2018重庆中考数学第25题专题训练四(含答案).doc

1、如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位数字与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数4312，其中3＞1,4＝3＋1，2＝3－1，所以4312是亲密数；

（1）最小的亲密数是　　　　　，最大的亲密数是　　　　　　。

（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；

（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数。

2、任意一个正整数n，都可以表示为：n=a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b-（a+c）|最小，我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定： ，例如：6=1×1×6=1×2×3，因为|2×1-（1+6）|=5，|2×2-（1+3）|=0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即． 

（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2． 

（2）t是一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．

3、如果把一个奇数位的自然数各数为上的数字从最高位到个位依次排列，与从个位到最高位依次排列出的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等（不等于0），且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“阶梯数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且|1-2|=|2-3|=|3-2|=|2-1|=1，因此12321是一个“阶梯数”，又如262，85258，…，都是“阶梯数”， 若一个“阶梯数”t从左数到右，奇数位上的数字之和为M，偶数位上的数字之和为N，记P（t）=2N-M，Q（t）=M+N．

（1）已知一个三位“阶梯数”t，其中P（t）=12，且Q（t）为一个完全平方数，求这个三位数； 

（2）已知一个五位“阶梯数”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求该五位“阶梯数”t的最大值与最小值．

4、若一个三位数（其中a、b、c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为T(t)。例如，357的差数T(357)＝753－357＝396。

（1）已知一个三位数（其中a＞b＞1）的差数T()＝792，且各数位上的数字之和为一个完全平方数，求这个三位数；

（2）若一个三位数（其中a、b都不为0）能被4整除，将个位上的数字移到百位得到一个新数被4除余1，再将新数个位数字移到百位得到另一个新数被4除余2，则称原数为4的“闺蜜数”。例如：因为612＝4×153，261＝4×65＋1，126＝4×31＋2，所以612是4的一个闺蜜数。求所有小于500的4的“闺蜜数”t，并求T(t)的最大值。

5、对于一个三位正整数，将各数位上的数字重新排序后（包括本身），得到一个新的三位数，在所有重新排列的三位数中，当最小时，称此时的为的“最优组合”，并规定，例如：124重新排序后为：142、214、因为，，，所以124为124的“最优组合”，此时。

（1）三位正整数中，有一个数位上的数字是另外两个数位上的数字的平均数，求证：；

（2）一个正整数，由个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，……，一直到前位数能被整除，我们称这样的数为“善雅数”。例如：123的第一位数能被1整除，它的前两位数12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”。若三位“善雅数” （、为整数），的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中的最大值。

2018重庆中考数学第25题专题训练四答案解析

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4、

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（1）证明：∵三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，

∴重新排序后：其中两个数位上数字的和是一个数位上的数字的2倍，

∴a+c﹣2b=0，即（a﹣b）﹣（b﹣c）=0，∴F（t）=0；

（2）解：∵m=200+10x+y是“善雅数”，∴x为偶数，且2+x+y是3的倍数，

∵x＜10，y＜10，∴2+x+y＜30，∵m的各位数字之和为一个完全平方数，∴2+x+y=32=9，

∴当x=0时，y=7，当x=2时，y=5，当x=4时，y=3，当x=6时，y=1，

∴所有符合条件的“善雅数”有：207，225，243，261，

∴所有符合条件的“善雅数”中F（m）的最大值是）=|2﹣4|﹣|4﹣3|=1．