广西南宁二中2011届高三10月月考数学理试题

2011届高三年级10月月考

数学试题（理科）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么              球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)                      

如果事件A、B相互，那么          其中R表示球的半径

P(A·B)=P(A)·P(B)                   球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是    

P，那么n次重复试验中恰好发生k     其中R表示球的半径    

次的概率          

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义（    ）

    A．M    B．N    C．{1，4，5}    D．{6}

2．复数的虚部是            （    ）

    A．    B．    C．    D． 

3．是等比数列（的公比）；的前项和为，且P是Q的                （    ）

    A．充分不必要条件        B．必要不充分条件

    C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

4．下列命题中正确的是                （    ）

    A．平行于同一平面的两条直线必平行

    B．垂直于同一平面的两个平面必平行

    C．一条直线至多与两条异面直线中的一条平行

    D．一条直线至多与两条相交直线中的一条垂直

5．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有      种。        （    ）

    A．4    B．6    C．8    D．16

6．若的值是        （    ）

    A．    B．    C．    D． 

7．若的展开式各项系数和为，则展开式中的常项数为    （    ）

    A．-540    B．-162    C．162    D．540

8．若函数存在反函数，且函数图象在点处的切线方程为，则函数的图象在点处的切线方程为    （    ）

    A．        B． 

    C．        D． 

9．已知，O为坐标原点，点C在内，且，设，则等于            （    ）

    A．        B． 

    C．        D．3

10．已知为偶函数，且若            （    ）

    A．2011    B．-2011    C．    D． 

11．设双曲线的右焦点为F，右准线与两条渐近线交于P，Q两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率为        （    ）

    A．2    B．    C．    D． 

12．如果关于的方程正实数解有且仅有一个，那么实数的取值范围为（    ）

    A．        B． 

    C．        D． 

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数平移后得到的图象解析式为，则平移向量的坐标为          。

14．若实数x、y满足的最小值为—6，则k=       。

15．已知△ABC的三个顶点在同一球面上，若∠BAC=90°，AB=AC=2，球心O到平面ABC的距离为1，则该球的半径为        。

16．已知为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为         。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演处步骤。

17．（本小题满分10分）

    在△ABC中，内角A、B、C对边长分别是a，b，c，已知

   （I）若△ABC的面积等于；

   （II）若的面积。

18．（本小题满分12分）

    某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核，若小张参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为

   （I）求小张第一次参加考核就合格的概率P1；

   （Ⅱ）求小张参加考核的次数和分布列和数学期望值

19．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥BC，P为A1C1的中点，AB=BC=kPA。

   （I）当k=1时，求证PA⊥B1C；

   （II）当k为何值时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为，并求此时二面角A—PC—B的余弦值。

20．已知函数是自然数对数的底数）

   （1）求的最小值；

   （2）不等式的解集为P，若，求实数的取值范围。

21．（本小题满分12分）

已知椭圆的右准线是，倾斜角为交椭圆于A、B两点，AB的中点为

   （I）求椭圆的方程；

   （II）若P、Q是椭圆上满足若直线OP、OQ的斜率分别为，求证：是定值。

22．（本小题满分12分）

    设数列满足：

   （Ⅰ）求的值；

   （Ⅱ）设数列通项公式；

   （Ⅲ）求证： 

参

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共60分）

1—6DBBCCD  7—12  ABCCCB

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．    14．0    15．    16． 

三、解答题（本大题共6小题）

17．解：（I）由余弦定理及已知条件

联立方程组

解得    …………4分

   （II）由题意乔

当

由正弦定理得

联立方程组

解得

所以…………10分

18．解：（I）由题意得

    …………4分

   （II）由（I）知小张4次考核每次合格的概率依次为

，所以

所以的分布列为

19．（方法一）

   （I）连接B1P，因为在直三棱柱ABC—A1B1C1中，P为A1C1的中点，

AB=BC，所以B1P⊥面A1C。

所以B1P⊥AP。

又因为当k=1时，

AB=BC=PA=PC，

∴AP⊥PC。

∴AP⊥平面B1PC，

∴PA⊥B1C。

   （II）取线段AC中点M，线段BC中点N，

连接MN、MC1、NC1，

则MN//AB，∵AB⊥平面B1C，∴MN⊥平面B1C，

是直线PA与平面BB1C1C所成的角，

设AB=a， 

即时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为

此时，过点M作MH，垂足为H，连接BH，

，

由三垂线定理得BH⊥PC，

所以是二面角A—PC—B的平面角。

设AB=2，则BC=2，PA=-4，，

在直角三角形中AA1P中

，

连接MP，在直角三角形中

由，

又由，在直角三角形中BMH中，

解得，

在直角三角形BMH中

所以二面角A—PC—B的余弦值是

（方法一）

以点B为坐标原点，分别以直线BA、BC、BB1为x轴、y轴建立空间直角坐标系Oxyz，

   （I）设AB=2，则AB=BC=PA=2

根据题意得： 

所以

   （II）设AB=2，则，

根据题意：A（2，0，0），C（0，2，0）

又因为

所以，

所以由题意得

即

即时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为

的法向量

设平面BPC的一个法向量为

由，得，

所以此时二面角A—PC—B的余弦值是

20．（12分）解： 

   （I）

当，

故连续，

故    …………4分

   （II）

即不等式在区间有解

在区间

递减，

在区间[1，2]递增        …………8分

又

所以，实数a的取值范围为…………12分

21．解：（I）由于直线AB的倾斜角为且过点，

所以直线的方程为

代入椭圆方程，整理得，

即

又，联立，

求得

所以椭圆方程为…………6分

   （II）设都在椭圆上，

由

…………12分

22．（12分）

代入

   （I）  …………2分

   （II）由（I）知

……

同理

                                …………6分

（III）（理科）当

    故…………12分