指数函数、对数函数、幂函数

二、经典例题导讲

[例1]已知求

错解：∵∴

　∴

错因：因对性质不熟而导致题目没解完.

正解：∵∴

　∴

[例2]分析方程（）的两个根都大于1的充要条件.

错解：由于方程（）对应的二次函数为

的图像与x轴交点的横坐标都大于1即可.

　故需满足，所以充要条件是

错因：上述解法中，只考虑到二次函数与x轴交点坐标要大于1，却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图像与x轴有交点才行，即满足△≥0，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件.

正解：充要条件是

[例3]求函数的单调区间.

错解：令，则＝

∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，

当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数

∴函数的单调递减区间是，单调递增区间为

错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围.

正解：令，则为增函数，

＝＝

　∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，

当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数

∴函数的单调递减区间是，单调递增区间为

[例4]已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是　　　　　

错解：∵是由，复合而成，又＞0

　　∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知

应为增函数，∴＞1

错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.

正解：∵是由，复合而成，又＞0

　　∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知

应为增函数，∴＞1

又由于 在[0，1]上时 有意义，又是减函数，∴＝1时，取最小值是＞0即可，　　∴＜2

综上可知所求的取值范围是1＜＜2

[例5]已知函数.

（1）当时恒有意义，求实数的取值范围.

（2）是否存在这样的实数使得函数在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由.

分析：函数为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.

解：（1）由假设，＞0，对一切恒成立，

显然，函数g(x)= 在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝＞0得到＜

∴的取值范围是（0，1）∪（1，）

(2)假设存在这样的实数，由题设知，即＝1

∴＝此时

当时，没有意义，故这样的实数不存在.

点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.

[例6]已知函数f(x)=, 其中为常数，若当x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，求实数a的取值范围.

分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把分离出来，重新认识与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.

解：>0, 且a2－a+1=(a－)2+>0, 

∴ 1+2x+4x·a>0, a>,

当x∈(－∞, 1]时, y=与y=都是减函数，

∴ y=在(－∞, 1]上是增函数，max=－,

∴ a>－, 故a的取值范围是(－, +∞).

 点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y=的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围.此法也叫主元法.

 [例7]若，试求的取值范围.

解：∵幂函数有两个单调区间，

∴根据和的正、负情况，有以下关系　

①　　　②　　　　　③

解三个不等式组：①得＜＜，②无解，③＜－1

∴的取值范围是（－∞，－1）∪（，）

点评：幂函数有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为，从而导致解题错误.

[例8] 已知a>0 且a≠1 ,f (log a x ) =  (x － )

 (1)求f(x)；

 (2)判断f(x)的奇偶性与单调性；

 (3)对于f(x) ,当x ∈(－1  , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m2 ) < 0 ,求m的集合M .

分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.

解：(1)令t=logax(t∈R)，则

f(x)在R上都是增函数.

点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f（x）的表达式可求出m的取值范围，请同学们细心体会.

练习

一、选择题

1．下列函数与有相同图象的一个函数是（    ）

A．                 B． 

C．   D． 

2．下列函数中是奇函数的有几个（     ）

A．    B．     C．     D． 

3．函数与的图象关于下列那种图形对称(     )

A．轴         B．轴   C．直线   D．原点中心对称

4．已知，则值为（     ）

A.    B.    C.    D. 

5．函数的定义域是（     ）

A． B．    C．   D． 

6．三个数的大小关系为（     ）

A.       B. 

C．       D. 

7．若，则的表达式为（   ）

A．  B．  C．   D． 

二、填空题

1．从小到大的排列顺序是                           。

2．化简的值等于__________。

3．计算： =       。

4．已知，则的值是_____________。

5．方程的解是_____________。

6．函数的定义域是______；值域是______.

7．判断函数的奇偶性           。

三、解答题

1．已知求的值。

2．计算的值。

3．已知函数,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性。

子曰：我非生

而知之者，

好古，敏以求

之者也。

4．（1）求函数的定义域。

（2）求函数的值域。

 一、选择题 

1.   D   ，对应法则不同； 

； 

2.   D  对于，为奇函数；

对于，显然为奇函数；显然也为奇函数；

对于，，为奇函数；

3.   D  由得，即关于原点对称；

4.   B   

5.   D   

6.   D   

当范围一致时，；当范围不一致时， 

注意比较的方法，先和比较，再和比较

7．  D  由得

二、填空题

1．      

，

而

2.      

3.     原式

4.      ， 

5.      

6.     ； 

7.   奇函数  

三、解答题

1．解： 

2．解：原式

3．解：且，且，即定义域为；

           为奇函数；

           在上为减函数。

4．解：（1），即定义域为；

（2）令，则， 

，即值域为。