2022-2023学年北京市朝阳区初二数学第一学期期末试卷及解析

一、选择题（共24分，每小题3分）

1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是　　

A．3，4，5    B．2，5，8    C．5，5，10    D．1，6，7

2．将0.000 004 6用科学记数法表示应为　　

A．    B．    C．    D．

3．下列四个轴对称图形中，只有一条对称轴的图形是　　

A．等腰三角形    B．等边三角形    

C．长方形    D．正五边形

4．下列计算正确的是　　

A．    B．    C．    D．

5．如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为　　

A．1    B．    C．2    D．4

6．正六边形的每个内角的度数为　　

A．    B．    C．    D．

7．如图，下列条件①；②；③；④中，若只添加一个条件就可以证明，则所有正确条件的序号是　　

A．①②    B．①③    C．①②③    D．②③④

8．如图，是射线上一点，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点，同时出发，设运动时间为，当是等腰三角形时，的值为　　

A．2    B．2或6    C．4或6    D．2或4或6

二、填空题（共24分，每小题3分）

9．若代数式有意义，则实数的取值范围为 　　．

10．我国平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量，北京陆地面积约是，则在北京陆地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 　　煤所产生的能量．

11．计算：　　．

12．如图是由射线，，，，，组成的平面图形，则　　．

13．分解因式：　   　．

14．如图，在中，平分，，则　　．

15．图中的四边形均为长方形，根据图形面积写出一个正确的等式：　　．

16．如图，中，，，，为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 　　．

三、解答题（共52分，第17-25题，每小题5分，第26题7分）

17．计算：．

18．如图，，于点，于点，．

（1）求证：；

（2）求证：．

19．先化简，再求值：，其中．

20．解方程．

21．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系，使与关于轴对称，点的坐标为．

（1）在图中画出平面直角坐标系；

（2）①写出点关于轴的对称点的坐标；

②画出关于轴对称的图形△，其中点的对称点是，点的对称点是．

22．阅读下面材料：

直尺、圆规、三角板等是常用的数学工具，利用这些工具作图或者画图，并理解其中的数学原理，是数学学习中探究及解决问题的主要角度之一．下面分别给出了得到已知角的平分线的两种方法．

方法一利用直尺和圆规作角的平分线．

已知：．

求作：的平分线．

作法：如图①，

（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．

（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．

（1）请证明方法一中的是的平分线；

（2）直接写出方法二中的是的平分线的依据．

23．列分式方程解应用题．

磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．，两站之间的距离为，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的6.25倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时．求该磁悬浮列车的平均速度．

24．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．

（1）图①是2022年12月份的月历，我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减，例如：　　，　　，不难发现，结果都等于 　　．（请完成填空）

（2）设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．

（3）如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为57，那么中间位置上的数　　．

25．如图，在平面直角坐标系中，点，过点作轴的垂线，点关于直线的对称点为．

（1）点的坐标为 　　；

（2）已知点，点，在图中描出点，，，顺次连接点，，，．

①在四边形内部有一点，满足且，则此时点的坐标为 　　，　　；

②在四边形外部是否存在点，满足且，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26．在中，，，是边的中线，是边上一点，，交于点．

（1）如图①，判断的形状并证明；

（2）如图②，，

①补全图形；

②用等式表示，，之间的数量关系并证明．

答案与解析

一、选择题（共24分，每小题3分）

1．解：、，故能构成三角形，故此选项符合题意；

、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；

、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；

、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意．

故选：．

2．解：0.000 004 ．

故选：．

3．解：等腰三角形只有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴，长方形有两条对称轴，正五边形有五条对称轴．

故选：．

4．解：、，故不符合题意；

、，故符合题意；

、，故不符合题意；

、，故不符合题意；

故选：．

5．解：，，，

，

，

，

是边上的中线，

，

故选：．

6．解：正六边形的每个外角的度数为，

正六边形的每个内角的度数为．

故选：．

7．解：添加的条件为①②③，

理由是：，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，

，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，

，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，

，，，不符合全等三角形的判定，不能推出，

即能证明的序号是①②③，

故选：．

8．解：由题意得：，，

则当点在线段上时，，当点在射线上时，，

当点在线段上，时，，

解得：，

点在射线上，时，，

解得：，

如图，点在射线上，时，过点作于，

则，

，

，

，

，

解得：，

综上所述：当是等腰三角形时，的值为2或6，

故选：．

二、填空题（共24分，每小题3分）

9．解：由题意得，，

解得．

故答案是：．

10．解：由题意可得：，

答：在北京陆地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量．

故答案为：．

11．解：．

故答案为：．

12．解：由多边形的外角和等于可知，

，

故答案为：．

13．解：．

故答案为：．

14．解：设，则．

，

，

．

，

．

在中，，

，

，

．

故答案为：36．

15．解：根据题意得：（答案不唯一）．

故答案为：（答案不唯一）．

16．解：如图：

构造矩形，连接，，交于点，

则，，，

，

，

四边形为平行四边形，

，

，

中，，，

，

，

故答案为：4．

三、解答题（共52分，第17-25题，每小题5分，第26题7分）

17．解：原式

．

18．证明：（1）于点，于点，

，

，

，

在和中，

，

；

（2），

，

．

19．解：

，

当时，原式．

20．解：，

，

方程两边都乘，得，

解得：，

检验：当时，，

所以是原分式方程的解，

即原分式方程的解是．

21．解：（1）如图，平面直角坐标系即为所求；

（2）①如图，；

②如图，△即为所求．

22．解：（1）由基本作图方法可得：，，，

在和中，

，

，

，

即为的平分线；

（2）在和中，

，

，

，

即为的平分线；

故方法二中的是的平分线的依据是角平分线的判定．

23．解：设地铁的平均速度为千米小时，则磁悬浮列车的平均速度为6.25千米小时，

由题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

则，

答：磁悬浮列车的平均速度为225千米小时．

24．（1）解：，，不难发现，结果都是：15；

故答案为：15，15，15；

（2）证明：设“”字型框架中位置上的数为，则，，，四个数依次为，，，，

由题意得，

；

（3）解：中间位置上的数为，则最小的数为，最大的数为，

由题意得，

，

，

，

或（负值舍去），

，

故答案为：11．

25．解：（1），

故答案为：；

（2）如图：

①且，，，

点在直线上，且到的距离是到距离的2倍，

在四边形的内部，

，

；

，

故答案为：，

②且，，，

点在直线上，且到的距离是到距离的2倍，

在四边形的外部，

，

．

26．解：（1）是等腰三角形，

证明：，是边的中线，

，

，

设，

，

，

，

，

，

，

是等腰三角形；

（2）①补全图形如图②所示，

②；

证明：如图③，

在中，，

，

过点作于，

，

，

，

在中，，是边的中线，

，，

，

，

，

，

，

，，

由（1）知，，

，

，

．