等腰三角形的性质与判定练习

基础知识

1.两个底角相等(简写为“等边对等角”)

2.底边的中线、高及顶角平分线三线合一.

3.等边三角形各内角都等于60°.

利用这些性质，可以解决有关三角形的边、角的证明及计算问题，也可以利用性质来进行有关线段、角的证明及计算问题.

等腰三角形的判定定理

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）

等腰三角形判定定理的推论

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等边三角形的判定方法（1）运用定义：三条边相等（2）三个角相等（3）有一个角是60°的等腰三角形

典型例题

例1  求证：等腰三角形两腰的中线相等.

已知△ABC中AB=AC，BD、CE为中线，求证BD=CE.

例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。求证：△DEF是等腰三角形。

 例3. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，且，，求证：BD+DC=AB。

例4. 如图所示，已知：△ABC中，AB=AC，在AB上取点D，在AC延长线上取点E，使BD=CE。连结DE交BC于点G。求证：DG=GE。

例5.  △ABC中，AB=AC，∠BAC=120°,D为BC上一点，DA⊥AB，AD=24,求BC.

分析：由已知等腰三角形顶角120°,可求出底角30°(∠B=30°)，可计算出∠C=∠CAD=30°.再利用等腰△ADC及有一个锐角为30°的Rt△ADB三边的关系求出结论.

例6  △ABC中，∠B＞∠C，求证AC＞AB.

例7  D为△ABC内一点，AB=AC，∠ADB＞∠ADC.求证DC＞DB.

例8  如图，△ABC为等边三角形，D在BA延长线上，E在BC延长线上，且DA=BE.求证DC=DE.

同步练习

一. 选择题

  1. 在下列命题中：

 （1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形

 （2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形

 （3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形

 （4）三个外角都相等的三角形是等边三角形

 其中正确的有（ ）

 个  个  个  个

  2. 如图所示，△MNP中，，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ的周长是（ ）

  3. 具有下列条件的两个等腰三角形，不能判定它们全等的是（ ）

 顶角、一腰对应相等B. 底边、一腰对应相等

 两腰对应相等  D. 一底角、底边对应相等

  4. 如图所示，F为△ABC的两个内角平分线的交点，过点F作DE//BC交AB于D，交AC于E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（ ）

  5. 在△ABC中，，AB=a，则BD等于（ ）

       无法确定

 二. 证明题

  1. 如图所示，BD=DC，BF交AD，AC于E、F，若AF=EF，求证：BE=AC。

2. 如图所示，等边△ABC中，，求证：。

  3. 如图所示，，求证：。

4. 如图所示，D是的平分线与的外角平分线的交点，DE//BC，交AB于E，交AC于F。求证：。

课下练习

1.D为等边三角形ABC边AC上一点，∠ACE=∠ABD，CE=BD.(图3.13-11)则△ADE是

A.钝角三角形 .直角三角形 .任意等腰三角形 .等边三角形

2.AD为△ABC的角平分线，AB+BD=AC，则∠B∶∠C值为

A.2∶1∶1∶1∶1

3.△ABC中，∠A=∠C=55°,形内一点P使∠PAC=∠PCA，则∠ABP为

A.30° ° ° D.45°

4.△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°,D 为BC上一点，DA⊥AB，AD=24则BC=

A.24            B.36           C.72           D.96

5.等腰直角三角形斜边长为a，则面积为

A.a2 a2 2 2

6.如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等，那么这个三角形一定是

A.等边三角形 .等腰三角形 C.直角三角形 .斜三角形

7.△ABC中∠C=2∠B，则

A.AB＜2 C.AB＞2与2AC关系不确定.

8.如图,△ABC中AB=AC，∠A=36°,BD、CE为角平分线，交于O，则图中等腰三角形共有

 A.4个 6个 .8个 .10个

9. 在直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共用（      ）

       （A）4个      （B）3个     （C）2个    （D）1个

10．如果等腰三角形一个腰上的高与腰的夹角是30°，则它的顶角度数是           

11.AD为△ABC的角平分线，M为BC中点，ME∥AD交BA延长线于E，交AC于F.求证BE=CF=(AB+AC)

12.Rt△ABC中，AC=BC，D为形内一点，满足∠DCB=∠DBC=15°.求证AC=AD.

13.如图村庄A、B位于一条小河的两侧；若河岸l1，l2彼此平行，现在要架设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近.

探究学习：当要证相等的二线段是同个三角形的两边，或二线段有公共点，连结另两个端点，使其成为三角形的两边，若能证得两边对的角相等；则可证得二线段相等，基本图形有：