济南市天桥区2024届中考一模数学试题含解析

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()

A．B．C．D．

2．如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？（）

A．1 B．2 C．23﹣2 D．4﹣23

3．第24 届冬奥会将于2022 年在北京和张家口举行，冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等．如图，有5 张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的图案，背面完全相同．现将这 5 张卡

片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是（）

A．1

5

B．

2

5

C．

1

2

D．

3

5

4．九年级（2）班同学根据兴趣分成五个小组，各小组人数分布如图所示，则在扇形图中第一小组对应的圆心角度数是（）A ．

B ．

C ．

D ．

5．把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3

C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3

6．半径为R的正六边形的边心距和面积分别是()

A．

3

2

R ，2

3

3

2

R B．

1

2

R，2

3

3

2

R

C．

3

2

R，2

3

4

R D．

1

2

R，2

3

4

R

7．如图，已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB=8，Q为AB中点，P是圆上的一点（不与A、B重合），连接PQ，则PQ的最小值为（）

A．1 B．2 C．3 D．8

8．如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（）

A．4的算术平方根B．4的立方根C．8的算术平方根D．8的立方根

9．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：

计费项目里程费时长费远途费单价 1.8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里

注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.

小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（）

A．10分钟B．13分钟C．15分钟D．19分钟

10．下列计算正确的是（）.

A．(x+y)2=x2+y2B．(－1

2

xy2）3=－

1

6

x3y6

C．x6÷x3=x2D．2

(2)

-=2

11．已知3a﹣2b=1，则代数式5﹣6a+4b的值是（）

A．4 B．3 C．﹣1 D．﹣3

12．“a是实数，20

a≥”这一事件是（）

A．不可能事件B．不确定事件C．随机事件D．必然事件

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF；（3）SΔBEC=2SΔCEF；（4）∠DFE=3∠AEF

14．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．

15．如图，点A在双曲线y＝k

x

的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，

点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为_____．

16．不等式-2x+3>0的解集是___________________

17．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，将ABE △沿AE 折叠得到AFE △，点F 落在对角线AC 上．若

AB AC ⊥，3AB =，5AD =，则CEF △的周长为________．

18．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C ＝∠F ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，则∠α+∠β等于_____．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）某校运动会需购买A 、B 两种奖品，若购买A 种奖品3件和B 种奖品2件，共需60元；若购买A 种奖品5件和B 种奖品3件，共需95元． （1）求A 、B 两种奖品的单价各是多少元？

（2）学校计划购买A 、B 两种奖品共100件，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍，设购买A 种奖品m 件，购买费用为W 元，写出W （元）与m （件）之间的函数关系式．请您确定当购买A 种奖品多少件时，费用W 的值最少．

20．（6分）在⊙O 中，弦AB 与弦CD 相交于点G ，OA ⊥CD 于点E ，过点B 作⊙O 的切线BF 交CD 的延长线于点F ．

（I ）如图①，若∠F=50°，求∠BGF 的大小；

（II ）如图②，连接BD ，AC ，若∠F=36°，AC ∥BF ，求∠BDG 的大小．

时间（分钟）里程数（公里）车费（元）

小明8 8 12

小刚12 10 16

（1）求x，y的值；

（2）如果小华也用该打车方式，打车行驶了11公里，用了14分钟，那么小华的打车总费用为多少？

22．（8分）先化简

2

2

144

(1)

11

x x

x x

-+

-÷

--

，然后从－2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.

23．（8分）如图1所示，点E在弦AB所对的优弧上，且为半圆，C是上的动点，连接CA、CB，已知AB＝4cm，设B、C间的距离为xcm，点C到弦AB所在直线的距离为y1cm，A、C两点间的距离为y2cm．

小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2岁自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值：

x/cm 0 1 2 3 4 5 6

y1/cm 0 0.78 1.76 2.85 3.98 4.95 4.47

y2/cm 4 4.69 5.26 5.96 5.94 4.47

（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，y 1），（x ，y 2），并画出函数y 1、y 2的图象；结合函数图象，解决问题： ①连接BE ，则BE 的长约为 cm ．

②当以A 、B 、C 为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC 的长度约为 cm ． 24．（10分）已知：关于x 的一元二次方程kx 2﹣（4k+1）x+3k+3＝0（k 是整数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求k 的值． 25．（10分）如图，已知O 是ABC ∆的外接圆，圆心O 在ABC ∆的外部，4AB AC ==，43BC =，求O 的半

径.

26．（12分）如图，数轴上的点A 、B 、C 、D 、E 表示连续的五个整数，对应数分别为a 、b 、c 、d 、e ．

（1）若a+e=0，则代数式b+c+d= ； （2）若a 是最小的正整数，先化简，再求值：

；

（3）若a+b+c+d=2，数轴上的点M 表示的实数为m （m 与a 、b 、c 、d 、e 不同），且满足MA+MD=3，则m 的范围是 ．

27．（12分）计算：-2-2 -

12+ 21sin60π3⎛

⎫-︒+-

⎪⎝⎭

0 参

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、D 【解题分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

【题目详解】

解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；

C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．

故选D.

【题目点拨】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.

2、C

【解题分析】

先判断出PQ⊥CF，再求出AC=23，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG，然后计算出PQ即可.

【题目详解】

解：如图，连接PF，QF，PC，QC

∵P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心，

∴PF是∠AFC的角平分线，FQ是∠CFE的角平分线，

∴∠PFC=1

2

∠AFC=30°，∠QFC=

1

2

∠CFE=30°，

∴∠PFC=∠QFC=30°，

同理，∠PCF=∠QCF

∴PQ⊥CF，

∴△PQF是等边三角形，

∴PQ=2PG；

易得△ACF≌△ECF，且内角是30º，60º，90º的三角形，

∴AF=2，CF=2AF=4，

∴S △ACF =12AF×AC=12

×2× 过点P 作PM ⊥AF ，PN ⊥AC ，PQ 交CF 于G ，

∵点P 是△ACF 的内心，

∴PM=PN=PG ，

∴S △ACF =S △PAF +S △PAC +S △PCF =

12AF×PM+12AC×PN+12

CF×PG

=12×2×PG+12×PG+12×4×PG

=（+2）PG

=（）PG

∴1，

∴1故选C.

【题目点拨】

本题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心的意义.

3、B

【解题分析】

先找出滑雪项目图案的张数，结合5 张形状、大小、质地均相同的卡片，再根据概率公式即可求解．

【题目详解】

∵有 5 张形状、大小、质地均相同的卡片，滑雪项目图案的有高山滑雪和单板滑雪2张， ∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是

25

. 故选B ．

【题目点拨】

本题考查了简单事件的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

4、C

【解题分析】

试题分析：由题意可得， 第一小组对应的圆心角度数是：

×360°=72°， 故选C ．

考点：1.扇形统计图；2.条形统计图．

5、B

【解题分析】

分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a 、b 即可.

详解：（x+1）（x-3）

=x 2-3x+x-3

=x 2-2x-3

所以a=2，b=-3，

故选B ．

点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键.

6、A

【解题分析】

首先根据题意画出图形，易得△OBC 是等边三角形，继而可得正六边形的边长为R ，然后利用解直角三角形求得边心距，又由S 正六边形=6OBC S

求得正六边形的面积．

【题目详解】

解：如图，O 为正六边形外接圆的圆心，连接OB ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于H ，

∵六边形ABCDEF 是正六边形，半径为R ，

∴∠BOC =360016

6⨯︒=︒，

∵OB=OC=R ，

∴△OBC 是等边三角形，

∴BC=OB=OC =R ，60OBC ∠=︒

∵OH ⊥BC ，

∴在Rt OBH 中，sin sin 60∠=︒=OH OBH OB ， 即32

=OH R ， ∴32=OH R ，即边心距为32

R ； ∵211332224

=⋅=⋅=OBC S BC OH R R R ， ∴S 正六边形=2233362=⨯=OBC

S

R R ， 故选：A ． 【题目点拨】

本题考查了正多边形和圆的知识；求得正六边形的中心角为60°，得到等边三角形是正确解答本题的关键． 7、B

【解题分析】

连接OP 、OA ，根据垂径定理求出AQ ，根据勾股定理求出OQ ，计算即可．

【题目详解】

解：

由题意得，当点P 为劣弧AB 的中点时，PQ 最小，

连接OP 、OA ，

由垂径定理得，点Q 在OP 上，AQ=12

AB=4， 在Rt △AOB 中，22OA AQ -，

∴PQ=OP-OQ=2，

故选：B ．

本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．

8、C

【解题分析】

解：由题意可知4的算术平方根是2，4<2, 8的算术平方根是2<，8的立方根是2，

故根据数轴可知,

故选C

9、D

【解题分析】

设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据计价规则计算出小王的车费和小张的车费，建立方程求解.

【题目详解】

设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：

1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5-7）,

10.8+0.3x=16.5+0.3y,

0.3（x-y）=5.7,

x-y=19,

故答案为D.

【题目点拨】

本题考查列方程解应用题，读懂表格中的计价规则是解题的关键.

10、D

【解题分析】

分析：根据完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义计算，判断即可．

详解：（x+y）2=x2+2xy+y2，A错误；

（-1

2

xy2）3=-

1

8

x3y6，B错误；

x6÷x3=x3，C错误；

=2，D正确；

故选D．

点睛：本题考查的是完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法以及算术平方根的计算，掌握完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义是解题的关键．11、B

【解题分析】

先变形，再整体代入，即可求出答案．

【题目详解】

∵3a﹣2b=1，

∴5﹣6a+4b=5﹣2（3a﹣2b）=5﹣2×1=3，

故选：B．

【题目点拨】

本题考查了求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键．

12、D

【解题分析】

a是实数，|a|一定大于等于0，是必然事件，故选D.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、①②④

【解题分析】

试题解析：①∵F是AD的中点，

∴AF=FD，

∵在▱ABCD中，AD=2AB，

∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠FCB，

∴∠DCF=∠BCF，

∴∠DCF=1

2

∠BCD，故此选项正确；

延长EF，交CD延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDF，

∵F为AD中点，

∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中，

{

A FDM AF DF

AFE DFM

∠=∠

=

∠=∠

，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE=MF，∠AEF=∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ECD=90°，

∵FM=EF，

∴FC=FM，故②正确；

③∵EF=FM，

∴S△EFC=S△CFM，

∵MC＞BE，

∴S△BEC＜2S△EFC

故S△BEC=2S△CEF错误；

④设∠FEC=x，则∠FCE=x，

∴∠DCF=∠DFC=90°-x，

∴∠EFC=180°-2x，

∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，

∵∠AEF=90°-x，

∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．

考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.直角三角形斜边上的中线．

14、72°

【解题分析】

首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°．

【题目详解】

∵五边形ABCDE为正五边形，

∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，

∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，

∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，

故答案为72°．

【题目点拨】

本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键

15、16 3

.

【解题分析】

由AE＝3EC，△ADE的面积为3，可知△ADC的面积为4，再根据点D为OB的中点，得到△ADC的面积为梯形

BOCA面积的一半，即梯形BOCA的面积为8，设A (x,k

x

)，从而

表示出梯形BOCA的面积关于k的等式，求解即可. 【题目详解】

如图，连接DC，

∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1. ∴△ADC的面积为4.

∵点A在双曲线y＝k

x

的第一象限的那一支上，

∴设A点坐标为(x,k

x ).

∵OC＝2AB，∴OC=2x.

∵点D为OB的中点，∴△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，∴梯形BOCA的面积为8.

∴梯形BOCA 的面积=

11(2)3822k k x x x x x +⋅=⋅⋅=，解得16k 3

=. 【题目点拨】 反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，同底三角形面积的计算，梯形中位线的性质.

16、x<32

【解题分析】

根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得．

【题目详解】

移项，得：-2x ＞-3，

系数化为1，得：x ＜

32， 故答案为x ＜32

． 【题目点拨】

本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

17、6.

【解题分析】

先根据平行线的性质求出BC=AD=5,再根据勾股定理可得AC=4，然后根据折叠的性质可得AF=AB=3，EF=BE ，从而可求出CEF △的周长.

【题目详解】

解：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴BC=AD=5,

∵AB AC ⊥，

∴=4

∵ABE △沿AE 折叠得到AFE △，

∴AF=AB=3，EF=BE ，

∴CEF △的周长=CE+EF+FC=CE+BE+CF

=BC+AC-AF

=5+4-3=6

故答案为6.

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形的周长计算方法，运用转化思想是解题的关键.

18、210°

【解题分析】

根据三角形内角和定理得到∠B ＝45°，∠E ＝60°，根据三角形的外角的性质计算即可．

【题目详解】

解：如图：

∵∠C ＝∠F ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，

∴∠B ＝45°，∠E ＝60°，

∴∠2+∠3＝120°，

∴∠α+∠β＝∠A+∠1+∠4+∠B ＝∠A+∠B+∠2+∠3＝90°+120°＝210°，

故答案为：210°．

【题目点拨】

本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（1）A 、B 两种奖品的单价各是10元、15元；（2）W （元）与m （件）之间的函数关系式是W=﹣5m+1，当购买A 种奖品75件时，费用W 的值最少．

【解题分析】

（1）设A 种奖品的单价是x 元、B 种奖品的单价是y 元，根据题意可以列出相应的方程组，从而可以求得A 、B 两种奖品的单价各是多少元；

（2）根据题意可以得到W （元）与m （件）之间的函数关系式，然后根据A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍，可以求得m 的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答本题．

【题目详解】

（1）设A 种奖品的单价是x 元、B 种奖品的单价是y 元，根据题意得：

32605395

x y x y +=⎧⎨+=⎩

10

15 x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

．

答：A种奖品的单价是10元、B种奖品的单价是15元．

（2）由题意可得：W=10m+15（100﹣m）=﹣5m+1．

∵A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，∴m≤3（100﹣m），解得：m≤75

∴当m=75时，W取得最小值，此时W=﹣5×75+1=2．

答：W（元）与m（件）之间的函数关系式是W=﹣5m+1，当购买A种奖品75件时，费用W的值最少．

【题目点拨】

本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．

20、（I）65°；（II）72°

【解题分析】

（I）如图①，连接OB，先利用切线的性质得∠OBF=90°，而OA⊥CD，所以∠OED=90°，利用四边形内角和可计算出∠AOB=130°，然后根据等腰三角形性质和三角形内角和计算出∠1=∠A=25°，从而得到∠2=65°，最后利用三角形内角和定理计算∠BGF的度数；

（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，利用切线的性质得OB⊥BF，再利用AC∥BF得到BH⊥AC，与（Ⅰ）方法可得到∠AOB=144°，从而得到∠OBA=∠OAB=18°，接着计算出∠OAH=54°，然后根据圆周角定理得到∠BDG的度数．

【题目详解】

解:（I）如图①，连接OB，

∵BF为⊙O的切线，

∴OB⊥BF，

∴∠OBF=90°，

∵OA⊥CD，

∴∠OED=90°，

∴∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣50°=130°，

∵OA=OB，

∴∠1=∠A=1

2

（180°﹣130°）=25°，

∴∠2=90°﹣∠1=65°，

∴∠BGF=180°﹣∠2﹣∠F=180°﹣65°﹣50°=65°；（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，∵BF为⊙O的切线，

∴OB⊥BF，

∵AC∥BF，

∴BH⊥AC，

与（Ⅰ）方法可得到∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣36°=144°，∵OA=OB，

∴∠OBA=∠OAB=1

2

（180°﹣144°）=18°，

∵∠AOB=∠OHA+∠OAH，

∴∠OAH=144°﹣90°=54°，

∴∠BAC=∠OAH+∠OAB=54°+18°=72°，

∴∠BDG=∠BAC=72°．

【题目点拨】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．

21、（1）x=1，y=1

2

；（2）小华的打车总费用为18元.

【解题分析】

试题分析：（1）根据表格内容列出关于x、y的方程组，并解方程组．（2）根据里程数和时间来计算总费用．

试题解析：

(1)由题意得

8812 101216 x y

x y

+=

⎧

⎨

+=

⎩

，

解得

1

1

2

x

y

=

⎧

⎪

⎨

=

⎪⎩

；

（2）小华的里程数是11km，时间为14min．

则总费用是：11x+14y=11+7=18（元）．答：总费用是18元．

22、

1

2

x

x

+

-

,当x＝0时，原式＝

1

2

-（或：当x＝－1时，原式＝

1

4

）.

【解题分析】

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．【题目详解】

解：原式=

2

1

x

x

-

-

×

()()

2

x1x1

(2)

x

+-

-

=

1

2

x

x

+

-

．

x满足﹣1≤x≤1且为整数，若使分式有意义，x只能取0，﹣1．

当x=0时，原式=﹣1

2

（或：当x=﹣1时，原式=

1

4

）．

【题目点拨】

本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

23、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①6；②6或4.1．

【解题分析】

（1）由题意得出BC＝3cm时，CD＝2.85cm，从点C与点B重合开始，一直到BC＝4，CD、AC随着BC的增大而增大，则CD一直与AB的延长线相交，由勾股定理得出BD＝，得出AD＝AB+BD＝4.9367（cm），再由勾股定理求出AC即可；

（2）描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1、y2的图象即可；

（3）①∵BC＝6时，CD＝AC＝4.1，即点C与点E重合，CD与AC重合，BC为直径，得出BE＝BC＝6即可；

②分两种情况：当∠CAB＝90°时，AC＝CD，即图象y1与y2的交点，由图象可得：BC＝6；

当∠CBA＝90°时，BC＝AD，由圆的对称性与∠CAB＝90°时对称，AC＝6，由图象可得：BC＝4.1．

【题目详解】

（1）由表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值知：BC＝3cm时，CD＝2.85cm，从点C与点B重合开始，一直到BC＝4，CD、AC随着BC的增大而增大，则CD一直与AB的延长线相交，如图1所示：

∵CD⊥AB，

∴（cm），

∴AD＝AB+BD＝4+0.9367＝4.9367（cm），∴（cm）；

补充完整如下表：

（2）描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1、y2的图象如图2所示：

（3）①∵BC＝6cm时，CD＝AC＝4.1cm，即点C与点E重合，CD与AC重合，BC为直径，

∴BE＝BC＝6cm，

故答案为：6；

②以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，分两种情况：

当∠CAB＝90°时，AC＝CD，即图象y1与y2的交点，由图象可得：BC＝6cm；

当∠CBA＝90°时，BC＝AD，由圆的对称性与∠CAB＝90°时对称，AC＝6cm，由图象可得：BC＝4.1cm；

综上所述：BC的长度约为6cm或4.1cm；

故答案为：6或4.1．

【题目点拨】

本题是圆的综合题目，考查了勾股定理、探究试验、函数以及图象、圆的对称性、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，理解探究试验、看懂图象是解题的关键．

24、（3）证明见解析（3）3或﹣3

【解题分析】

(3)根据一元二次方程的定义得k≠2，再计算判别式得到△＝(3k－3)3，然后根据非负数的性质，即k的取值得到△＞2，则可根据判别式的意义得到结论；(3)根据求根公式求出方程的根，方程的两个实数根都是整数，求出k的值.

【题目详解】

证明：（3）△=[﹣（4k+3）]3﹣4k（3k+3）=（3k﹣3）3．

∵k为整数，

∴（3k﹣3）3＞2，即△＞2．

∴方程有两个不相等的实数根．

（3）解：∵方程kx 3﹣（4k+3）x+3k+3=2为一元二次方程，

∴k≠2．

∵kx 3﹣（4k+3）x+3k+3=2，即[kx ﹣（k+3）]（x ﹣3）=2，

∴x 3=3，2111k x k k +==+． ∵方程的两个实数根都是整数，且k 为整数，

∴k=3或﹣3．

【题目点拨】

本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键.

25、4

【解题分析】

已知△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，作AH BC ⊥于点H ，则直线AH 为BC 的中垂线，直线AH 过O 点，在Rt △OBH 中，用半径表示出OH 的长，即可用勾股定理求得半径的长．

【题目详解】

作AH BC ⊥于点H ，则直线AH 为BC 的中垂线，直线AH 过O 点，

2OH OA AH r =-=-，23BH =，

222OH BH OB +=，

即()()222223r r -+=，

4r =.

【题目点拨】

考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.

26、 (1)0;(1)

,;(3) ﹣1＜x ＜1.

【解题分析】

（3）先根据A、B、C、D、E为连续整数，即可求出a的值，再根据MA+MD=3，列不等式可得结论．【题目详解】

解：（1）∵a+e=0，即a、e互为相反数，

∴点C表示原点，

∴b、d也互为相反数，

则a+b+c+d+e=0，

故答案为：0；

（1）∵a是最小的正整数，

∴a=1，

则原式=÷[+]

=÷

=•

=，

当a=1时，

原式==；

（3）∵A、B、C、D、E为连续整数，

∴b=a+1，c=a+1，d=a+3，e=a+4，

∵a+b+c+d=1，

∴a+a+1+a+1+a+3=1，

4a=﹣4，

a=﹣1，

∵MA+MD=3，

∴点M再A、D两点之间，

∴﹣1＜x＜1，

故答案为：﹣1＜x＜1．

【题目点拨】

本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的相关知识点.

27、 7

4-【解题分析】

直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的锐角三角函数值分别化简，再根据实数的运算法则即可求出答案．

【题目详解】

解：原式=171144--+=【题目点拨】

本题考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的锐角三角函数值，熟记这些运算法则是解题的关键.