DSP复习资料2

解: 由于 , 故没有混迭; 而 , 所以有混迭; , 也有混迭。

2. ，使用双线性变换法将以下模拟传递函数变成数字传递函数H(z)，采样周期T=0.5。解：    

1. 用直接法及Parseval定理求下列各已知序列的 

     解：  （a）直接法  

      (b）Parseval定理    

                  （a）直接法      

   (b）Parseval定理                                  

  （a）直接法      

 (b）Parseval定理  

2. 若序列h(n)为实因果序列，其DTFT的实部为.求序列h(n)及其DTFT。

 解：因为

 所以 

1．一阶IIR系统，，采用b=3的定点原码截尾运算。证明只要系统稳定，即，就不会发生零输入极限环。 

解： 用表示原码截尾，输入等于零时，差分方程为

在形成极限环时，，即。下面分别对以下几种情况进行研究：

（1），此时a>0，截尾误差为

     （1a）若保持大于零，由正数截尾误差式可得   （1b）若保持小于零，由负数截尾误差式可得       

 （2）此时a<0，截尾误差为     

     （2a）若某个，由于，由负数截尾误差式可得

       (2b）若某个，由于，由正数截尾误差式可得

总结以上所有的情况，如果存在极限环，一定要求，因此这个系统是不稳定的。如果是稳定系统，就不存在极限环。

　2. 设采用浮点制进行舍入量化方式来实现下面的一阶IIR滤波器。

如果要求输出的“噪声－信号”方差比为σf2=σy2=－80dB，要各用多少尾数部分的字长？

解：要求SNR=10lg(σf2/σy2)=－80，采用浮点制进行舍入量化方式来实现一阶IIR滤波器 时，有

          所以 

而 ，a=0.8，则：

 实取b=14

 所以要用b=14位的字长表示尾数部分。

1. 用脉冲响应不变法及双线形变换法将模拟传递函数转变为数字传递函数H(z)，采样周期T=0.5。

(1)    脉冲响应不变法

(2)   双线性变换法    

1．请用双线性变换法设计一个三阶巴特沃兹数字高通滤波器，采样频率为fs=6kHz，截止频率为fc=1.5kHz(不计3kHz以上的频率分量)。

解：由模拟低通原型先转换成数字低通原型，再转换成高通数字滤波器。

预畸： 

将 代入三阶巴特沃兹模拟低通传递函数

经双线性变换得到数字低通原型的系统函数

在数字域进行频率变换：

低通(u-1)→(z-1)的Z平面变换公式为

                 其中          

    根据题意：数字低通截止频率 ,数字高通截止频率 ，代入上式，得

    所以      

因此，只要将原数字低通每个z-1的符号取反，便得到数字高通

1. 以下序列是系统的单位脉冲响应，试指出系统的因果稳定性。 

正确答案是： 解：

因果稳定      ,，为因果稳定;，为非因果稳定。     

，因为所以为因果非稳定。

，因为所以为非因果非稳定。

，因为 所以为因果非稳定。   

，因为 所以为非因果稳定。     

，因为   所以为因果稳定。

，因为所以为因果稳定。

，因为  所以为非因果非稳定。

，因为所以为因果非稳定。     

，因为 所以为因果稳定。

，因为且所以为因果稳定。

2. 已知是一个2N点序列x(n)的DFT值, 现需要从X(k)求x(n)值。

为了提高运算效率，设计一个N点IFFT运算一次完成。

提示：先组成

正确答案是： 解：       （对第二项令 ）

     （再令k’=k）

令n为偶数时，

令n为奇数时， 

所以，第一步      令U(k)=G(k)+jH(k) g(n)+jh(n)=u(n)

      第二步      对U(k)调用一次N点IFFT得到u(n)

         第三步                  

      第四步      x(n)=x(2r)+x(2r+1),  其中：r=0,1,……,N-1; n=0,1,……2N-1。

1．请你用矩形窗口设计法设计一个FIR线性相位低通数字滤波器，已知ωc=0.5π，N=21。 

正确答案是： 解：写出理想的频响为

求得理想冲激响应为

计算得

加矩形窗

所以

1. 设数字滤波器的系统函数为 ，现用8bit字长的寄存器来存放其系数。试求此时该滤波器的实际H(z)表示式。

正确答案是： 

解：采用1bit代表正负号，1bit代表系数各位的0或1，则小数点后的数字可用6bit来表示。将1分成26等分，量化阶梯是1/=0.015625。

原系数1.272792变成    

1+INT[(0.272792÷0.015625)+0.5]×0.015625＝1.265625

原系数0.81变成    

0+INT[(0.81÷0.015625)+0.5]×0.015625＝0.8125

所以实际滤波器系统函数变成

2. 已知下列因果序列的，求，并做其振幅相位图。

(1)   (2) (3)    (4)

正确答案是： 解：（1）      取a=0.8    

本题的MATLAB程序如下（a=0.8）：

w=[0:1:500]*pi/500;  %[0,pi]区域分为501点

X=exp(j*w)./(exp(j*w)-0.8*ones(1,501));  %*ones(1,501)

magX=abs(X);angX=angle(X)*.180./pi;

subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);

xlable(‘以pi为单位的频率’);

title(‘幅度部分’);ylable(‘幅度’);

subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);

xlable(‘以为pi单位的频率’);

title(‘相位部分’);ylable(‘相位’);

（2）     

 特别的取a=0.8, 

本题的MATLAB程序如下：

w=[0:1:500]*pi/500;  %[0,pi]区域分为501点

w0=pi/3;

X1=exp(j*w*2);

X2=((exp(j*w)-0.8*exp(j*w0)).*(exp(j*w)-0.8*exp(-1*j*w0)));

X=X1./X2;

magX=abs(X);angX=angle(X).*180./pi;

subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);

xlable(‘以pi为单位的频率’);

title(‘幅度部分’);ylable(‘幅度’);

subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);

xlable(‘以为pi单位的频率’);

title(‘相位部分’);ylable(‘相位’);

（3）    （N=6为偶数）

本题的MATLAB程序如下：

w=[0:1:500]*pi/500;  %[0,pi]区域分为501点

X1=1-exp(-1*j*w*6);

X2=1-exp(-1*j*w);

X22=X2+(X2==0)*eps;%逻辑数组参加运算，使“0”被机器零替代。

X=X1./X2;

magX=abs(X);angX=angle(X).*180./pi;

subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);

xlable(‘以pi为单位的频率’);

title(‘幅度部分’);ylable(‘幅度’);

subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);

xlable(‘以为pi单位的频率’);

title(‘相位部分’);ylable(‘相位’);

(4) 特别的取a=2时的振幅相位如下图所示。

本题的MATLAB程序如下： 

w=[0:1:500]*pi/500;  %[0,pi]区域分为501点

X1=exp(j*w)-2;

X2=exp(-j*w)-2;

X22=X2+(X2==0)*eps; %逻辑数组参加运算，使“0”被机器零替代

X=X1./X22;

magX=abs(X);angX=angle(X).*180./pi;

subplot(2,1,1);plot(w/pi, magX);

xlable(‘以pi为单位的频率’);

title(‘幅度部分’);ylable(‘幅度’);

subplot(2,1,2);plot(w/pi, angX);

xlable(‘以为pi单位的频率’);

title(‘相位部分’);ylable(‘相位’); 

2. 已知，求                           

正确答案是： 解：

2. 判断下面的序列是否周期序列，若是，确定其周期。 

（1） （2）  （3）

正确答案是： 解：(1)是周期序列，周期为N=7   (2)是周期序列，周期为N=14

(3)       为无理数，不是周期序列。

  2. 一个采样周期为T的采样器，开关间隙为,若采样器输入信号为，求采样器输出信号的频谱结构，并证明如原来的的频谱结构，并证明如原来的值在之间变化，频谱周期重复及奈奎斯特定理都成立。 

其中  

正确答案是： 解：采样器可等效为如图P1.1(1)所示乘法器,其中p(t)如图P1.1(2)所示. 

     其中：，以后相同，不再注明。

是的周期重复，周期，与脉冲宽度无关。

的频谱按的频率重复，其幅度是不均匀的（与理想采样的频谱不同）。

的示意图如图P1.1(3)所示。

2. 设某线性时不变离散系统的差分方程为 ，试求它的单位脉冲响应。它是不是因果的？它是不是稳定的？

正确答案是： 

解： 

对上式两边取Z变换，得：

极点：     

当ROC：|z|>3时，系统因果不稳定， ；

当ROC：1/3<|z|<3时，系统非因果不稳定， ；

当ROC：|z|<1/3时，系统非因果不稳定， 。