(北京卷)2010年高考试题-数学文(Word有答案)

2010年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题  共140分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

⑴ 集合，则=

   (A) {1,2}    (B) {0,1,2}    (C){1,2,3}      (D){0,1,2,3}

⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是

  （A）4+8i    (B)8+2i    （C）2+4i         (D)4+i

⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是

   （A）     (B)       （C）         (D) 

⑷若a,b是非零向量，且，，则函数是

   （A）一次函数且是奇函数      （B）一次函数但不是奇函数

   （C）二次函数且是偶函数      （D）二次函数但不是偶函数

（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的

正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体

的俯视图为：

 (6)给定函数①，②，③，④，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是

（A）①②   （B）②③    （C）③④    （D）①④

（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，

顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，

该八边形的面积为

（A）；               （B）

（C）                （D）

（8）如图，正方体的棱长为2，

动点E、F在棱上。点Q是CD的中点，动点

P在棱AD上，若EF=1，DP=x， E=y(x,y大于零)，

则三棱锥P-EFQ的体积：

（A）与x，y都有关；             （B）与x，y都无关；

（C）与x有关，与y无关；        （D）与y有关，与x无关；

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

（9）已知函数右图表示的是给

定x的值，求其对应的函数值y的程序框图，

①处应填写          ；②处应填写          。

（10）在中。若，，，则a=           。

（11）若点p（m，3）到直线的距离为4，且点p在不等式＜3表示的平面区域内，则m=          。

（12）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高

（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。

由图中数据可知a=          。若要从身高在

[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的

学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动

，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数

应为          。

（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为          ；渐近线方程为          。

（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。

设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是

，则的最小正周期为          ；

在其两个相邻零点间的图像与x轴

所围区域的面积为          。

说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。

三、解答：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的最大值和最小值

（16）（本小题共13分）

已知为等差数列，且，。

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列满足，，求的前n项和公式

（17）（本小题共13分）

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。

EF//AC，AB=,CE=EF=1

（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；

（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;

(18) （本小题共14分）

 设定函数，且方程的两个根分别为1，4。

（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；

（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。

（19）（本小题共14分）

已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；

（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当变化时，求y的最大值。

（20）（本小题共13分）

已知集合对于，，定义A与B的差为

A与B之间的距离为

（Ⅰ）当n=5时，设，求，；

（Ⅱ）证明：，且;

(Ⅲ) 证明：三个数中至少有一个是偶数

绝密使用完毕前

2010年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

⑴ B      ⑵ C       ⑶ D        ⑷ A    

 ⑸ C      ⑹ B       ⑺ A        ⑻ C

二、提空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

⑼        ⑽ 1

⑾ -3                  ⑿ 0.030     3

⒀ ()     ⒁ 4   

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

⒂（共13分）

解：（Ⅰ） =

   （Ⅱ）

因为,所以，当时取最大值2；当时，去最小值-1。

⒃（共13分）

解：（Ⅰ）设等差数列的公差。

         因为

         所以       解得

所以

   （Ⅱ）设等比数列的公比为

         因为

所以   即=3

所以的前项和公式为

⒄（共13分）

证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=AG=1

  所以四边形AGEF为平行四边形

  所以AF∥EG

           因为EG平面BDE,AF平面BDE,

           所以AF∥平面BDE

       （Ⅱ）连接FG。因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG.

          因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.

(18)(共14分)

解：由得

因为的两个根分别为1,4，所以        （*）

（Ⅰ）当时，又由（*）式得

解得

又因为曲线过原点，所以

故

（Ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”。

由（*）式得。

又

解      得

即的取值范围

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）因为，且，所以

所以椭圆C的方程为

（Ⅱ）由题意知

由  得

所以圆P的半径为

解得          所以点P的坐标是（0，）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程。因为点在圆P上。所以

设，则

当，即，且，取最大值2.

(20)(共13分)

（Ⅰ）解： =（1,0,1,0,1）

         =3

(Ⅱ)证明：设

         因为，所以

从而

由题意知

当时， 

当时， 

所以

(Ⅲ)证明：设

记由（Ⅱ）可知

所以中1的个数为k,中1的个数为

设是使成立的的个数。则

由此可知，三个数不可能都是奇数

即三个数中至少有一个是偶数。