2021年广东省春季高考数学模拟试卷(1)(解析版)

解析版

注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）

1．已知集合，，则（）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用交集的定义计算即可.

【详解】

因为，，所以.

故选:D.

【点睛】

本题考查了集合交集的计算，属于基础题.

2．圆C: x2+y2= 1的面积是（    ）

A．    B．    C．π    D．2π

【答案】C

【解析】

【分析】

根据圆的方程即可知圆的半径，由圆的面积公式即可求其面积.

【详解】

由圆的方程知：圆C的半径为1，所以面积，

故选：C

【点睛】

本题考查了圆的标准方程，由圆的方程求面积，属于简单题.

3．的值为 （ ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】.

4．已知实数满足不等式组，则目标函数的最大值为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】

【分析】

画出可行域，然后作出目标函数的一条等值线，通过平移等值线找到目标函数取最大值的最优解，可得结果.

【详解】

如图

由，令，则目标函数的一条等值线为

当该等值线经过点时，目标函数有最大值

所以

故选：D

【点睛】

本题考查线性规划的问题，此种类型的问题，常看几步：（1）画出可行域；（2）根据线性的和非线性的理解的含义，然后简单计算，属基础题.

5．设等差数列的前项为，若，则(    )

A．6    B．7    C．8    D．9

【答案】D

【解析】

【分析】

由等差数列的性质得出，解出，即可求出.

【详解】

设等差数列的公差为

解得

故选：D

【点睛】

本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.

6．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则的值为（    ）

A．12    B．13    C．14    D．15

【答案】C

【解析】

【分析】

观察茎叶图，利用甲组数据的中位数与乙组数据的平均数分别求出，相加即可.

【详解】

因为甲组数据的中位数为17，所以，

因为乙组数据的平均数为17.4，所以，解得，

所以.

故选：C

【点睛】

本题考查根据茎叶图求数据的中位数与平均数，属于基础题.

7．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，若是角终边上的一点，则（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由的坐标求得，再由任意角的三角函数的定义得答案.

【详解】

由，得，

又角终边经过，

.

故选：.

【点睛】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，是基础题.

8．在中，，，则的外接圆半径为（    ）

A．30    B．    C．20    D．15

【答案】D

【解析】

【分析】

结合已知条件，由正弦定理即可求的外接圆半径.

【详解】

若外接圆半径为，由正弦定理知：，

∴，

故选：D

【点睛】

本题考查了正弦定理，由结合已知边角求外接圆半径，属于简单题.

9．下列函数为偶函数，且在单调递增的是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】

【分析】

采用逐一验证法，先判断函数的定义域，然后计算根据奇偶性以及单调性的判断方法可得结果.

【详解】

对A：令，定义域为

，所以函数为偶函数，

但该函数在单调递减，故A错

对B：令，定义域为

，所以该函数不是偶函数，故B错

对C：令，定义域为

，所以函数为偶函数且在单调递减，故C错

对D：令，定义域为

所以函数为偶函数且在单调递增，故D正确

故选：D

【点睛】

本题考查函数的性质，熟练掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等，属基础题.

10．设，，，则，，的大小关系为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用对数函数和指数函数的性质求解．

【详解】

解：∵，∴，即，

∵，∴，即，

∵在上为增函数，且，

∴，即

∴，

故选：A．

【点睛】

此题考查对数式、指数式比较大小，属于基础题

11．函数的定义域为（    ）

A．    B．

C．    D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.

【详解】

对于函数，有，解得且.

因此，函数的定义域为.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.

12．已知函数，若，则的值是（    ）

A．或5    B．3或    C．    D．3或或5

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数解析式，分别讨论，两种情况，结合题中条件，即可求出结果.

【详解】

若，则，∴（舍去），

若，则，∴，

综上可得，或.

故选：A．

【点睛】

本题主要考查由分段函数值求参数，属于基础题型.

13．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制丈尺，斛立方尺，圆周率），则该圆柱形容器能放米（    ）

A．斛    B．斛    C．斛    D．斛

【答案】B

【解析】

【分析】

计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果.

【详解】

设圆柱形容器的底面圆半径为，则（尺），

所以，该圆柱形容器的体积为（立方尺），

因此，该圆柱形容器能放米（斛）.

故选：B.

【点睛】

本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题.

14．已知直线l过点，当直线l与圆相交时，其斜率k的取值范围是（    ）

A．    B．

C．    D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由圆的方程可得圆的圆心和半径，再由直线与圆相交的性质即可得，即可得解.

【详解】

圆的方程可变为，圆心为，半径为1，

因为直线l过点，且斜率为k，所以直线l的方程为即，

若要使直线l与圆相交，则圆心到直线l的距离，

解得.

故选：B.

【点睛】

本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

15．已知x，y的几组对应数据如下表：

A．2    B．1.6    C．1.2    D．

【答案】B

【解析】

【分析】

求出样本点的中心，再代入回归直线的方程，从而求得的值.

【详解】

∵，

∴样本点的中心，

∴.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用样本点的中心求回归直线方程的截距，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.

二、填空题

16．已知平面向量，，若，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据向量垂直的坐标运算列关系求参数即可.

【详解】

解：∵，∴，解得，

，∴.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用向量坐标运算求参数，属于基础题.

17．在各项均为正数的等比数列中，若，则      ．

【答案】2

【解析】

试题分析：由 ，又数列是等比数列，所以

考点：本题考查等比数列的性质，对数式的运算

点评：解决本题的关键是熟练掌握等比数列的性质

18．若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中，则质点落在以为直径的半圆内的概率是_____.

【答案】

【解析】

【分析】

利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积之比即可得到结果．

【详解】

设质点落在以为直径的半圆内为事件，则.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，属于基础题．

19．已知，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

由，利用基本不等式即可求解.

【详解】

由，

则，

当且仅当，即时取等号，

故答案为：

【点睛】

本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

三、解答题

20．设等差数列的前项和为,，已知，.

（I）求首项和公差的值；（II）若，求的值.

【答案】（I）；；（II）

【解析】

【分析】

（I）利用求得；根据等差数列通项公式可求得；（II）利用等差数列前项和公式可构造出关于的方程，解方程求得结果.

【详解】

（I）由题意得：，解得：

则公差

（II）由（I）知：

若，即

又，解得：

【点睛】

本题考查等差数列通项公式和前项和的基本量的求解，涉及到等差数列通项公式和前项和公式的应用，属于基础题.

21．已知函数.

（1）求函数的最小正周期和最大值；

（2）求函数的单调减区间.

【答案】（1），最大值为；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先化简得，即得函数的最小正周期和最大值；

（2）解不等式，即得解.

【详解】

（1）

所以函数的最小正周期为，当时最大值为；

（2）令，

所以，

单调递减区间是.

【点睛】

本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

22．如图，在三棱柱中，，点，分别是，的中点，平面平面．

（1）求证：；

（2）求证：//平面．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据平面平面，可得平面，可得结果.

（2）取的中点，根据 //，且，可得平行四边形是平行四边形，然后根据//，以及线面平行的判定定理，可得结果.

【详解】

（1）因为，平面平面，

平面平面，

平面，则平面．

又因为平面，

所以．

（2）取的中点，连接，．

在中，因为，分别是，的中点，

所以//，且．

在平行四边形中，因为是的中点，

所以//，且，

所以//，且

在平行四边形是平行四边形，

所以//．

又因为平面，平面，

所以//平面．

【点睛】

本题考查面面垂直的性质定理，以及线面平行的判定，属基础题.