A．0.55尺    B．0.53尺    C．0.52尺    D．0.5尺

【分析】设每天多织d尺，由题意a1=5，{an}是等差数列，公差为d，前30项和为390，由此利用等差数列前n项和公式能求出结果．

【解答】解：设每天多织d尺，

由题意a1=5，{an}是等差数列，公差为d

∴，

解得d≈0.55．

故选：A．

【点评】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

7．（5分）（2015秋•潍坊期中）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（　　）

A．﹣1    B．﹣    C．﹣1或﹣    D．2

【分析】利用分段函数列出方程求解即可．

【解答】解：函数f（x）=，

若f（f（））=4，

可得4=f（1﹣b），

当1﹣b＜1，即b＞0时，2（1﹣b）﹣b=4，解得b=﹣，（舍去）．

当1﹣b≥1，即b≤0时，21﹣b=4，解得b=﹣1，

故选：A．

【点评】本题看看菜分段函数的应用，分类讨论思想的应用，考查计算能力．

8．（5分）（2015秋•长春校级期末）函数y=（x+2）ln|x|的图象大致为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据函数的零点，单调性及极限思想结合选项使用排除法得出答案．

【解答】解：令y=（x+2）ln|x|=0得x=﹣2或x=1或x=﹣1，∴该函数由三个零点，排除B；

当x＜﹣2时，x+2＜0，|x|＞2，∴ln|x|＞ln2＞0，

∴当x＜﹣2时，y=（x+2）ln|x|＜0，排除C，D．

故选A．

【点评】本题考查了函数图象的判断，常从单调性、奇偶性、特殊点、定义域等几个方面进行判断．

9．（5分）（2015秋•潍坊期中）如图，在△ABC上，D是BC上的点，且AC=CD，2AC=AD，AB=2AD，则sinB等于（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】由题意设AD=2x，则AC=CD=x，AB=4x，在△ADC中由余弦定理可得cos∠ADC，进而可得sin∠ADB，在△ADB中由正弦定理可得sinB．

【解答】解：由题意设AD=2x，则AC=CD=x，AB=4x，

在△ADC中由余弦定理可得cos∠ADC==，

∴sin∠ADB=sin∠ADC==，

∴在△ADB中由正弦定理可得sinB===，

故选：C

【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，属中档题．

10．（5分）（2015秋•巴彦淖尔校级期末）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx，若x=1是f（x）的极大值点，则a的取值范围为（　　）

A．（﹣1，0）    B．（﹣1，+∞）    C．（0，+∞）    D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）

【分析】求出函数的f（x）的定义域，f'（x），由f'（1）=0，得b=1﹣a，通过讨论a的范围，去掉函数的单调区间，结合已知条件求出a的取值范围即可．

【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=﹣ax﹣b，由f'（1）=0，得b=1﹣a．

所以f'（x）=．

①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．

当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；

当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．

所以x=1是f（x）的极大值点．

②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=﹣．

因为x=1是f（x）的极大值点，所以﹣＞1，解得﹣1＜a＜0．

综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．

故选：B．

【点评】本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．（5分）（2015秋•长春校级期末）（1﹣2sin2）dx=　1　．

【分析】根据二倍角公式得到1﹣2sin2=cosx，再根据定积分的计算法则计算即可．

【解答】解：（1﹣2sin2）dx=cosxdx=sinx|=1，

故答案为：1．

【点评】本题考查了定积分的计算，关键是利用二倍角公式化简，属于基础题．

12．（5分）（2015秋•潍坊期中）不等式|x|﹣|x﹣3|＜2的解集为　{x|x＜2.5}　．

【分析】由条件利用绝对值的意义，求得不等式|x|﹣|x﹣3|＜2的解集．

【解答】解：由于|x|﹣|x﹣3|表示数轴上的x对应点到0对应点的距离减去它到3对应点的距离，

而2.5对应点到0对应点的距离减去它到3对应点的距离正好等于2，

故不等式|x|﹣|x﹣3|＜2的解集为{x|x＜2.5}．

故答案为：{x|x＜2.5}．

【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题．

13．（5分）（2015秋•潍坊期中）函数f（x）=cos（x+2φ）+2sinφsin（x+φ）的最大值为　1　．

【分析】由条件利用两角和差的余弦公式把函数f（x）的解析式化为cosx，再利用余弦函数的值域求得它的最大值．

【解答】解：∵函数f（x）=cos（x+2φ）+2sinφsin（x+φ）=cos（x+φ）cosφ﹣sin（x+φ）sinφ+2sinφsin（x+φ）

=cos（x+φ）cosφ+sin（x+φ）sinφ=cos（x+φ﹣φ）=cosx，

故函数f（x）的最大值为1．

【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式，余弦函数的值域，属于基础题．

14．（5分）（2015秋•潍坊期中）把数列{3n}（n∈N*）中的数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示三角形表：

设a（i，j）（i，j∈N*）是位于从上往下第i行且从左往右第j个数，则a（37，6）=　2016　．

【分析】由已知可得前36行共有1+2+3+…+36=666个数，即a（37，6）为672个数，再由数列的通项公式，可得答案．

【解答】解：由已知可得前36行共有1+2+3+…+36=666个数，

即a（37，6）为672个数，

∴a（37，6）=672×3=2016，

故答案为：2016

【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．

15．（5分）（2015秋•潍坊期中）已知定义域为R的奇函数满足f（x+4）=f（x），且x∈（0，2）时，f（x）=ln（x2+a），a＞0，若函数f（x）在区间[﹣4，4]上有9个零点，则实数a的取值范围为　（0，1）　．

【分析】根据f（x+4）=f（x）推得f（x）是以4为周期的函数，再根据函数的奇偶性原问题等价为：x∈（0，2）时，f（x）必有唯一零点．

【解答】解：因为f（x+4）=f（x），所以f（x）是以4为周期的函数，

且f（x）为奇函数，所以f（0）=0，因此f（4）=f（0）=0，

再令x=﹣2代入f（x+4）=f（x）得，f（﹣2）=f（2）=﹣f（2），

所以，f（﹣2）=f（2）=0，

因此，要使f（x）=0在[﹣4，4]上有9个零点，

则f（x）在（0，4]上必有4个零点，且已有零点x=2，x=4，

所以，当x∈（0，2）时，f（x）必有唯一零点，

（依据：若在（0，2）有唯一零点，则（﹣2，0）有唯一零点，则（2，4）有唯一零点）

即令f（x）=ln（x2+a）=0，分离a得，a=1﹣x2，x∈（0，2），

解得a∈（﹣3，1），且a＞0，所以，a∈（0，1），

故答案为：（0，1）．

【点评】本题主要考查了函数零点的判定，涉及函数的图象和性质，尤其是奇偶性和周期性，属于中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（12分）（2015秋•潍坊期中）如图，D、E分别是△ABC的边BC的三等分点，设=m，=n，∠BAC=．

（1）用、分别表示，；

（2）若•=15，||=3，求△ABC的面积．

【分析】（1），，=，代入可得；同理可得：．

（2）=c，=b．由•=15，||=3，∠BAC=．分别利用数量积运算性质、余弦定理可得bc，再利用三角形面积计算公式即可得出．

【解答】解：（1），，=，∴===；

同理可得：=．

（2）=c，=b．

∵•=15，||=3，

∴•=++=+b2+bccos=+b2+bc=15，

=，化为b2+c2﹣bc=27．

∴bc=18．

∴S△ABC===．

【点评】本题考查了数量积运算性质、余弦定理、三角形面积计算公式、向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17．（12分）（2015秋•潍坊期中）设p：A={x|2x2﹣3ax+a2＜0}，q：B={x|x2+3x﹣10≤0}．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）当a＜0时，若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．

【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围，解不等式求出集合A即可；（Ⅱ）先求出集合A，B，问题转化为A是B的子集，得到关于a的不等式组，解出即可．

【解答】解：（Ⅰ）关于p：A={x|2x2﹣3ax+a2＜0}，

解不等式2x2﹣3ax+a2＜0，得：

a＞0时：＜x＜a；a＜0时：a＜x＜，

∴a＞0时：A=[，a]；a＜0时：A=[a，]；

（Ⅱ）当a＜0时：A=[a，]，B=[﹣5，2]，

若￢p是￢q的必要不充分条件，

则q是p的必要不充分条件，

即A⊆B，

∴，解得：﹣5≤a＜0．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合问题，是一道基础题．

18．（12分）（2015秋•潍坊期中）已知函数f（x）=sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为．

（Ⅰ）求f（）的值；

（Ⅱ）将f（x）的图象上所有点向左平移m（m＞0）个长度单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），当m取得最小值时，求g（x）的单调递增区间．

【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f（x）=2sin（2ωx﹣），由题意可求周期T=，由周期公式可求ω，从而可得函数解析式，进而得解．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可求g（x）=2sin（4x+4m﹣），由题意可得4×+4m﹣=kπ（k∈Z），可得：m=﹣，可求m的最小值，由2k≤4x+≤2k，k∈Z，解得g（x）的单调递增区间．

【解答】（本题满分为12分）

解：（Ⅰ）由题意可得：f（x）=sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx

=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx

=sin2ωx﹣cos2ωx

=2sin（2ωx﹣）

∵f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为．

∴周期T=，由=，可得ω=2．

∴f（x）=2sin（4x﹣），

∴f（）=2sin（4×﹣）=2sin=1…6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2sin（4x﹣），则g（x）=2sin（4x+4m﹣），

∵（，0）为y=g（x）图象的一个对称中心，

∴2sin（4×+4m﹣）=0，解得：4×+4m﹣=kπ（k∈Z），可得：m=﹣，

当k=1时，m取得最小值…10分本题

此时g（x）=2sin（4x+），

由2k≤4x+≤2k，k∈Z，解得g（x）的单调递增区间为：[﹣，+]，k∈Z…12分

【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

19．（12分）（2015秋•长春校级期末）某公司生产一批A产品需要原材料500吨，每吨原材料可创造利润12万元．该公司通过设备升级，生产这批A产品所需原材料减少了x吨，且每吨原材料创造的利润提高0.5x%；若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的B产品，每吨原材料创造的利润为12（a﹣x）万元（a＞0）．

（Ⅰ）若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产该批A产品的利润，求x的取值范围．

（Ⅱ）若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，求a的最大值．

【分析】（Ⅰ）由题意，12（500﹣x）（1+0.5x%）≥12×500，即可求x的取值范围．

（Ⅱ）利用生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，建立不等式，即可求a的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，12（500﹣x）（1+0.5x%）≥12×500，

∴x2﹣300x≤0，

∵x＞0，

∴0＜x≤300；

（Ⅱ）生产B产品创造利润12（a﹣x）x万元，设备升级后生产这批A产品的利润12（500﹣x）（1+0.5x%），

∴12（a﹣x）x≤12（500﹣x）（1+0.5x%），

∴a≤++．

∵+≥2=4，当且仅当=，即x=250时等号成立，

∴0＜a≤5.5，

∴a的最大值是5.5．

【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生解不等式的能力，属于中档题．

20．（13分）（2015秋•潍坊期中）已知递增等比数列{an}，满足a1=1，且a2a4﹣2a3a5+a4a6=36．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=log3an+，求数列{an2•bn}的前n项和Sn；

（3）在（2）的条件下，令cn=，{cn}的前n项和为Tn，若Tn＞λ恒成立，求λ的取值范围．

【分析】（1）设递增等比数列{an}的公比为q，由等比数列的通项和性质，计算即可得到q，进而得到通项公式；

（2）化简bn=log3an+=（n﹣1）log3+=，再由数列的求和方法：错位相减法可得前n项和Sn；

（3）求得cn===4（﹣），运用裂项相消求和，可得Tn，判断单调性，求得最小值，再由不等式恒成立思想可得λ的取值范围．

【解答】解：（1）设递增等比数列{an}的公比为q，

由等比数列的性质可得，a32﹣2a3a5+a52=36，

即有（a3﹣a5）2=62，

可得a5﹣a3=6，

即q4﹣q2=6，解得q2=3（﹣2舍去），

即有q=，数列{an}的通项公式为an=（）n﹣1；

（2）bn=log3an+=（n﹣1）log3+=，

数列{an2•bn}的通项为n•3n﹣1．

前n项和Sn=（1+2•3+3•32+4•33+…+n•3n﹣1），

3Sn=（1•3+2•32+3•33+4•34+…+n•3n），

两式相减可得，﹣2Sn=（1+3+32+33+…+3n﹣1﹣n•3n）

=（﹣n•3n），化简可得Sn=﹣；

（3）cn===4（﹣），

{cn}的前n项和为Tn=4（﹣+﹣+…+﹣）

=4（﹣）=2﹣，

由2﹣为递增数列，即有n=1时，取得最小值2﹣=．

由Tn＞λ恒成立，可得λ＜．

【点评】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．

21．（14分）（2015秋•潍坊期中）己知函数f（x）=xlnx．

（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）对∀x≥1，f（x）≤m（x2﹣1）成立，求实数m的最小值；

（3）证明：1n．（n∈N*）

【分析】（1）由f（1）=0，f′（1）=1；从而写出切线方程即可；

（2）化简可得m（x﹣）﹣lnx≥0，从而令g（x）=m（x﹣）﹣lnx，x≥1；则问题等价于∀x≥1，g（x）≥0恒成立；从而求导确定函数的单调性及取值情况，从而解得．

（3）由（2）知，当m=时，对∀x≥1，xlnx≤（x2﹣1）恒成立，从而化简可得lnx≤（当且仅当x=1时等号成立）；再设i∈N*，则＞1，从而证明．

【解答】解：（1）f（1）=ln1=0，f′（1）=ln1+1=1；

故曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=x﹣1，

即x﹣y﹣1=0；

（2）∵x≥1，f（x）≤m（x2﹣1），

∴xlnx≤m（x2﹣1），

∴m（x﹣）﹣lnx≥0，

设g（x）=m（x﹣）﹣lnx，x≥1；

则问题等价于∀x≥1，g（x）≥0恒成立；

注意到g（1）=0，

∵g′（x）=m（1+）﹣，

∵x≥1，∴，

∴当m≤0时，g（x）在[1，+∞）上单调递减，

∴g（x）≤g（1）=0，故不成立；

当m＞0时，g′（x）=，

令h（x）=mx2﹣x+m，

∵△=1﹣4m2，

①若△=1﹣4m2≤0，即m≥时；

此时，h（x）≥0，故g′（x）≥0，

故g（x）在[1，+∞）上单调递增，

故g（x）≥g（1）=0，故成立；

②若△=1﹣4m2＞0，即0＜m＜时；

此时，h（x）=0存在两个不同的实数根x1，x2，

不妨设x1＜x2，

故x1x2=1，故x1＜1＜x2，

故g（x）在[1，x2）上单调递减，

故g（x）≤g（1）=0，故不成立；

综上所述，实数m的最小值为；

（3）证明：由（2）知，当m=时，对∀x≥1，xlnx≤（x2﹣1）恒成立，

即lnx≤（当且仅当x=1时等号成立）；

设i∈N*，则＞1，

故ln＜（+1）（﹣1）=，

故ln＜，

故，

即1n．（n∈N*）．

【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想应用及联加的应用，属于难题．