四年级奥数教案

导入

    ①首项、②末项、③项数、④公差

2、引入课题

新授

求1+2+3+4+……+100的和是多少?

常规分析：

   逐项相加,计算量非常大,一不小心,漏加了一个数或多加了一个数,又得重头再来,所以高斯的同学算了整整一节课都没有算出来.

创新点拨：

高斯经过观察发现:第一项与最后一项的和是101, 第二项与倒数第二项的和也是101, 第三项与倒数第三项的和还是101……即:

1+2+3+4+……98+99+100

这100个数一共可以配成100÷2＝50(组),每组的和都是101,所以可以用101×50求出这个数列的和.

解法：

1+2+3+4+……98+99+100

＝(1+100）×(100÷2)

＝101×50

＝5050

例2 ：计算2+6+10+14+18

常规分析：

   例1的分析,可以这样计算:

2+6+10+14+18

＝(2+18）×5÷2

＝20×5÷2

＝50

创新点拨： 

经过观察发现:这个数列有5项,它们的平均数就是数列的中间项10,所以它们的和可以用10×5来计算。

解法

2+6+10+14+18＝10×5＝50

思路

回眸

复习

求和公式

新授

常规分析：

 根据求和公式，要求这个和，就要知道首项、末项和项数，首项是6，项数是100，只有末项不知道，为了求出和，可以把这个数列接着往下写，直到写满100项，这固然是个办法，但太繁了些。

创新点拨：

数列的第2项比第1项多3，第3项比第1项多了2个3，第4项比第1项多了3个3……以此类推，第100项应比第1项多了99个3。

解法：

这个数列的第100项是：

6＋（100－1）×3＝6＋99×3＝303

这个数列的和是

（6＋303）100÷2＝15450

例2 ：林林读一部小说，第一天读了40页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页，共花了10天读完，这本书共有多少页？

常规分析：

 根据题意，把林林每天读的页数依次枚举：40，45,50,60,65,70,75,80,85，这样，可以根据求和公式求出页数。

创新点拨： 

可以先求出最后一天的页数即末项，然后再求数列的和也就是这本书的页数。

解法

第10天读了多少页?

40＋（10－1）×5＝40＋9×5＝85（页）

这本书一共多少页?

（40＋85）×10÷2＝125×10÷2＝625（页）

复习

求和公式

新授

常规分析： 要求这个数列的和，除了要知道首项、末项外，还要知道项数，而这里的项数不能直接看出来，因此要把这个数列补充完整，然后再数出有几项，再用等差数列求和公式求出这个数列的和，但是把这么多项全部列举出来，也是一项“浩大的工程”。

创新点拨： 在这个数列前增加16项，扩大成1+2+3+…+17+18+…+81，那么这个数列的和就等于（1+2+3+…+15+16+17+18+…+81）-（1+2+3+…+15+16）

解法一：

17+18+19+…+81

=（1+2+3+…+15+16+17+18+…+81）-（1+2+3+…+15+16）

=（1+81）×81÷ 2-（1+16）×16÷2

=3321-136

3185

解法二：也可以这样想，数列1+2+3+…+15+16+17+18+…+81共有81项，数列1+2+3+…+15+16有16项，所以数列17+18+19+…+81的项数可以用81-16来计算，然后根据数列求和公式可以直接求出这个数列的和了。

（1）这个数列的项数：81—16=65；（2）这个数列的和：17+18+19+…+81=（17+81）×65÷2=98×65÷2=3185

例2 ：云云读一部小说，第一天读了6页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了38页，这本书共有多少页？

常规分析： 显然这本书的页数也就是数列6+10+14+…+38的和，怎样求呢？

创新点拨： 

复习

长方形的周长=（长+宽）×2

正方形的周长=边长×4

新授

常规分析：每个正方形的周长是4×4=16（厘米），3个正方形的周长就是16×3=48（厘米）

创新点拨：不妨把拼成的长方形画出来：

导入

甲、乙两数的差是10，和是20，两数各是多少？

2、引入并板书课题

新授

常规分析：

   可以用画表格的方法尝试一下（略），通过画表格列举可以清楚地看出当两人的年龄和是40岁时，小刚18岁，小英22岁。

创新点拨：

小刚今年比小英小（13－9）岁，当两人的年龄和是40岁时，他们的年龄差仍是（13－9）岁，可用和差问题的方法求出当两人年龄和是40岁是，两人分别是几岁。

解法：[40＋（13－9）]÷2＝22（岁）……小英

40－22＝18（岁）……小刚

例2 ：父亲比母亲大两岁，父亲比大儿子大28岁，比小儿子大35岁，当大儿子和小儿子的年龄和是15岁时，母亲应是多少岁？

常规分析：

  题目中的给的信息很多，但是一眼看上去对解题有直接帮助的很少，很难直接利用条件。

创新点拨： 

根据“爸爸比大儿子大28岁，比小儿子大35岁”，可得大、小儿子年龄差是（35－28）岁，再根据他们的年龄和是15岁，可求出儿子的年龄，再求父亲的年龄，最后求母亲的年龄。

解法

[15＋（35－28）]÷2=11(岁)……大儿子年龄

11＋28＝39（岁）……父亲的年龄

39－2＝37（岁）……母亲的年龄

思路

回眸