2012年全国高中数赛河南省预赛试题

本试卷满分140分

一、填空题（满分分）

1、在小于20的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和能够被3整除，则不用的取法种数为_________________.

2、将长为的线段任意截成三段，则这三段能够组成三角形的概率为_________________.

3、在中，，，为中点，将沿折起，使之间的距离为，则点到面的距离为_________________.

4、若锐角满足，则角的度数为_________________.

5、函数，若互不相同，且，则的取值范围是_________________.

6、各项均为正数的等比数列中，，则的最小值为_________________.

7、一只蚂蚁由长方体顶点出发，沿着长方体的表面达到顶点的最短距离为6，则长方体的体积最大值为______________.

8、表示不超过实数的最大整数，则

二、（本题满分16分）如图，已知四棱锥的地面为菱形，且,,.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

三、（本题满分20分）已知函数

（1）当时，求证：

（2）当且时，不等式成立，求实数的值.

四、（本题满分20分）数列中，且

（1）设，求数列的通项公式.

（2）设，数列的前项的和为，证明：.

五、（本题满分20分）  已知椭圆，是圆上任意一点，过 点作椭圆的切线，切点分别为，求的最大值和最小值.

江苏省常熟市中学   査正开  215500