导数问题常见分类讨论

（一）热点透析

由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度..

  分类讨论是中学数学的一种解题思想，如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论，这就要求大家平时就要有一种全局的观点，同时要有不遗不漏的观点。只有这样在解题时才能做到有的放矢。下面我想通过对导数类题的解答的分析，来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分类讨论。

（二）知识回顾

1． 函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

2． 函数的极值

(1)判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．

3． 函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

（三）疑难解释

1． 可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．

2． f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．

3． 对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

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1． 若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.

答案　3

解析　f′(x)＝＝.因为f(x)在x＝1处取极值，所以1是f′(x)＝0的根，将x＝1代入得a＝3.

2． 函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．

答案　[－3，＋∞)

解析　f′(x)＝3x2＋a，f′(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，

则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.

3.  如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断：

①f(x)在[－2，－1]上是增函数；

②x＝－1是f(x)的极小值点；

③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；

④x＝3是f(x)的极小值点．

其中正确的判断是________．(填序号)

答案　②③

解析　①∵f′(x)在[－2，－1]上是小于等于0的，

∴f(x)在[－2，－1]上是减函数；

②∵f′(－1)＝0且在x＝0两侧的导数值为左负右正，

∴x＝－1是f(x)的极小值点；

③对， ④不对，由于f′(3)≠0.

4． 设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为                    (　　)

A．－1      B．0      C．－          D. 

答案　C

解析　g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．

当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：

5． (2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为                                                                 (　　)

A．(－1,1)                          B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1)                      D．(－∞，＋∞)

答案　B

解析　设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，∵m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞).

二、高频考点专题链接

题型一.   需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。也就是要讨论导数为零的点是否在定义域内，在定义域内要讨论它给定的区间左、中、右，以确认函数在此区间上的单调性。

例1、已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，

f(1)＝0.

(1)求a的取值范围；

(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．

解　(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex，

依题意需对任意x∈(0,1)，有f′(x)<0.

当a>0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，

所以需f′(1)＝(a－1)e<0，即0当a＝1时，对任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x2－1)ex<0，f(x)符合条件；

当a＝0时，对任意x∈(0,1)，f′(x)＝－xex<0，f(x)符合条件；

当a<0时，因为f′(0)＝－a>0，f(x)不符合条件．

故a的取值范围为0≤a≤1.

(2)因为g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，

所以g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex.

(i)当a＝0时，g′(x)＝ex>0，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1，在x＝1处取得最大值g(1)＝e.

(ii)当a＝1时，对于任意x∈(0,1)有g′(x)＝－2xex<0，g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝2，在x＝1处取得最小值g(1)＝0.

(iii)当00.

①若≥1，即0②若<1，即而g(0)＝1＋a，g(1)＝(1－a)e，

则当当变式1：设函数，其中，求函数的极值点。

解：由题意可得的定义域为，，的分母在定义域上恒为正，方程是否有实根，需要对参数的取值进行讨论。

    当，即时，方程无实根或只有唯一根，所以在上恒成立，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而函数在上无极值点。

    当，即时，方程，即有两个不相等的实根：

。这两个根是否都在定义域内呢？又需要对参数的取值分情况作如下讨论：

    当时，，

所以。此时，与随的变化情况如下表：

由此表可知：当时，有唯一极小值点。

    当时，，

所以。此时，与随的变化情况如下表：

由此表可知：当时，有一个极大值点和一个极小值点。

综上所述： 当时，有唯一极小值点；

当时，有一个极大值点和一个极小值点；

    当时，无极值点。

点评：从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。

题型二  需对一元二次方程两根大小为标准分类讨论的问题。由于求单调区间通常要解一元二次不等式，要写出它的解，就必须知道它两根的大小，否则就要对两根大小分类讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

例2、设函数（），其中．当时,求函数的极大值和极小值

解: ，．

令，解得或．

由于，以下分两种情况讨论．

（1）若，当变化时，的正负如下表：

函数在处取得极大值，且．

（2）若，当变化时，的正负如下表：

函数在处取得极大值，且．

评析:此题需对方程两根得或的大小分类讨论，从而分为当与两种情况.

变式2：已知函数，其中。

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求函数的单调区间与极值。    

解：（1）当时，曲线在点处的切线方程为；

（2）由于，所以，

由，得。这两个实根都在定义域内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。

当时，则。易得在区间，内为减函数，在区间为增函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。

当时，则。易得在区间，内为增函数，在区间为减函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。

点评：以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。

题型三   对函数是否为二次函数进行讨论或需对一元二次方程的判别式进行讨论的问题。由于许多问题通过求导后转化为二次函数或二次不等式，它们对应的二次方程是否有解，就要对判别式讨论。

例3、（2012年北京高考题）已知函数f（x）=ax2+1（a>0）,g(x)=x3+bx

(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；

(2)当a2=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值，

解：（1）由为公共切点可得：

，则，，

，则，，

，又，，

，即，代入①式可得：．

（2），设

则，令，解得：，；，，

原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增

①若，即时，最大值为；②若，即时，最大值为

③若时，即时，最大值为．

综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为．

变式3-1、已知函数，.

(Ⅰ)若曲线在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值；

(Ⅱ)当，且ab=8时，求函数的单调区间，并讨论函数在区间[-2，-1]上的最小值.

解：(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a}，则， 

h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，

即,解得或 

 (Ⅱ)记(x)= ，则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),

ab=8，所以，(x≠-a),

,令，得，或, 

因为，所以，

故当，或时，，当时，，

函数(x)的单调递增区间为；单调递减区间为, 

,,，

1当，即时, (x)在[-2,-1]单调递增, 

(x)在该区间的最小值为， 

2当时,即,  (x)在[-2,单调递减, 在单调递增，

(x)在该区间的最小值为， 

  ③当时,即时, (x)在[-2,-1]单调递减, (x)在该区间的最小值

为， 

综上所述，当时，最小值为；当时，最小值为；

当时，最小值为.

变式3-2、已知：函数（其中常数）.（Ⅰ）求函数的定义域及单调区间；

（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．

解：（Ⅰ）函数的定义域为，. 

由，解得.由，解得且．

∴的单调递增区间为，单调递减区间为，． 

（Ⅱ）由题意可知，，且在上的最小值小于等于时，存在实数，使得不等式成立 

若即时，

若即时，在上单调递减，则在上的最小值为．

由得（舍）． 

综上所述，． 

题型四   “曲线过一点的切线”与“曲线在该点处的切线”两个概念是不同的

例4、求曲线的过点的切线方程．

错解：显然点在曲线上，且，．

故所求切线方程为，即．

错解反思:曲线过点的切线与曲线在点处的切线不同，前者既包括点处的切线，也包括过点但切点为另一点的切线．因此，解题时必须理清头绪，弄清题意．

正解：设切点为，，

在点处的切线方程为．

又切线过点，，

整理，得，即．或．

当时，切线方程为，当时，切线方程为．

综合题

变式4、已知函数．

（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值；（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）求函数在闭区间的最小值.

解：（Ⅰ），因为在处取得极值，所以，解得． 

（Ⅱ），

 （1）当时，，则在上为增函数；

（2）当，即时，由得或，所以的单调增区间为和;由得，所以的单调减区间为；

（3）当即时，由得或，所以的单调增区间为和；由，得，所以的   单调减区间为.

综上所述，当时，的单调增区间为；

当时，的单调增区间为和，的单调减区间为;   当时，的单调增区间为和，的单调减区间为.

（Ⅲ）（1）当即时，由（Ⅱ）可知，在上单调递增，所以的最小值为；

（2）当，即时，由（Ⅱ）可知，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为；

（3）当即时，由（Ⅱ）可知，在上单调递减，所以的最小值为.

综上所述，当时，的最小值为；

当时，的最小值为；

当时，的最小值为.

题型五   不等式两边同除一个数或式子，要讨论它的正负的问题。

例5、设函数

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.

解：（Ⅰ）,曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）由，得，

 若，则当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

若，则当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，

若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，

综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.

变式5、已知函数．

 （I）求函数的单调区间；    

（Ⅱ）当时，求函数在区间上的最小值．

解：定义域为R， 

(Ⅰ)当时，,则的单调增区间为

    当时，解得, ,解得, ,

     则的单调增区间为,的单调减区间为

 当时，解得, ,解得, ,

     则的单调增区间为,的单调减区间为

(Ⅱ)当时,  即 当时,在上是减函数,在上是增函数,则函数在区间[-2,0]上的最小值为

     当时,  即  当时,在上是增函数,

 则函数在区间[-2,0]上的最小值为

综上: 当时,在区间[-2,0]上最小值为

  当时,在区间[-2,0]上最小值为

反思总结：利用导数求函数最值问题

典例：(14分)已知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．

提示　(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论．

解　(1)f′(x)＝－a (x>0)，[1分]

①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．[3分]

②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，

当00；

当x>时，f′(x)＝<0，

故函数f(x)的单调递增区间为，

单调递减区间为.                                                [5分]

(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.                                                                 [9分]

②当≥2，即0③当1<<2，即所以当当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.[12分]

综上可知，

当0当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2－2a.[14分]

注意　(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[1,2]上的最值，属常规题型．

(2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况．

(3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题.

方法总结

方法

1． 注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想．

2． 求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．

3． 在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．

总结

1． 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．

2． 函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．

3． 题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．

巩固练习(时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.  若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为

(　　)

答案　C

解析　根据f′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A，D；从适合f′(x)＝0的点可以排除B.

2． 设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则                    (　　)

A．a<－1                      B．a>－1

C．a>－                      D．a<－

答案　A

解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.

∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，

则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，

∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.

3． 函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是                            (　　)

A．－2          B．0          C．2          D．4

答案　C

解析　∵f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.

∴f(x)在[－1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函数．

∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2.

4． 若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a的取值范围是                                              (　　)

A．a≤2                              B．5≤a≤7

C．4≤a≤6                          D．a≤5或a≥7

答案　B

解析　因为f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1，

所以f′(x)＝x2－ax＋a－1，

由题意知当1即x2－ax＋a－1≤0在(1,4)上恒成立，

∴a(x－1)≥x2－1，a≥x＋1(1所以a≥5.同理a≤7.

二、填空题(每小题5分，共15分)

5． 已知f(x)＝2x3－6x2＋m (m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．

答案　－37

解析　∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，

∴f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，

∴当x＝0时，f(x)＝m最大．∴m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值为－37.

6． 已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m＝________.

答案　－2

解析　若f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，

则m2－4＝0，m＝±2.

若g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0恒成立，

则Δ＝16＋4×3m≤0，解得m≤－，故m＝－2.

7． 函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．

答案　a>2或a<－1

解析　∵f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]，

∴f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．

令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.

∵函数f(x)有极大值和极小值，

∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根．

即Δ＝4a2－4a－8>0，∴a>2或a<－1.

三、解答题(共22分)

8． (10分)已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.

(1)求a，b的值；

(2)求函数y＝f(x)的单调区间．

解　(1)f′(x)＝2ax＋.又f(x)在x＝1处有极值.

得　即解之得a＝，b＝－1.

(2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x，其定义域是(0，＋∞)，

且f′(x)＝x－＝.

由f′(x)<0，得00，得x>1.

所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，

单调增区间是(1，＋∞)．

9． (12分)已知函数f(x)＝ln|x| (x≠0)，函数g(x)＝＋af′(x) (x≠0)．

(1)求函数y＝g(x)的表达式；

(2)若a>0，函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2，求a的值．

解　(1)因为f(x)＝ln|x|，

所以当x>0时，f(x)＝ln x，当x<0时，f(x)＝ln(－x)．

所以当x>0时，f′(x)＝，

当x<0时，f′(x)＝·(－1)＝.

所以当x≠0时，函数y＝g(x)＝x＋.

(2)由(1)，知当x>0时，g(x)＝x＋.

所以当a>0，x>0时，g(x)≥2，当且仅当x＝时取等号．

所以函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2.

所以2＝2.解得a＝1.

拓展训练(时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

1． (2012·重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是                                         (　　)

答案　C

解析　∵f(x)在x＝－2处取得极小值，

∴当x<－2时，f(x)单调递减，即f′(x)<0；当x>－2时，f(x)单调递增，即f′(x)>0.

∴当x<－2时，y＝xf′(x)>0；当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；

当－2当x>0时，y＝xf′(x)>0. 结合选项中图象知选C.

2． 函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为                                      (　　)

A．0  B.  C.  D. 

答案　A  解析　y′＝－e－x(x－1)，

y′与y随x变化情况如下表：

3． f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋x·f′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为                                                             (　　)

A．(－4,0)∪(4，＋∞)                      B．(－4,0)∪(0,4)

C．(－∞，－4)∪(4，＋∞)                  D．(－∞，－4)∪(0,4)

答案　D

解析　令g(x)＝x·f(x)，则g(x)为奇函数且当x<0时，g′(x)＝f(x)＋

x·f′(x)<0，

∴g(x)的图象的变化趋势如图所示：

所以xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．

二、填空题(每小题5分，共15分)

4． 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c (x∈[－2,2])对应的曲线C过坐标原点，且在x＝±1处切线的斜率均为－1，则f(x)的最大值和最小值之和等于________．

答案　0

解析　由曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c (x∈[－2,2])过坐标原点可知c＝0.

∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由已知得

解得a＝0，b＝－4，

∴f(x)＝x3－4x，f(x)在x∈[－2,2]上有最大值，最小值，且函数f(x)＝x3－4x为奇函数，∴函数f(x)＝x3－4x的最大值和最小值之和为0.

5． 设函数f(x)＝p－2ln x(p是实数)，若函数f(x)在其定义域内单调递增，则实数p的取值范围为______．

答案　[1，＋∞)

解析　易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为f′(x)＝，要使f(x)为单调增函数，须f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即px2－2x＋p≥0在(0，＋∞)上恒成立，即p≥＝在(0，＋∞)上恒成立，又≤1，

所以当p≥1时，f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．

6． 已知函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是________．

答案　(0,1)

解析　f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，

显然a>0，f′(x)＝3(x＋)(x－)，

由已知条件0<<1，解得0三、解答题

7．已知函数是奇函数.（Ⅰ）求a,c的值；

 （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.

解：（Ⅰ）因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数， 所以，对任意的x∈R, g (-x)= -g (x), 

      即f (-x)- 2= -f (x)+2.又f(x)=x3+ax2+3bx+c, 

     所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.所以{  解得a=0，c＝2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x3+3bx+2, 所以f′(x)=3x2+3b(b≠0).

     当b＜0时，由f′(x)=0得x=±

x变化时，f′(x)的变化情况如下表：

在（，+∞） 上单调递增.

当b＞0时，f′(x)＞0.所以函数f (x)在（-∞，+∞）上单调递增.