初中数学因式分解导学案(共4课时)

课时1：提公因式法

学习目标：

1.了解因式公解、公因式的概念．

2.会用提公因式法分解因式．

3.了解因式分解与整式乘法的关系．

4.在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法．

学习重点：会用提公因式法分解因式．

学习难点：如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式

学具使用：多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等

学习内容：

一、创设情境思考（课前20分钟）

1、阅读课本P114 ～115 页，思考下列问题：

（1）什么是因式公解？什么是公因式？

（2）课本P115页例1、例2你能解答吗？

2、思考后我还有以下疑惑：

二、答疑解惑我最棒（约8分钟）

甲：

乙：

丙：

丁：

三、合作学习探索新知（约15分钟）

1、小组合作分析问题

2、小组合作答疑解惑

3、师生合作解决问题

【1】乘法分配律的内容是什么？

【2】请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快．

（1）20×（-3）2+60×（-3）

（2）1012-992

（3）572+2×57×43+432

（学生在运算与交流中积累解题经验，复习乘法公式）

解：（1）20×（-3）2+60×（-3）

=20×9+60×（-3）

=180-180=0

或20×（-3）2+60×（-3）

=20×（-3）2+20×3×（-3）

=20×（-3）（-3+3）=-60×0=0．

（2）1012-992=（101+99）（101-99）

=200×2=400

（3）572+2×57×43+432=（57+43）2=1002

=10000．

[师]在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，•有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解．

【3】把下列多项式写成整式的乘积的形式

（1）x 2+x=_________

（2）x 2-1=_________

（3）am+bm+cm=__________

根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：

（1）x 2+x=x （x+1）

（2）x 2-1=（x+1）（x-1）

（3）am+bm+cm=m （a+b+c ）

【4】可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维．

【5】再观察上面的第（1）题和第（3）题，你能发现什么特点．

◆发现（1）中各项都有一个公共的因式x ，（2）中各项都

有一个公共因式m ，是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢？

因为ma+mb+mc=m （a+b+c ）．

于是就把ma+mb+mc 分解成两个因式乘积的形式，•其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式a+b+c 是ma+mb+mc 除以m 所得的商，•像这种分解因式的方法叫做提公因式法．

四、归纳总结巩固新知（约15分钟）

1、知识点的归纳总结：

（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．

（2）把多项式各项的公因式提出完成分解因式的方法叫做提公因式法．

2、运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）

[例1]把8a 3b 2-12ab 3c 分解因式．

解：8a 3b 2+12ab 2c=4ab 2·2a 2+4ab 2·3bc=4ab 2（2a 2+3bc ）．

[例2]把2a （b+c ）-3（b+c ）分解因式．

解：2a （b+c ）-3（b+c ）=（b+c ）（2a-3）．

[例3]把3x 3-6xy+x 分解因式．

解：3x 2-6xy+x=x·3x -x·6y+x·1=x（3x-6y+1）．

[例4]把-4a 3+16a 2-18a 分解因式．

解：-4a 3+16a 2-18a=-（4a 3-16a 2+18a ）=-2a （2a 2-8a+9）

[例5]把6（x-2）+x （2-x ）分解因式．

解：6（x-2）+x （2-x ）=6（x-2）-x （x-2）=（x-2）（6-x ）．

【练习1】课本P115页练习（写在书上）

【练习2】课本P119页习题14.3第1题（写在书上）

五、课堂小测（约5分钟）

（1）ax x a ax +-2

23=

（2）3233452015y x y x y x +--=

（3） xy xy y x -+-22=

（4）)2()2(52x a x -+-=

（5）)()()(23y x y x y x ---++=

（6）)23)(5()7)(32(a b y x y x b a --++-=

六、作业我能行

1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？

(1)x 2-3x+1=x(x-3)+1 ；（ ）

(2)(m ＋n)(a ＋b)＋(m ＋n)(x ＋y)＝(m ＋n)(a ＋b ＋x ＋y)；（ ）

(3)2m(m-n)=2m 2-2mn ；（ ）(4)4x 2-4x+1=(2x-1)2；（ ）

(5)3a 2+6a=3a （a+2）；（ ）(6)x x x x x 3)2)(2(342

++-=+- （ ） (7))11(1x

x x +=+；（ ）(8)18a 3bc=3a 2b·6ac（ ） 2、分解因式

（1）)3()3()3(-+---x c x b x a

（2）72.46241.23⨯-⨯

（3）14.37.014.354

14.31.2⨯+⨯-⨯

（4）3mx-6my

（5）x 2y+xy 2

（6）12a 2b 3－8a 3b 2－16ab 4

（7）3x 2-6xy+x

（8）-24x 3 –12x 2 +28x

（9）8m 2n+2mn

（10）12xyz-9x 2y 2

（11）2a(y-z)-3b(z-y)

（12）计算5×34+24×32+63×32

3、先分解因式，再求值：4a 2(x+7)-3(x+7)，其中a=-5,x=3

七、课后反思：

1、学习目标完成情况反思：

2、掌握重点突破难点情况反思：

3、错题记录及原因分析：

学习目标：

1.能说出平方差公式的特点．

2.能较熟练地应用平方差公式分解因式．

3.知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．

4.经历探究平方差公式分解因式的过程，掌握利用平方差公式分解因式的方法

学习重点：应用平方差公式分解因式．

学习难点：灵活应用平方差公式分解因式．

学具使用：多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等

一、创设情境思考（课前20分钟）

1、阅读课本P116 ～117 页，思考下列问题：

（1）因式分解的平方差公式是什么？

（2）课本P116页例3例4你能解答吗？

2、思考后我还有以下疑惑：

二、答疑解惑我最棒（约8分钟）

甲：

乙：

丙：

丁：

三、合作学习探索新知（约15分钟）

1、小组合作分析问题

2、小组合作答疑解惑

3、师生合作解决问题

【1】你能叙述多项式因式分解的定义吗？

【2】运用提公因式法分解因式的步骤是什么？

【3】你能将a2-b2分解因式吗？你是如何思考的？

◆多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方差公式分解因式．

◆要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，•不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式：a2-b2=（a+b）（a-b）．

【4】观察平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．的项、指数、符号的特点：两数的平方差，等于这两数的和与这两数差的积。

（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．

（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．

（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，•“平方差”是得分解因式的多项式．由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．

【5】填空：

（1）4a2=（）2；（2）4

9

b2=（）2；

（3）0.16a4=（）2；（4）1.21a2b2=（）2；

（5）21

4

x4=（）2；（6）5

4

9

x4y2=（）2．

四、归纳总结巩固新知（约15分钟）

1、知识点的归纳总结：

平方差公式：a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）．

两数的平方差，等于这两数的和与这两数差的积。

2、运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）

[例1]分解因式

（1）942-x （2）22)()(p x p x --+

解：

[例2]因式分解：44y x - 33ab b a -

解：（1）x 4-y 4

=（x 2+y 2）（x 2-y 2）

=（x 2+y 2）（x+y ）（x-y ）．

（2）a 3b-ab=ab （a 2-1）=ab （a+1）（a-1）．

【练习1】课本P117页练习

【练习2】课本P119页习题14.3第2题

五、课堂小测（约5分钟）

一、分解因式

（1）2xy x - （2） 22209

51

b a - （3）2

2)23()32(y x y x --+

（4）424255b m a m - （5）xy xy 333-

二、简便计算：

22171429-

六、作业我能行

1、思考＄14.3.2公式法（二）工具单

2、练习册

七、课后反思：

1、学习目标完成情况反思：

2、掌握重点突破难点情况反思：

3、错题记录及原因分析：

学习目标：

1.理解完全平方公式的特点．

2.能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．

3.能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．

4.通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识

结构图培养学生归纳总结的能力．

学习重点：会用完全平方公式分解因式．

学习难点：灵活应用公式分解因式

学具使用：多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等

一、创设情境思考（课前20分钟）

1、阅读课本P 111～118 页，思考下列问题：

（1）怎样理解因式分解的完全平方公式？

（2）课本P118页例5例6你能解答吗？

2、思考后我还有以下疑惑：

二、答疑解惑我最棒（约8分钟）

甲：

乙：

丙：

丁：

三、合作学习探索新知（约15分钟）

1、小组合作分析问题

2、小组合作答疑解惑

3、师生合作解决问题

【1】根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，•分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？

【2】把下列各式分解因式．

（1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2

【3】将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．

【4】两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，•等于这两个数的和（或差）的平方．【5】完全平方公式的符号表示．

即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2．

[师]今天我们就来研究用完全平方公式分解因式．

【6】下列各式是不是完全平方式？

（1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2 （3）4a2+2ab+1 4 b2

（4）a2-ab+b2 （5）x2-6x-9 （6）a2+a+0.25

解：（2）、（4）、（5）都不是，（1）、（3）、（6）. （1）a2-4a+4=a2-2×2·a+22=（a-2）2

（3）4a2+2ab+1

4

b2=（2a）2+2×2a·

1

2

b+（

1

2

b）2 =（2a+

1

2

b）2

（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2

【7】方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个

数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的．

四、归纳总结巩固新知（约15分钟）

1、知识点的归纳总结：

★两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，•等于这两个数的和（或差）的平方．

★完全平方公式的符号表示．

即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2．

2、运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）

[例5]分解因式：

（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y2

解：（1）16x2+24x+9=（4x）2+2·4x·3+32=（4x+3）2．

（2）：-x2+4xy-4y2=-（x2-4xy+4y2）

=-[x2-2·x·2y+（2y）]2 =-（x-2y）2．

[例6]分解因式：

（1）3ax2+6axy+3ay2（2）（a+b）2-12（a+b）+36

解：（1）3ax2+6axy+3ay2 =3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2

（2）（a+b）2-12（a+b）+36=[（a+b）+6]2

=（a+b+6）2

【练习1】课本P119页练习（写到书上）

【练习2】课本P119页习题14.3第3题（写到书上）

五、课堂小测（约5分钟）

（1）6a-a2-9；

（2）-8ab-16a2-b2；

（3）2a2-a3-a；

（4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2

六、作业我能行

1、思考＄14.3.2公式法（三）工具单

2、练习册

七、课后反思：

1、学习目标完成情况反思：

2、掌握重点突破难点情况反思：

3、错题记录及原因分析：

课时4：十字交叉法

学习目标：

1.理解二次三项式的意义；

2.理解十字相乘法的根据；

3.能用十字相乘法分解二次三项式；

学习重点：掌握十字相乘法

学习难点：首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法

学具使用：多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等

一、创设情境思考（课前20分钟）

1、阅读课本P 121～页，思考下列问题：

（1）))(()(2

b x a x ab x b a x ++=+++你能理解吗？

（2）课本P121页最下面4道题你能解答吗？

2、思考后我还有以下疑惑： 二、答疑解惑我最棒（约8分钟）

甲：

乙：

丙：

丁：

三、合作学习探索新知（约15分钟）

1、小组合作分析问题

2、小组合作答疑解惑

3、师生合作解决问题

【1】二次三项式

◆多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项． 例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．

◆在多项式2

286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．

◆在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．

◆多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．

十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．

【2】十字相乘法的依据和具体内容

利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：

（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一项系数p ，那么它就可以运用公式

))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++

分解因式．

◆这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整

数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=

◆它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．

◆学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．

用十字相乘

◆用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(8652

2-+=-+x x y xy x

【3】因式分解一般要遵循的步骤

◆ 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分

组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 四、归纳总结巩固新知（约15分钟）

1、知识点的归纳总结：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++

2、运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）

例1 把下列各式分解因式：

（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-．

点悟：

（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；

（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．

解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ；

（2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．

例2 把下列各式分解因式：

（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．

点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．

解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ；

（2）)x )(x (x x 3133832

+-=-+．

点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．

例3 把下列各式分解因式：

（1）91024+-x x ；

（2）)(2)(5)(72

3y x y x y x +-+-+；

（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．

点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式；

（2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式；

（3）以)8(2a a +为整体，化为关于)8(2a a +的二次三项式．

解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x

＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．

（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+ ]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x

＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2]

＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)．

（3） 120)8(22)8(2

22++++a a a a )108)(128(22++++=a a a a

)108)(6)(2(2++++=a a a a

点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．

五、课堂小测（约5分钟）

◆将多项式分解因式

①672+-x x ；

②1232-+x x ；

③652-+x x ；

④9542--x x ；

⑤823152+-x x ；

⑥121124-+x x

六、作业我能行

1、完成＄第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习工具单

2、作业

一、选择题

1.如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )

A ．ab

B ．a ＋b

C ．－ab

D ．－(a ＋b )

2.如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )

A ．5

B ．－6

C ．－5

D ．6

3.多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2

4.不能用十字相乘法分解的是 ( )

A. 22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x --

5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x

二、填空题

6.=-+1032x x __________．

7.=--652m m (m ＋a )(m ＋b )．a ＝__________，b ＝__________．

8.=--3522x x (x －3)(__________)．

9.+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 10.22____)(____(_____)+=++a m n

a ．

七、课后反思：

1、学习目标完成情况反思：

2、掌握重点突破难点情况反思：

3、错题记录及原因分析：