2015年北京东城高三二模数学试题及答案(理科)

高三数学    （理科）             

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

第一部分（选择题   共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

（1）

（A）                            （B）

（C）                            （D）

（2）设，，，则，，的大小关系是

（A）                      （B）       

（C）                      （D）  

（3）已知为各项都是正数的等比数列，若，则

（A）                              （B）

（C）                             （D）

（4）甲、乙两名同学次数学测验成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的平均数，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的标准差，则有

（A），                 

（B）， 

（C），                 

（D）， 

（5）已知，是简单命题，那么“是真命题”是“是真命题”的

（A）充分而不必要条件                （B）必要而不充分条件    

（C）充分必要条件                    （D）既不充分也不必要条件

（6）若实数满足不等式组则的取值范围是

（A）                         （B）        

（C）                           （D）

（7）定义在上的函数满足.当时，,当时，，则

（A）                          （B）        

（C）                         （D）

（8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为，其中（），传输信息为，，，运算规则为：，，，．例如原信息为，则传输信息为．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是

（A）                        （B）        

（C）                        （D）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是，则          ，展开式中的常数项为           ．（用数字作答）

（10）已知正数满足，那么的最小值为            ．

（11）若直线为参数与曲线为参数， 有且只有一个公共点，则          ．

（12）若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，则            ．

（13）已知非零向量满足，与的夹角为，则的取值范围是       ． 

（14）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”．

给出下列四个命题：

 ① 若，则“距离坐标”为的点有且仅有个．

② 若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有个．

③ 若，则“距离坐标”为的点有且仅有个．

④ 若，则点的轨迹是一条过点的直线．

其中所有正确命题的序号为            ．

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

（15）（本小题共13分）

已知函数．

（Ⅰ）求的定义域及其最大值；

（Ⅱ）求在上的单调递增区间．

（16）（本小题共13分）

某校高一年级开设，，，，五门选修课，每位同学须彼此地选三门课程，其中甲同学必选课程，不选课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．

（Ⅰ）求甲同学选中课程且乙同学未选中课程的概率；

（Ⅱ）用表示甲、乙、丙选中课程的人数之和，求的分布列和数学期望．

（17）（本小题共14分） 

如图，三棱柱的侧面是边长为的正方形，侧面侧面，，，是的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求的长；若不存在，说明理由．

（18）（本小题共13分）

已知函数．

 （Ⅰ）当时，求在区间上的最小值；

 （Ⅱ）求证：存在实数，有.

（19）（本小题共13分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为．

（Ⅰ）求椭圆的方程； 

（Ⅱ）设为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点与平行的直线与椭圆交于点．证明：． 

（20）（本小题共14分）

已知数列的前项和为，且满足，，设，．

(Ⅰ)求证：数列是等比数列；

(Ⅱ)若，，求实数的最小值；

（Ⅲ）当时，给出一个新数列，其中设这个新数列的前项和为，若可以写成(且)的形式，则称为“指数型和”．问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．