如何证明线段相等或成倍数关系

一. 本周教学内容：

 如何证明线段相等或成倍数关系

【典型例题】

（一）线段相等：证明线段相等的方法很多，主要有三角形全等、等腰三角形的判定、线段垂直平分线定理、角平分线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。另外证明线段相等还有一类题型，就是证明两条线段的和或差等于某一条线段，此种类型往往采用截长补短的方法进行证明。在例题讲解中，会出现此种类型的题目，请同学们注意。下面，我们就分析几个例题，希望能通过讲解，使同学逐步掌握证明线段相同的方法。

  例1. 已知：四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD。

 求证：OA＝OB

    分析：若要证OA＝OB，可证明OA、OB所在的三角形AOD和BOC全等。根据已知条件：∠1和∠2是对顶角知∠1＝∠2，AD＝BC，还缺少一个条件。这时我们可以利用给出的已知条件AD＝BC，AC＝BD，再加上公共边CD，先求证出△ACD≌△BCD，得到∠3＝∠4，即可证明OA＝OB了。本题利用了三角形全等来证明线段相等。

  例2. △ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于F。

    求证：DF＝EF

分析：要证DF＝FE，可证DF、FE所在三角形全等，通过分析△BDF和△FCE不全等。故应考虑作辅助线构造全等三角形。

    证明：过D作DM//CE交BC于M

例3. 在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求证：AB＝AC＋CD。

    分析：要证明一条长线段等于另两条线段之和的常用方法是延长一条短线段使其等于另一条短线段，再证明长线段等于延长的线段和。所以本题中，要证AB＝AC＋CD，结论是三条线段间的关系。可延长AC到E，使CE＝CD，则原结论可转化为证AB＝AE，只需证△ABD≌△AED。

    证明：延长AC到E，使CE＝CD，连结DE

    ∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE

    ∴∠ACB＝2∠E

    又∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E

    ∵∠1＝∠2，AD＝AD

    ∴△ABD≌△AED

    ∴AB＝AE，即AB＝AC＋CD

    这部分证明中常用到的定理有：

    （1）直角三角形中，30°的角对的直角边等于斜边的一半。

    （2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

    （3）中位线定理。

    下面就以几个例子来说明如何使用这三个定理解决线段倍数关系的证明。

  例1. 已知：在△ABC中，M是BC的中点，CE⊥AB，BF⊥AC。

       求证：EM＝FM

    分析：此题的结论虽然是证明线段相等，但在证明过程中，却用到了证明线段的倍数关系，使用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个定理。

    证明：∵在Rt△BCE和Rt△BCF中

    EM、FM分别是斜边BC上的中线

    ∴EM＝FM

例2. 已知：在△ABC中，AB＝AC，EF是△ABC的中位线，延长AB到D，使BD＝AB，连接CD。

    分析：

    证明：

    ∴BF是△ACD的中位线

    ∵AB＝AC，EF是△ABC的中位线

    ∴BE＝CF

    ∵BC＝BC，∠ABC＝∠ACB

    ∴BF＝CE

例3.已知如图等腰直角△ABC，BC是斜边，∠B的平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE

【模拟试题】

  1. 已知：C、F是BE上的两点，BF＝CE，AB＝DE，AB⊥AC，DE⊥DF。

    求证：AC＝DF

  2. 如图，在△MNP中，，H是高MQ与NR的交点。

    求证：HN＝PM

  3. 已知：如图△DEF中，DE＝DF，过EF上一点A作直线分别与DE、DF的延长线交于B、C，且BE＝CF。

    求证：AB＝AC

  4. 在△ABC中，AB＝AC＝9cm，，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF//AB交AE的延长线于F。求DF的长。

  5. 已知：点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于C、D。

    求证：CD＝AB

  6. 在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长是24，BC＝10，求AB的长。

7. 已知：E是正方形ABCD边BC上的中点，F是CD上一点，AE平分∠BAF。

    求证：AF＝BC＋CF

  8. 已知：在△ABC中，，E、F分别是AB、AC边上的点，且EFDC是平行四边形，D是BC的中点。

    求证：AD＝EF

  9. 在△ABC中，AB＝AC，，求证：AB上的高线等于AB的一半。

  10. 已知：在△ABC中，AD⊥BC，E是AC的中点，。

     求证：AD＝BE

【试题答案】

  1. 

    在Rt△ABC和Rt△DEF中，

  2. 

  3. 过B作BG//CD交EF于G

  4. ，AD平分BC

    ∵AE平分∠BAD

    ∵AB//DF

    在Rt△ADC中，

  5. ∵∠CBM＝∠CBA

    ∵CD//MN

    ∴∠CBM＝∠DCB

    ∴∠CBA＝∠DCB

    ∴OC＝OB

    同理可证：OB＝OD

    ∴OC＝OD

    ∵OA＝OB

    ∴ADBC是平行四边形

    ∵∠OBC＝∠CBM，∠OBD＝∠DBN

∴ADBC是矩形

    ∴CD＝AB

  6. ∵BE＋EC＋BC＝24，BC＝10

    ∴BE＋EC＝14

    ∵DE是AB垂直平分线

    ∴BE＝AE

    ∴AC＝BE＋EC＝14

    ∵AB＝AC

    ∴AB＝14

  7. 延长DC、AE交于O点

    ∵ABCD是正方形

  8. ∵EFCD是平行四边形

9. ∵AB＝AC

  10. 取CD中点F，连接EF，则EF为中位线

    ∵EF为△ACD中位线