广东省2018届高三七校第一次联考(理数)

数学（理科）

本试卷共4页,23小题,满分150分.考试用时120分钟.

参考公式： 24S R π=球表，其中R 表示球的半径

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.{}

2

|450A x x x =--≤，{}|||2B x x =≤，则()R A B = ð（ ）

A .[]2,5 B.(2,5] C.[]1,2- D.[)1,2-

2．如果复数21m i

mi

++是纯虚数,那么实数m 等于（ ）

A ．1-

B ．0

C ．0或1

D ．0或1-

3．设,x y 满足约束条件2602600x y x y y +-≥⎧⎪

+-≤⎨⎪≥⎩

，则目标函数z x y =+最大值是（ ）

A ．3；

B ．4；

C ．6； D.8

4．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2

(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差

落在区间(3,6)内的概率为（ ） （附：正态分布2

(,)N μσ中，

()68.26%P μσξμσ-<<+=(22)95.44%P μσξμσ-<<+=）

A ．4.56% B.13.59% C ．27.18% D.31.74%

5．下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ）

A ．2x y =

B ．2x y =

C ．22x x y -=-

D ．22x x

y -=+ 6．下列有关命题的说法正确的是( )

A . 命题“若2

1x =,则1x =”的否命题为:“若2

1x =,则1x ≠”. B . “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．

C . 命题“x ∃∈R ,使得2

10x x ++<”的否定是:“x ∀∈R ,均有2

10x x ++<”. D . 命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题为真命题. 7．已知函数sin(2)y x ϕ=+在6

x π

=处取得最大值，则函数cos(2)y x ϕ=+的图象（ ）

A .关于点(

0)6π,对称 B ．关于点(0)3

π

,对称 C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3

x π

=对称

8．函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[],ππ-上的图像大致是（ ）

9．二项式29

1(2)x x -展开式中,除常数项外,各项系数的和为（ ） A. 671-

B. 671

C. 672

D. 673

10.某一简单几何体的三视图如图1所示,该几何体的外接球的表面积是（ ）

A . 13π

B . 16π

C . 25π

D . 27π

11.已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆

与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为（ ）

5 5 2 D .2

12. 已知函数2y x =的图象在点()2

00,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相

切，则0x 必满足（ ）

A ．012x <<

0 B ．01

2

x <<1 C ．

22

2

0<本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～23为选考题,考生根据要求作答.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.

13.设向量a 、b 满足:1=a ,2=b ,()⊥-a a b ,则a 与b 的夹角是____. 14.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增 加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割 圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著 名的“徽率”.如图2是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框 图,则输出的值为____.

(参考数据:sin150.2588︒=,sin 7.50.1305︒=

15.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点,若||3AF =,

则||BF =______.

16．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =，则AD 的长为 ．

三、解答题:本大题共7小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)

已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*

n ∈N ．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；

（Ⅱ）是否存在*

, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k

的值；若不存在，请说明理由；

18.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平 面ABE 与棱PD 交于点F ． (Ⅰ)求证：//AB EF ；

(Ⅱ)若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面

角的余弦值．

19.(本小题满分12分)

某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以

20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a 万元．

已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36．

(Ⅰ)若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益； (Ⅱ)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．

20.(本小题满分12分)

已知动点M 到定点(1,0)F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1.

（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于点,A B 和,M N ．设线段AB ，

MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FPQ ∆面积的最小值．

21.(本小题满分12分)

已知函数()ln f x x =，()()h x a x a R =∈.

（Ⅰ）函数()f x 与()h x 的图象无公共点，试求实数a 的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数m ，使得对任意的1(,)2x ∈+∞，都有函数()m

y f x x

=+

的图象在()x

e g x x

=的图象的下方？若存在，请求出最大整数m 的值；若不存在，请说理由.

（参考数据：ln 20.6931=，,ln 3 1.0986=

1.3956=）.

请考生在第22,23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号. 22.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程选讲

已知曲线C

的参数方程为21x y α

α

⎧=+⎪⎨

=+⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；

(Ⅱ)设12::63l l ππ

θθ==，若l 1 、l 2与曲线C 相交于异于原点的两点 A 、B ，求△AOB 的面

积.

23. (本小题满分10分)选修45-:不等式选讲

已知函数12)(---=x a x x f . (Ⅰ)当2=a 时，求03)(≥+x f 的解集；

(Ⅱ)当]3,1[∈x 时，3)(≤x f 恒成立，求a 的取值范围.

数学（理科）参

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分

12.【解析】D ；画出图像，显然可以排除A 、B 选项.由题x x f 2)(='，2

00)(x x f =，所以l 的方程为2

000)(2x x x x y +-=2

002x x x -=，因为l 也与函数ln y x =的图象相切，令切点坐标为

)ln ,(11x x ，所以l 的方程为y 1ln 111

-+=x x x ，这样有⎪⎩

⎪⎨

⎧

=-=

2

011

0ln 112x x x x ，所以

2

002ln

1x x =+，()01,x ∈+∞,令12ln )(2--=x x x g ，()1,x ∈+∞，又因为

x x x g 12)(-='x

x 1

22-=，所以)(x g 在()1,+∞上单调增，又02ln )1(<-=g ，

022ln 1)2(<-=g ，20g =-

0x <本大题共4小题,每小题5分,满分20分.

13.60︒ 14. 24； 15. 3

2

； 16. 5；

16.【解析】

5；在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．在△BCD 中，因

为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以cos CD CDB BD ∠=5

2x

=

． 在△ACD 中，因为AD x =，5CD =，AC =

由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==

⨯⨯因为CDB ADC ∠+∠=π， 所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，即22255

252x x x

+-=-⨯⨯．解得5x =．所以AD 的长为5.

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.【解析】(Ⅰ)11110(21)(2)a a a =++，得2112520a a -+=，解得12a =，或11

2

a =．

由于11a >，所以12a =．.…………1分

因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以2

10252n n n S a a =++.

故221111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，.…………3分 整理，得22112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=．. 因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此15

2

n n a a +-=．…………5分 则数列{}n a 是以2为首项，

5

2

为公差的等差数列.

所以51

2(1)(51)22

n a n n =+

-=-.……………………………6分 （Ⅱ）满足条件的正整数, , m n k 不存在，证明如下：

假设存在*

, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=，…………………8分

则1

5151(51)2

m n k -+-=

-．…………………9分 整理，得3

225

m n k +-=， ①

显然，左边为整数，所以①式不成立．

故满足条件的正整数, , m n k 不存在．…………………12分

18.【解析】(Ⅰ)∵底面ABCD 是菱形，∴//AB CD ，

又∵AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ， ∴//AB 面PCD ，…………2分

又∵A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =， ∴//AB EF ；…………4分

(Ⅱ) 取AD 中点G ，连接PG ，GB ，∵PA PD =，∴PG AD ⊥，

又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =， ∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG GB ⊥，

在菱形ABCD 中，∵AB AD =，60DAB ∠=︒，G 是AD 中点， ∴AD GB ⊥，…………………6分

如图，建立空间直角坐标系G xyz -，设2PA PD AD ===，

则(0,0,0)G ，(1,0,0)A

，

B (

C -，(1,0,0)

D -

，P ， 又∵//AB EF ，点E 是棱PC 中点， ∴点F 是棱PD 中点，

∴(E -

，1(2F -

，3(2AF =-uu u r

,1(,2EF =uu u

r ，…………8分 设平面AFE 的法向量为(,,)n x y z =r ，则有0

0n AF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu u r

，∴z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩

，

不妨令3x =，则平面AFE

的一个法向量为n =r

，…………………10分

∵BG ⊥平面PAD

，∴GB =u u u r

是平面PAF 的一个法向量，

∵cos ,13n GB n GB

⋅===⋅r uu u r

r uu u r r uu u r

， ∴平面PAF 与平面AFE

所成的锐二面角的余弦值为13．………………12分 19.【解析】(Ⅰ)设下周一无雨的概率为p ，由题意，2

0.36,0.6p p ==，…………2分

基地收益X 的可能取值为20,15,10,7.5，则(20)0.36P X ==，(15)0.24P X ==， (10)0.24P X ==，(7.5)0.16P X ==………………………………………4分

∴基地收益X 的分布列为：

()200.36150.24

E X =⨯+⨯，…………………………5分 ∴基地的预期收益为14.4万元．……………………………………………6分

(Ⅱ)设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，

则其预期收益()200.6100.416E Y a a =⨯+⨯-=-（万元），…………………8分

()() 1.6E Y E X a -=-，…………………9分

综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．……………………12分

20.【解析】(Ⅰ)由题意可知：动点M 到定点(1,0)F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离，根据抛

物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线。 ……2分

2p = ，∴抛物线方程为：24y x = ……3分

（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为11(, )x y ，22(,)x y ，则点P 的坐标为1212(

,)22

x x y y ++． 由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =- (0)k ≠， 由24, (1),

y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 2242(24)416160k k k D =+-=+>.…………………5分

因为直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以12242x x k +=+，12124(2)y y k x x k

+=+-=． 所以点P 的坐标为222(1, )k k

+.…………………6分 由题知，直线2l 的斜率为1k

-，同理可得点Q 的坐标为2(12,2)k k +-.…………………7分 当1k ≠±时，有222112k k +≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ k k k k k k k

+==-+--.……8分 所以，直线PQ 的方程为222(12)1k y k x k k

+=---， 整理得2(3)0yk x k y +--=.

于是，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ；

当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点(3, 0)E ．

综上所述，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ． …………………10分

（Ⅲ）可求的||2EF =，

所以FPQ ∆面积121||(2||)2(||)42||||

S FE k k k k =+=+≥. 当且仅当1k =±时，“=”成立，所以FPQ ∆面积的最小值为4．……………12分

21.【解析】(Ⅰ)函数()f x 与()h x 无公共点，等价于方程

ln x a x =在(0,)+∞无解.…2分 令ln ()x t x x =，则2

1ln '(),x t x x -=令'()0,t x =得x e = x (0,)e

e (,)e +∞ '()t x

＋ 0 － ()t x

增 极大值 减

因为x e =是唯一的极大值点，故max 1()t t e e

==

………………4分 故要使方程ln x a x =在(0,)+∞无解，当且仅当1a e

> 故实数a 的取值范围为1(,)e

+∞ …………………6分 （Ⅱ）假设存在实数m 满足题意，则不等式ln x

m e x x x

+<对1(,)2x ∈+∞恒成立. 即ln x m e x x <-对1(,)2

x ∈+∞恒成立. …………………6分 令()ln x r x e x x =-，则'()ln 1x r x e x =--，

令()ln 1x x e x ϕ=--，则1'()x x e x

ϕ=-， ……………7分 因为'()x ϕ在1(,)2+∞上单调递增，121'()202

e ϕ=-<，'(1)10e ϕ=->，且'()x ϕ的图象在1(,1)2上连续，所以存在01(,1)2x ∈，使得0'()0x ϕ=，即0010x e x -=，则00ln x x =- ………9分 所以当01(,)2

x x ∈时，()x ϕ单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()x ϕ单调递增， 则()x ϕ取到最小值000001()ln 11x x e x x x ϕ=--=+

-110≥=>， 所以'()0r x >，即()r x 在区间1(,)2

+∞内单调递增. …………………11分 11221111()ln ln 2 1.995252222

m r e e ≤=-=+=， 所以存在实数m 满足题意，且最大整数m 的值为1. …… ………12分

22.【解析】(Ⅰ)∵曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=α

αsin 51cos 52y x (α为参数) ∴曲线C 的普通方程为()()51222=-+-y x …………2分

将⎩

⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入并化简得：θθρsin 2cos 4+= 即曲线C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 4+=. …………5分

（Ⅱ）在极坐标系中，θθρsin 2cos 4+=：C ∴由⎪⎩⎪⎨⎧+==θ

θρπθsin 2cos 46得到132+=OA …………7分 同理32+=OB . ………… 9分

又∵6π

=∠AOB ∴4

358sin 21+=∠⋅=∆AOB OB OA S AOB .

即AOB ∆的面积为

4

358+. …………10分 23.【解析】(Ⅰ) 当2a =时，由()3f x ≥-，可得2213x x ---≥-， ①1,22213x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-≥-⎩或②12,22213

x x x ⎧≤<⎪⎨⎪--+≥-⎩或③2,2213x x x ≥⎧⎨--+≥-⎩…………………3分 解①得142x -≤<；解②得122

x ≤<；解③得2x =.…………………4分 综上所述，不等式的解集为{}42x x -≤≤. …………………5分 （Ⅱ）若当[]1,3x ∈时，()3f x ≤成立， 即32122x a x x -≤+-=+. …………………6分

故2222x x a x --≤-≤+，

即322x a x --≤-≤+，…………………8分

∴232x a x --≤≤+对[]1,3x ∈时成立.

[3,5]a ∴∈-. …………………10分